А.Н. Колмогоров, Г.И. Журбенко, А.В. Прохоров - Введение в теорию вероятностей (1115326), страница 21
Текст из файла (страница 21)
При выигрь1ше оь(-';.„":., увеличивает свой капитал на 1, при проигрыше квинта~:,'-':,'," его становится на 1 меньше. После некоторого числа пар;,!:,~~; тий может оказаться, что игрок проиграет весь свой кььь;-';; питал а или на рунах у этого игрока будет вся сумма де,':;::-':=;-".:;.' нег а + Ь. Эта ситуация и называется разорением либФ "=.;. первого, либо второго игрона.
Если частица, выходя иФ";;.'.-".-,, точки а, достигает нуля, то разорен игрок с капнталФМ';.";;"-',, а, если частица достигает точки а + Ь, то разорен игре~:::;:;;~~",;.. с капиталом Ь. Поэтому вероятность д, называется героина:;.". костью разорен я. Итак, как мы установнлк, вероятпоеттх.,;г разорения~ игрока с капиталом а в случае одинаковйэс.;;::," возможностей ва выигрыш в каждой партии (р =- д) рвн'; ь на е,= ь, в случае неодинаковых воаможностей (рчь, '-,, Х вЂ” "Ь " Ф д) равна д,=, .
Приводимая далее таблички 1' да+Ь показывает, что в случае и = д = Чь бблылие шансы ни".-"';-":; 130 разорение имеет игрок с меньшим капиталом, и его шансы па разорение тем более увеличиваются, если он менее ис- кусен (или менее веауч) в игре. ! ! ь 0,5 0,1 0,866 0,011 50 00 00 10 0,5 0,5 0,55 0,4 : 10 10 0,5 0,5 0,45 0,6 и вероятность выигрьппа игрока с капиталом а стремится к величине Таким образом, игрок с капиталом а имеет неплохие шансы на выигрьпп, несмотря на то, что его соперник бесконечно богат. Напротив, при р( д Р,-~.О.
Интересно дополнить наши выводы замечанием о средней продолжительности игры до рааорения одного иа соперников. Понятно, что продолжительность игры представляет собой случайную величину, распределение которой зависит как от соотношения р и д, так и от соотношения а и Ь. Математическое ожидание продолжительности игры вычисляетсн несколько более слоькннм образом, чем вероятность разорения, и поэтому мы' лишь укажем, что оно равно при р = д = Чэ произведению й Ь, а при р ~ д оно равно а а+а 1 — Х а д и Ч Р'1 1ааЬ 5 131 Рассмотрим, однако, ситуацию, когда игрок, для которого реаультаты отдельных партий более благоприятны, играет с более богатым протпвниколь (как, например, в последней строке таблички).
Разберем крайний случай, когда у игрока с начальным капиталом а соперник «бесконечноь богат, т. о. Ь = ао,но при этом р ) д. В формуле (5) перейдем к пределу при Ь - о. Тогда, так как «" в« подсчеты по этим формулам покааывают, что продол««5«г'„.";~'«14 тельность игры обычно гораздо больше, чем мы могли:фг«!,;,' предположить заранее. При равных шансах на выигрщ~~'" -. в ка«кдой партии длительность игры пропорционвлц«И,: . капиталам игроков. Если игра более благоприятна для".:.', одно~о яз и1роков, то длительность игры в среднеи «ф«г.- ;жт умеиьо1иться.
Так, например, для указанных в «««й'.-(«. лвчке случаев игра продолжается в среднем 2600, ЯО9„"-'.- 766, 441 партий соответственно. Игра более искусиоу().'';,': игрока (р ) д) с бесконечно богатым соперником с полЬ",:;:" я«ятельпой вероятностью может вообще не иметь кои««й„::.;.,«Г 4 4, Статистические вьсводы :й. ;; (р !5се задачи, которые до сих пор нами рейф:;;=" лись, были отмечены тем общим характерным свойств~ .," что в ннх принималась некоторая верояпюстиая моде«4)~,'.4.
и в рамках втой модели по всроятиостям злемеитарнь«ф~,': исходов вычислялп вероятности друсвх, полее слоящцф'.: '( событий. Так, в схеме испытаний Бернулли мы по верпвф,',";,~ кости «успеха« р предсказьи:али суммарное число успвфф)(«"-:: в и испытаниях, т. е. находили для кикдого значения'«(~-:.':"„';;::: числа успехов Кь соответствующую ему вероятность,":,':.„''::;,;„.: р„(т) = с„р (( — р)" "'.
(ф;:(Ф',;- Бта простая задача является типичной для теории верону)!!«.'.=:, '.",)р вестей. Б данном параграфе мы буд,.м решать задачи, во«Ь«~. ределеином смысле обратные. Задачи, оГ«ратные зэда~фй((', теории вероятностей, очень важны для прпложеиай, «И)~~~с составляют содержание математической статистики.
Ъ(4«~,'.:,'!,' .'~й пичной для математической статистики п1ис«««интел~-,~. к схеме Бернулли является следухицая задача. Преуф«й).—,-,„'~:., ложим, что вероятность «успеха«р заранее ссеизвесйл(~~! н нужно определить ее по наблюдениям за исходами «1~-';«-".", пытаний, которые н представляют соГюй статнстичесп«4~~' данные. П р и и е р. Рассмотрим стандартиусо схему «слуй)«1«~;.;. ного выбора с воавращениемм Пусть имеется иекоторЦ5)4«„'",( сосуд (урна) с шарами двух цветов — белого и чериогй';,"';-;:.
