А.Н. Колмогоров, Г.И. Журбенко, А.В. Прохоров - Введение в теорию вероятностей (1115326), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Нам необходимо определить величину/= ~~~ /,„веро))т. п=т ности вернуться когда-либо в начало координат. Так )кв как н в симметричном случае (см.(1) в 1 5 главы 4), пе формуле полной вероятности ае„= 5~~ 1ыие„ее —— ~ /,„хапаю и ~> 1, (3) е=е е-е где и, = 1, ~е = О.
Вероятности и,„ легко находятся из формулы (2) при /е == О я и„ замененном ва 2п) а и„, = Се„р е/а (п))и р .— д =-. 1/2 получаем знакому)а величину ига = = С",, 2 т). Найдем вероятности /,„и ~ с помощью производяп)их функций. Замечание о производна/их ф//нниилх. Для дальпей1пего нам будет полезно переформулировать более общим об'- разом одно вюкнейшее свойство производящих функций.
таз Рассмотрим две числов (Ьг) и новую последовате с =- пгЬп + пгЬа г ые последовательн льность (с„): + ° ° .+або, п- 11усть 1, (г) и )г (г) — п последовательностей (а~ нроиаводящая функция выражается формулой ункции ветствен овательн ронзводящие ф ) и (Ь;) соот 1(г) послед (() =(,()(. (), х фун войст чайн следа ми в тогд овых т. е. равна проиеведени н / (г). Ясно, что это не дящих функций суммы (см, с. 118).
Однако в да (а;), (Ьт) не обязаны быт (напомним, что последов распределением, когда аг Введем производящие тельностей иг„и (г„: Г(г)= Х иг,г~', ю проиаводящи что иное, как с неаависимых слу пном случае по ь распределения ательность (а~» ~0, Ха~=1). функции числ г Х (ггигп-гг) а г (Х и.. ° г"-")- (Х )эг'г) ( Х игах~ Ю (г) — 1= Х иг г'"= Х И-1 в=я =Хь"" г-1 Отсюда Р(г) = 1 —— 1 г' (г) Найдем лроизводящую функцию Г (г) но вероятное мг„. Удобно переписать и,„в виде 424 Тогда между функциями С' (г) и г" (г) в варужить следующую свяаь3 О, 1, й,.,'-:=.::.'-".-.
числонгМ~~;„-;, но. Тот)(((:,',.- ости 1е,"(ф;-.~" кций «г.':ффФ',- вательнерййф;":-' ероятноФФ~( последщф~"." (!<1 силу (3) можна4~~~~::: ) -: Г и Гн(~: Имеем Е)(г)= ~! иг„ггл= т г,", (4Р4гг)". 4'~ 2 л О Обозначим через (2л — 1)И произведение всех нечетнмичисел вплоть до 2л — 1. Тогда, так как (2н)! = (2л — 1)И 2"л(, то ~в~ (2л) ! (2л — 1) И 2"л! (2л — 1) И гл гг 2 (л!)г 2 "(л!)" 2 л! и 1 Э 5... (2л — 1) В ху .а~ ...
(2л — 1)~2 2лл! л! -~- ~ 2 + 1) ~ 2 + 2)... ( 2 +л — 1) ! Ю Сравним зтн козффициенты с козффициентами рааложе« нпя функции (1 — х), по степеням х: т ~Ч~ т (т+1)... (о~+ л — 1) л при ) г ) ( 1 и любом ж ) О. Получим 1~~ С",„ У(г) = Р— "(4рдгг)"=(1 — 4рдгг) д при 4рргг ( 1. Легко видеть, что ~г„=)!п1В(г) = 1— льа с 1 Ото!ода 1 = 1, если б! (г) - со при г - 1, что равносильно расходимостн ряда Х иг„= со, н 1 ( 1 если Г (г) ( со, т.
