А.Н. Колмогоров, Г.И. Журбенко, А.В. Прохоров - Введение в теорию вероятностей (1115326), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Действительно, всего при двух бросаниях кости возможны 36 исходов. Обозначим кх через Еби г, у = $, 2,. 3, 4, б, 6, где 1 — число очков, выпавших прп первом бросании кости, а 1 — при втором. Очевидно, что $ (Е,1) 1 при любом 1, а ц (Еы) - )' при гпобом 1. Событие Е11 в нашем случае совпадает с событием Я вЂ” -- 1, ц = П, и нероят ность его равна 1/36. Событие Д = 1) включает шесть 4.
' авновероятных исходов Егь )' 1„..., 6. Поотому велка $ принимает каждое из своих возможных значений , $, 2, 3, 4, б, 6 е вероятностью Уб. То же самое можне сказать н о величине е). Таким образом, при любых 1 в 1 РЙ=1 т)=)) Р(6=1) Р(Ч= — П= —,„.—,; = —; ° 1 1 1 Унремненнн $, Снольно веете существует реелнчнмл лерентее рвотнчесннд фхййавй длн Ланвоте множеотее Йы Е„..., лог 6меет1 в. Я» ~лооноетн еез зелени 109 точен о иелочнслонвннн не» ордннетомл от 1 до 10, можно лн о понощьго консонооов одннв Щ лиспь $усскдкй от одной перемепноп (от х плн р отдельно), онр~ф, конных в тасках 4, '», .
„се, задеть херактерпсткчсскткз футсвлзие провзвольносо мпо»костил вз зтнх точек? 3. Доказать. попри дка х орос линях моноты с рзвповозможньгми;„.::~,".'."'-",. ю ходами случайлзя ьч лкчвне, раевзя числу выпееевмй горба при",..!~~' бросепю: е к»ргый раз, не заексмг от чпсле выпадений герба Ви',',~':;;!;- второй 4, Доказал,, что слу»айные вели швы, равные числу очкоё:-:„:."„'й,'. выпавюкх при бросзвиа игральной косп1 в мерилл в третий раба(»":~'„'' независимы при голонка равновозможвоств исходов. з, Четьпрс станка расположены ва одной прямой, расстояния'-."';;( ме)кду к»пкдымБ догма сосо»тимма счзнкема одинаковы и равны и рзбо»вй обеду»кпизсз зтн станки и переходит от того ставка, НВ-,;,»'";„ котором вм была ззкончсвз работа, к лх»боь»у пз четв»рек с равньсми'-".""»;*; вероятпостямп.
Спрзп~авеется, какое распределение имеет длиВф:;.=,'::"„"' соеерюземого ам ка»кдыгу раз пор~ хода? » л '~'б» еч ~~»с " зс й 2. Математическое ожидание и дисперсия Полная характеристика случайной вс»скчи;,,!'-:,зь.,"'-, пы дается ее распределением вероятностей. Однако и':,"::ла»,,-;~:", ряде случаев исключительно полваны бывают некоторые ='.'-„~:.,'::1 постоянны~ числовые характеристики, дающие представ;;:,-;",~~,"., ление о ее свойствах. Среди таких характеристик особеи, '.::~;":;~", по болыпую роль играют математическое ожидание н дие",-'.::!';:,!йс» персия.
Они определяются однозначно по распределению.;:,'..!мг случайной величины. Начнем наложение со следующего схематического-, -:::ф: примера. Предположим, что некоторая школа решили „'.",::,у,',, организовать автобусную прогулку для учащихся. 3а-. ранее неиввестно, сколько учащихся согласится поехать;:,~С~ па эту прогулку, н поэтому неиавестно, сколько автобу- ..ф сов следует аакааать. Иа некоторых общих соображений:::::;.':;:,~~,;, нам иавестиы вероятности того, что потребуются 1, 2, 3...
к . ф!' ...,и автобусов (ааведомо достаточно и автобусов, по-',';;:."% скольку онп вместят всех учащихся школы). Пусть ати':.,:;:.~чм пороятпосттг соответственно равны Рт Рт ° ° ° Р при:".:;:;:.~! етом . ег . Р мчРх+..+Ри Сколько в среднем потребуется автобусовр Точнее'.,!:~ сс: н бы таких школ было много и автобусы забрали бы''",!'.';"',:.;';;, встт учащнхсзт, пожелаипшх принять участие в прогул- ';:::: -;:,~~; ке, то в среднем сколько автобусов прмюлось бы на одну':-":-!!~~~"," ь Для ответа на поставленный вопрос будем рассуждать так. Коли таких школ очень много, то на основания тсоремы Бернулли относительное число случаев, когда будет достаточен один автобус, приблиюггельно равно рм Точно так же два автобуса потребуются приблизительно для 100р««А«всех школ н т.
д. Таким образом, в среднем для прогулки,' потребуется 1р« + 2р« + ... + п р„ автобусов. Аналогичные задачи по подсчету среднего значейия случайной 'величины возникают в очень многдх теоретических и прикладных аадачах. Пусть случайная величина $ принимает значения хы х«~ .Ф х)В соответственно с вероятностями Рм Р«~ * .1ры. Сумма М$= Х тр «-« значений случайной величины, умноженных на соответствующие вероятности, называется математическим ожиданием случайной величины $ и обозначается символом М$. Часто вместо термина «математическое оя~нданиез к«пользуют термин «среднее значение случайной величины $з.
