А.Н. Колмогоров, Г.И. Журбенко, А.В. Прохоров - Введение в теорию вероятностей (1115326), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Отеет; Р (ге ) 0 / ге -.— 1 000 000) ( 0097; Р (а<е > 0 7 ге =, 10 006 000) - . 0,65<. 12„Найти веронтность выживания до 3-го шага г<кл<очггтельии<, если в начальный момент имеется 10 частиц (1 часткца), а верона ' ность исчезновения для каждое часткпы 0,1, деленая на две частицы 0,9. сравните численные ответы всех предыдуших задач.
Дайте <фазпческоеэ объяснение полученным результагам. («лее<л: Р (ге~О/ ге = 10) =- 1 — (~ге (О) = 1 — 2,76 10 те; ' Р (г, > О: ., = 1) =- 1 — О, ИО7 == 0,8893'. 13. Нанти. итерапионный метод прпбшокенного извлечен<ел . квадратного корня на числа. Можно лп достпгпуть в итерационные процессе сходнмостя к искомому корню более быстрой, чем гео ь<е< рическая прогрессия? у к а а а н п е: извлечение квадратн<яо корня из чишга ез равносильно численному решению уравнения (рис.
35) — аз+ гз г -(-ег=-0 и.чн — —,, + —,, +Х= — т. 2ег Последнее уравнение имеет квревь с, прп атам проиаводиая функция в левой части в тйчвй с раева нулю, что приводят к ско- ', Ркс. 35. Итерацаонвый метод отьк савик корпя. рости сходвмоств в итерационном процессе более быстрой, вел~ геометрическая прогрессия. В качестве примера приведем вескольио итдраций, последовательно приближающих с = 1,414213562...
пляс = 2: Ко=1' те=1,25; ее=1387' лз = 1,413417' лг = 1,41421289' аь = 1~414213563. Естественно, что существуют и другие итерационные после-. довательности, сходящиеся к с. Скорость сходил~ости в приведеииом ', '. примере та же, чтои уптерациовкого процесса,прквсдшцегокотнскаиию корня л = О уравнекпя еа = л, к которому наше уравнение,,' сводятся путем линейной замены. Для последнего же уравнения,. скорость сходимости итерационного процесса, очевидно, будет а„= х1т~, 1хе~ 1, что пуевесхоДит скоРость схоДимости геометрической прогрессии. 14. Провести аналогично аадаче 13 исследование итерацковиего процесса «+ ~ь с+а= 2 иавесткого как древневавилонский способ извлечеиия квадратного корня иа с'-'.
Дать объяснение, почему итерационные методы особеи-, по удсбаы для современных ВВМ, ЗАКЛЮЧЕНИЕ Мы рассказали в атей неболыпой книге об основных понятиях и некоторых результатах теории вероятностей, стараясь выдержать по возможности более простую форму, но в то же время сделать изложение достаточно полным и строгим. Мы стремились при выводе формул и доказательстве утверждений ограничиться комбинаторвыми методами, производящими функциями и формулой Стирлинга. Основные понятия теории вероятностей формировались, начиная с середины Хт'11 века, в трудах Паскаля, Ферма, Гюйгенса, Галилея и др., посвященных решешпо многочисленных игровых задач.
В те времена были уже известны и использовались теоремы сложения и умножения вероятностей, понятие условной вероятности, формула полной вероятности, было введено математическое оя.ндание. Вершиной этого периода явилось творчество Якова Бернулли. В его «Искусстве предположений», изданном посмертно в 1713 году, рассматривалась последовательность независимых испытаний с двумя исходами, было выведено биномиальное распределение, появились производящие функции, решалась задача о разорении игрока, но главное — была обоснована принципиальная возможность статистического подхода к вероятности. Знаменитая теорема Бернулли, установившая, что при большом числе независимых испытаний частота события, как правило, мало отличается от его вероятности, положила начало предельным теоремам теории вероятностей.
Среди этих теорем первыми нужно наавать теоремы Муавра — Лапласа о предельном распределении отклонения частоты события от его вероятности. Согласно формуле Бернулли вероятность т успехов в л испытаниях Бернулли равна (гм. 1 б гл. 3) при любом й~ р<-1 а в симметричной схеме Бернулли с р 172 Р„(л2) = С 2 ". Длл не очень болыпих аиачевий п можно непосредствен-':: . но вычислять факториалы и степени, входящие в правые;:,2 части выписан2пох формул, или пользоваться специальны-'.:.",'. ми таблицами (например, таблицей для логарифмов фак-,'. торвалов, помещенной на с.
24). При болыпих п и ги фор-:: '. мулы Бернулли мало пригодны для непосредственного вычисления. Я'ак, если и = 100, т = 50, то для вычисле-, "- ния Рооо (50) необходимо найти С~~' и 2 'оо. Еще болев,. аатруднительно вычисление вероятностей вида Рооо (т). Подобные примеры покалывают, что точные выражения могут быть бесполеакы для практического подсчета. Приближенная формула для симметричного бикомиального . распределения (с р = 1/2), которая поаволяет сравни-' тельно легко находить Р„ (т) при болыпих и, была до- '' кавана Муавром в 1730 году. Выло показало, что лри п-э со Если п фиксировано, то справа в формуле стоят аначения (о — ьг функции ае ' (а, Ь, с — постоянные) в точках х = т.