е. ряд ~ и,„сходится, Г(1)=,'~~игл~'"ооТаким образом, получено общее утвер1кдение, верное зе только для случайного блуз<дания на прямой, но и з евклидовых пространствах любой размерности (см. 2.6 главы 4);. Вероятпность. ( меньше или равна 1 в зависимости ояг злого, сходится или расходится ряд ,'~~из .
— (1 — 4рдх у /=1 — (1 окончательн 1 — ~р — д 1 что вероятное дават прп Р = Ч = ари йное блуждав рпуллн, возвр , т. е. только нить, что же происходит с травкин',;; ) д илн р ( о, обратимся к ваном~".--' несимметричного биунщеиия, траектория частицы видав«~~.". ичин Яо, Я„..., Ю„. Перваки»аф';:.
едующим обравом; д) 1;> е)- О, и- оо, ' 4~~~'':- ) д на графике случайного басф~," и (р — д — е) и и (р — »7,+; ~ф'„ соотношения (6) ион<»»о одел~~, частицы пролегает в сред»»)()(";,". Рис„27. Траектория Из (4) получаем, что Г(т) = 1 ара ~ х ~ о( 1, Постом 1 — 4рд = (р — д)', то н приходим к выводу, да-либо в начало каор =1 'Хаким обравом, сиута ветс«вующее схеме Бе тогда, когда р = о = '»т чае. Для того чтобы уяс ринмн частицы при р больших чисел. Итак, последовательностью вел ооотношение (3) 5 1 сл Р()о,— к(р— Проведем для случая р нтдання две прямые, (см.
рас. 27), Тогда ив вывод, что траектория »26 т)»д — 4рд)'» . Хак о имеем ть воввращения иот"='Ь не на прямой, со»щ:;" атно тогда и тольки!„". в симметричном сщ»,:,*.„ Вдоль прямой л (р — й) и для любого е) О и достаточ но больших и точка с координатой Ю„(поло>кение ча-," стицы в момент п) будет с большой веронтностью лежать в вертикальном интервале с концами и (р — 'у — з) и' и (р — >> + е).
Это утверн<дение можно уточнитш связывается, что лочл>и ггг траектории ведут себя подобным образом, т. е. с вероятностью 1 ордината блуя>да>ощлй частицы в момент л будет находиться в указанных пределах. Кроме того, можно уточнить сами границы, в которых с вероятностью 1 оказывается баул<дающая частица. Эти возмонснь>е уточнения следуют из двух замечательных теорем теории вероятностей — усиленного закона болыпих чисел и закона повторного логарифма, которые для своего докааательства требуют более сложно>т> аппарата и ноатому оста>отея за пределами нашей книги.
Таким образом, при р ) д существует постоянный снос частицы вверх, при р ( о — вниз, и лишь в симметричном случае частица бесконечное число раз возвращается е начальное поло>кение. й 3. Задача е разорении Рассмотрим еще одну задачу, естественным . образом воаникающую в схеме случайного блуждания. Предположим, что частица, выходящая из начала координат, блуждает на ограниченном интервале оси, а на' границах етого интервала исчезает и блуждание прекращается. Пусть, например, при достижении частицей прямых у = — а илн р = Ь, а, 6 ) О, она исчезает (говорит. обычно,что в точках р = — а, у = Ь находится поглощал>- >лиг экраны).
Какова вероятностьтого, что частица исчезнет в точке у = — а раньше, чем она достигнет точки у = = Ь. Этот вопрос (или ему противополо>кный) представляется в сфор»улированной задаче наиболее интересным, При а = оо или 6 = оо мы уже рассматривали зту задачу в симметричном случайном блуждании (задача первого достижения), Мь> увидим, что такое, на первый взгляд несложное, видоизменение задачи приводит к новым содержательным результатам. Очевидно, что описанное нами блуждание равносильно блуждали>о, выходящему вз точки у = — а и имеющему границы з точках у = О и р = а + Ь (см.