Шары в урне хорошо перемешаны и доля белых шарйв,,;ю'„" равна р, 0 р 1. Предположим, что значение р ие~:" в«ство н мы должны поставить эксперимент по опредМВ~:- ', нню р. Будем последовательно выбирать п«ары из у4йп(с,:! «наудачу«по одному, каясдый раз возвращая шар в уфИУ;-ь 532 и перемешивая шары в урне перед новым извлечением. Б реаультате получим случайную выборку некоторого фиксированного объема.
При атом результаты отдельных извлечений будут вааимяо независимы. Прн известном р и указанных условиях эксперимента вероятность получить т белых шаров в выборке объема п равна вероятности т успехов (извлечение белого шара на урны — успех) в и испьпавиях Бернулли с вероятностью успеха р. Б рассматриваемом случае значение р неизвестно, но известно соотношение белых и черных. шаров в выборке. Интуиция подскааывает, что если выборкадостаточно представительна, то доля белых шаров в выборке должна быть блиакак р.
Схема выбора с возвращением является частным случаем схемы Бернулли независимых испытаний. Частота чуспеха» в п испытаниях (в примере — доля белых шаров в выборке) есть случайная величина Я„!и со значениями т!и, где т = О, 1,..., и. При атом иа формулы (1) следует, что Р( " = ~ 1= С„"'р'"(1 — р)~~-~~, т=О,, п. и а ) Математическое ожидание случайной величины Ю„lи равно М вЂ”" = — МЮ„= — яр= р„ (2) а и " а а ее дисперсия равна Л вЂ”" = —,, Ло„= —,, ир (1 — р) =— р (1 — р) Следовательно, среднее значение частоты успеха есть неизвестная вероятность успеха р, а дисперсия частоты, т.
е. мера рассеяния значений частоты около р, стремится к нулю прн и — оо как 1!и. Таким образом, производя многократно случайный выбор объема и с возвращением иа урны, мы моя'ем рассчитывать, что частоты белых шаров в выборках будут группироваться около р н с ростом и отклонения т)п от р будут в среднем уменьшаться, т. е. доля белых шаров в выборке будет приблизительно соответствовать доле белых |варов в урне: (т/п)-р. Из вакона больших чисел для схемы Бервуллп »33 следует, что пря любом е) О и п -+. со Р~~ —" — р() е)- О .
»«З»1 (см. (2) в $ 1), иными словами, вероятности любых нащ».':" ред задаяных отклонений»' ~»» от р с ростом и дела»ется: сколь угодно малыми. Ив этих рассуждений естестввщ~. сделать вывод, что частота Я„/и является достаток()«» хорошей о««екной неизвестной вероятности р (в мат«е~;. тнческой статистике оценки р со свойством (2) пазывйн»х«-. ся неемеценными, а со свойством (3) — еоетоятель ынп). На практике, однако, редко удается осуществить сн)(м чайный выбор с возвращением и приходятся испольэовай)»"" другой выборочный способ определении р — случайпхзх» ° выбор без возвращения, см. по атому поводу задачу'".Фл..
Доводы з пользу частоты К„1п как оценки неизвестна»«:, вероятности успеха моя«но дополнить следующямрасгс~Ж";« дением. О зяачении р вал~ известно толь ко то, что О «" рмтк' . ( 1. Папротнв, значение О„!и известно по результатам!ж: испытаний, при атом ясно, что атому значению тlп спнг.„:. ветствует вероятность С„р"' (1 — р)" "', зависящая'.
й)в' неизвестного р. Рагсмотрим прн фиксированном т ввгрв1«', жение Р„(р) = С„р (1 — р)'" как фуякциго от;-:ф,;. О ~ р ~ 1. Будем «перебирать» возможные значения рб н сравнивать соответствующие им вначения Р„(р) по"в()):. личине. Иден атой процедуры состоит', в том, чтобы.МЙ;: брать в качестве «истинного» то значение р, для котор6П~," выражение Р„(р) принимает максимально возня»к»1(в» значение при фиксированном т. «Выбор» р молщо'«ЙУ,,' ществить следующим образом. Так как биномиалй«»«)м".
коэффициент С„не зависит' от р, рассмотрим) вмвцдУ, Р„(р) фуккцию А (р) = р (1 — р)", О«р ( 1. ЙФ", функция обращается в нуль в точках р =- О и р .л«', выпукла, яеотрицательна н имеет максимум в тонг)у-; рэ тlи, О ~ р*, 1 (в последнем легко убедитъвп«.',. приравнивая проивводную Б (р) нулго и решая йод«1 челнов уравнение). Итак, наиболыяему эначе»цхФ С'«р~ (1 — р) отвечает значение р, разное т1н. Эл«т«':: простой, замечательный принцип, называемый ирин«)и64~:;, максимального нраедоиодобия, восходит еще к К.
ГаУСРУ«"; знаменитому немецкому математину Х)Х века, и оказы.,- взется полезным в более ело»нных задачах. $34 Наши выводы имеют важное, но в большей степени теоретическое, значение, так как вопрос о точностиоценпвапия непавестиой вероятности с помощью частоты решен лишь принципиально, а в каждом конкретном случае отклонения частоты от вероятности могут быть значительными. Более практичен метод оценивания неизвестнои вероятности в схеме Бернулли, при котором указывается не одно, а целый интервал подходящих значений р, называемый доверительным ннтереалол.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