П р и м е р 1. Вероятность появления события А в испытании равна р. Спрашивается, чему равно математическое ожидание числа появлений события А в одном испытанин3 Рассмотрим случайную величину т, равную 1, если событие А в испытании наступило, и равную О, если оно не наступило. Эта величина как раз равна числу паступлений события А а одпом яспытаник, если только предположить, что Р (ч =- 1~ =- р н Р (т =- 0~ = 1 — Р = д Теперь ясно, что искомая величина равна П р и и е р 2.
Производятся н независимых нспытапий, в каждом нз которых событие А появляется с вероятностью р. Чему равно математическое ожиданно числа появлении события А з и ис~ытапнях? появлений со чина прини иэ 1 5 главы быти мает 3~ распределением. ожидание р раен Ми =пр выведем беэ в математическ положены по ами равно а, ет станки в по о часовой стре требования об а же и равна 1/ ый должон сде й находится у ычксл нх ож кругу, число рядке лке по обслуж и. Най лать стан озни ебуете О, ины анни может в абочему потр, ет равняться ожидание дл Обозначим через р число лытацлях. Эта случайная вели О, 1, 2,..., п.
Как мы знаем Р (р =-. й) = С„рь(1 — р)" ", й =О, 1, что называется биномиальны.н определев1по, матово» оческое п ь Мр = Х йС"ьр" (1 — р) = ~ )ес'„'р (1 г=4э ь 1 В 1 6 главы 3 (см. с. 70) при докаээиль Бернулли было обнаружено, что Чуть ниже (пример 4) мы равенство из общих свойств П р и м е р 3. Станки рас яние между соседними станк равно и. Рабочий обслужива вовения отказов, двигаясь п Вероятность воэрикновения на каждом из станков одна и т нюю длину перехода, катар В начальный момент рабочи мерам О. эребование об обслужив любом из станков, поэтому р путь с, длина которого мож ..., (и — 1)а. Математическое равно ь-е М$= ~Г на. — = —,(и — 1) и 2 я в,й,11ф»,,, Согласйф::;;-~~;.'» ' о кругу,'::„'::;:,„:гь»1.;."'е иванки;,.'1', ти сред-..:;" рабочий.".;;;, »', ка с но'".'":а, » я сдела~:,;;!::~:,,'-:;.4-:,':', яеооходимос случайных в аждого из сл ие суммы равно мыл: Очень часто встречается среднее значение суммы двух известны средние значения к Математическое олсидан магических ожиданий сеагае ть в еличи агаем сум Действительно, э М(В+ т))= — „~ „(ВФл? + Ч(йэ)) = а э н я = — „~~(Е;)+ — „~~, )(й'1)=М~+ и).
ю 1 з 1 Этот результат обобщается на сумму произвольного числа слагаемых. Действительно, М ($, + ... + $„, + $я) = М Й, + ." + 1,) + +М$„=М$,+ М$,+... +МЦ„, П р и м е р 4. Продолжим вычисления примера 2. Пусть $ь обозначает число появлений события А в й-и испытании. Тогда очевидно, что р = $, + с, + ... + $„ и Мр = Щ, + М$, + ... + М$„. Но нэ примера 1 мы знаем, что М$э = р, поэтому Мр = яр. П р и и е р 5.
На двух столах положены по две коробки с фантами. Коробки внешне абсолютно одинаковы, На первом столе в одной коробке имеется один фант, а в другой — 7 фантов. На втором столе в одной коробке. имеются 2 фанта, а в другой — 5 фактов. Ребенок сначала выбирает стол, а затем наудачу берет коробку с этого стола. После того как коробка выбрана, игра начинается .'' сначала и повторяется в раз. Какой стол лучше выбирать; чтобы в среднем эа и нгр получить большее число фантову Пусть $ь — число фантов, которое получит ребенок,, в к-й риаз, если он берет коробку с первого стола, а т», число фантов, которое он получит, если возьмет коробку со второго стола. Если ребенок будет систематически брать коробки с первого стола, то он получит $, + $, + .-. ... + $„фактов, а если он станет каждый раз выбирать' коробку со второго стола, то он получит р + дэ + ...
... + й„ фактов. Подсчитаем математические ожидания числа вынутых"фантов. Так как М$»=1. — + 7 ° -я- *4, ' 3 а Мт~=2. — + 5. — =35, то за я раз в среднем ребенок 1 1 2 2 с первого стола получит 4п, а со второго — только З,би фантов разрешили для Су~~;-"""',"- т и для проиаведенйрЛ~";, ние произведения дснр~-:,.'," ачения сомножителеф::,! т. ьном условии незавтзт:::":: о следующая проста4ф;:;. изведения двух Неаттп; авно произведению ' ж";:„:.': —,' телей: ва со вероя еличин азу д нию Р й = хи 6 = у,-~ = ~ Д = х,~.Р ~„ ь сл едующу ,Р( ти влепи менени ающей а кото ее энач а ср тать с извест сопро в (из круж сил реди омам одсчи если мы. ом пред ко ее х ее еленин матем эначен Вопрос, который мы только что случайных величин, часто возпикае можно ли выразить среднее значе случайных величин через средние зн Окааывается, что при дополннтел снмости сомножителей имеет мест теорема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