рис. 28 и 29). Это последнее блужданио е граничными точками 0 и а + Ь мы н рассмотрим. Обозначим через Л„вероятность того, что частица, выходя>цая 127 и вту грани из точки у = — а, достигнет примой у = О ранен, мой у = а + Ь. Однако корректно определить роятность можно лишь в множестве во событий, которое образовано бесконечным мио траекторий, выходящих иаточкиа.Мы обойде ность так же, как в 3 3 главы 4, а именно, о Ряс.
29. К а рени Ряс. 28. 11ллюстрацня к аалаче о рааореннн. адаче н. вероя врем еют п Лнал ия ча О. Бу тся н сия. ца по О( Ч Ча = Р'Чнм + Ч Ча-1 Это. основ|же соотноо|ение для нахождения вероитн д,. 1!рн озон очевидно, что Ч„= 1 и Ч„,ь = О. Пер 128 рассмотрением множества возможных исхода ответству|ощего н испытаниям Бернулли или с ствеппо и перемещениям частицы, и введем д„„достижения частицей точки О до момента ВеРоптпости Ч„,л с Ростом л Убывают и им который ыы и называем вероятностью Ч„.
можно рассмотреть вероятность р, достижеп прямой у = а + Ь раньше, чем прямой у = казано, что р, + д,= 1, тем самым исключае димость рассмотрения бесконечного блуждю В результате первого испытания части в точку а + 1 при Х, = 1 с вероятностью р, или в точку а — 1 при Х, = — 1 с вероятностью Тогда по формуле полной вероятности о раей~~ ~*," тнор41~, Ре1ф~~~;.
оги стя , соотношение (1) в более удобной Форме Ч (Ча Ча-ъ) =а Р (Ча+о Ча) (2) и рассмотрим два случая в аависимости от вначений риЧ. 1) Пусть р = Ч = ': . Имеем при любом а Ча Ча-о = Ча+о Ча = А~ где Л вЂ” подлежащая определению постоянная. Ясно, что величины Ч, образуют арифметическую прогрессию с равностью Л, так что Ч,= Чо+ай, В силу того, что Чо —— $, Ч о —— О, имеем О= 1 + (а+ + Ь)й, откуда Л= — —. Таким образом, искомая 1 вероятность равна а Ь а+Ь а+Ь Аналогичным образом, составляя соотношение для вет роятности р„можно вывести, что она равна а Ра =— а+Ь и, следовательно, р + Ч, = 1. 2) Пусть р ~ Ч.
Обоаначим Ч(р = Х. Имеем иа (2) Ч+ Ч =)'(Ча Ч-) и поэтому Ч а — Ч = Х (Чо — Чо). Суммируем обе части по а от $ до произвольного аог аа (Ча 1 Ча) Х ) (Ч1 Чо) а —.-1 ао-Г и после сокращения п подсчета суммы геометрической а, прогрессии ,'~~ аа получаем а 1 1( — Е'1 а — а ~а — Ы х 5 а, н коомоооооо а ою Учитывая, что да — — 1 и да,ь — — О, находим иа (4) а а+Ь Ч 4 — Х вЂ” Ь вЂ” ~.а д =д~— т — л 1 — ь Окончательно , а Ьа+Ь а~Ь (5~':! Зальеняя в этой формуле р на о, е на р, а ка Ъ, получаем' $-" Ра=— 4 — Ьа+Ь Снова р, + д,=1.
Мы проведем интерпретацию полученных результаттйь:,',: в других терминах. Только что решенная задача иьиьяв),;: широкую известность как классическая задача о ривеф',,:,"а нии игрока. Традиционная постановка этой задачи такз,.".„':. за. Представим себе, что два игрока, имея начальные киа,,: ' питалы а и Ь, играют в игру ьорел и решкаь или в какуЮ';:;."::;У нибудь ей подобную. При этом игрок с капиталом а вмиг".".!!:;-.'~~'. рывает в каждой партии с вероятностью р н проигрываеи„:::;~,=,;: с вероятностью д, р + д= 1 (предполагаем, что ничй~;.'-;.~;-,; исключены, см., впрочем, задачу 5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