(Если на рис. 9, помещенном на с. 20, провести кривые„ огибающие графики Р„(л2) сверху, то мы получим при больших л приближештый график укааанной функции.), Основным средством доказательства была все та же формула Стирлннга, которую Муавр докааал независимо. Эту 4юрмулу Муавра читатель мол2ет получить сам, используя рекомендации и реаультаты упражнения 2 гл. 4 т 4. В последующем Лапласом (1812) была строго докааана для общего случая 0 с: р с" 1 формула (т — оы' Р„(т) == С„р (1 — р) " — —, е ) 'Свор (1 — г) включающая в себя формулу Муавра. Если положить тп — ар с= г' вр (1 — р) то формула приобретает вид Р,(ьч)- 1 в(в ) Зявр (1 — р) Последнее соотношение известно как локальная предельная теорема Муавра — Лапласа. Используя локальную формулу, моя1но получить приблня;ение для сумм биномнальных вероятностей ~~ Рч (т), которые выражают. ~я=-и~~ вероятность того, что число успехов в и испытаниях Бер-" нулли лежит в пределах т, н т, (т, ( ги,).
Это прибли-' жение дает так называемая интегральная предельная тео-, рема Муавра — Лапласа: П с Е '. 1 г ав — ар Р, (п1) — ~ с-в(х г)(, 1,. = —,' ' . ((а) ) р(1-р) 7н=-Фм Разность между левой и правой частяхп1 стремится при л-+.
со к пулю равномерно относительно (ы 1з при по.:. ' стоянпом значении О ч р "(. С помощью интегральной формулы (в) одепива6тен вероятность отклонения частоты успеха Я„!и в п испыЫ- пнях Бернулли от вероятности успеха р: Р(( — ~ — Р((е~ — —,—, ~е-""хг)и, (=е ~/ рр~ ~» е~~ () Отсюда вытекает, в частности, основной результат' тео'..:.
ромы Бернулли. Если переписать последнюю формулу)В ' виде то отсюда мо'цно сделать вывод оатом, что, Кан ПРав11ио отклонения частоты от вероятности р имегот поряйом Щ п. г~птеграл, входящий в правые часты асимптоти- 1Д ческих формул, принято выражать через функцию Ф(г) == ~ с-"'~'г(и 7 )гг, как разность Ф (7з) — Ф (1,). Функция Ф (1) называется функцией нормального распределения, ее подробные таблицы имеются во многих учебниках и пособиях по теории вероятностей и математической статистике. Функция Ф (1) непрерывна, ее аначения при 1 -+. — о довольно быстро приблюкаются к О, а нрн 1-+. со приближаготся к 1.
Значения Ф (Г) для значений аргумента 7 и — Е свяЗаны равенством Ф(1)+Ф( — г) =-1. Приведем здесь несколько значений функции Ф (Х): 0,5 0,594 Ф (г) 2,0 0,977 ° ьнь ( 1,5 0,933 о,и 0 О, 500 (Читатель мон<ет испольаовать зту табличку для вычисления приблингенных значений вероятностей в упражнениях 4, 5 3 2 гл. 5 и упражнении 2 9 6 гл. 3.) Укажем вероятностный смысл правой части Ф (е,)— — Ф (1,) интегральной формулы (э). Существуют случайные величины, распределение вероятностей для которых задается с помощью неотрицательной функции ~р(г), — оо ( 8л" оо, следующим обрааом." для любого интервала (1„, гз) на прямой вероятность того, что Случай- ' ная величина примет значения из етого интервала, равна + интегралу ~<р(Г)г)Ц причем ~ гу(Х) о1=1. Функция гр Я ь с указанными свойствами назъгвается плот~оапью сгрьятносгии, а распределение такой случайной величипгл обычно называется непрерывным распределением.
Рас- 1 п редел ение с плотностью ср (1) = — —, ело' на аыва ется лор- 1' за гзальпыж РасвРсделенислц н поэтомУ Разность Ф (Ех)— — Ф (7,) есть вероятность случайной величине с нормальным распределением принять значение нз интервала (Е„Е,). Это распределение часто называют также гауссоаскил по имени Гаусса, который приблизительно в то ."ке время, 158 что и Лаплас, получил его как распределение ошибок наблюдения в задачах астрономии н геодеаии.
Работы Лан ласа и Гаусса по теории ошибок обнаружили, что рас пределение суммарной ошибки, полученной сложением большого числа незначительных случайных ошибок, прм довольно общих условиях будет приблшкенно нормальным распределением. Таким образом, аснмптотическая формула Муавра — Лапласа оказалась следствием достаточно универсального вероятностного аакона. Роль,— которую нормальное распределение играет в теории вероятностей и ее приложениях, определяется центральной предельной теоремой. Говорят, что случайные величины Хы Хм..., Х„удовлетворяют центральной предельной теореме, если при любых действительных числах а и 1) для суммы К„= Х, +...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
