А.Н. Колмогоров, Г.И. Журбенко, А.В. Прохоров - Введение в теорию вероятностей (1115326), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Математическое ожидание про висимых случайних величин З и т~ р тематических ожиданий сомножи М$т1 = Мс, Мт~ Для независимых случайных в вость того, что будут выполнены ср — хД и (т1 = у,), равна пронзведе итдого пз этих событий: Очевидно, что мы можем наппсат равенств: М$т~ =~~хту;РД=хт, и= у,т= 4 -ХХхтутР 6= М Р(Ч =Ххтрй= д.Ху т 3 Й р и м е р 6. Ио проводнику, вависит от случайных обстоятельст условий, влажности, состонния о и т.
д.), течет электрический ток, зависит от случая. Иавестно, что с тивленин В проводника равно 25 тока 1 — 6 амперам. Требуется п чение электродвижущей силы К, протявление и сила тока незавнсн Согласно закону Ома Е =Л1. Так как по условию аадачн МЯ 25 рам, то МЕ = 25 6 = 150 вольт. Для общего представления о рас величины важно значение не толь ожидания, по н разброса возможны что н Ч веротсву бытия Д -~":,'„ тн остей ййч ут) то цепоч~~;.",., у,1 = М$. М%,::.'::...!:-,:' е которогФ:::!',.;=;.;- я тепловц~~!'',";::-л. среды:: М;::.;~! рого такййт'; =!!,.
ение сопвтттс.",..';," единя 'си-ФФ.;,',.„: ' но, что аттс!!;. МХ = 6 авхте".,'-"..,':, случайвй'-:,-';~. атичаскбгтт';:,":,с нй, Тинка:,::'~;-.'-' пый пример, который может пояснить положение дел, представляет собой распределение случайных ошибок измерения. Пусть ю — величина ошибки, допущенной прн. измерении. Если при измерении пе допускаются систематические ошибки, связанные с особенностями наблюдателя н измерительного прибора, то математическое ожидание (среднее значение) ошибки измерения равно О..
Равенство Мю = О позволяет нам утверждать, что ошибки полонаггельного и отрицательного знака в среднем ураняовешивают друг друга, но не дает ответа па вансный вопрос: будут ли оснибки измерения малы по абсолютной величине н, следовательно, результаты измерений будут близки к измеряемой величине и на каждый на ннх можно уверенно рассчитывать, или же довольно часто будут встречаться болыние ошибки того или иного ананас В теории вероятностей для измерения разброса значений случайной величины около среднего значения используют понятие дисперсии *) — математического ожидания квадрата отклонения случайной величины от еа ' математического ожидания: 05 = М ($ — М5)а. Из определения ясно, что дисперсия является неотрицательной величиной и обращается в О, если случайная величина постоянна.
Дисперсии можно придать другую форму, а именноа поскольку 05 =- М ($ — М$)а = М Ка — 2$М$ + (М$)Ч = = Маа — 2 (М$)'+ (М$)' = Маа — (М$)$1 то Ю$ = Мса — (М$)е. Из атой формулы мы делаем простой и полезный выводЗ математическое охшдапие квадрата случайной величины ие меньше квадрата ее математического ожидания: Мза ~ > (М$)'. Для дальнейшего нам важна следуеощая теорема. Дисперсия сумл.м евависимых сяутйных величин равна сумл~е их дисперсий ~ 61+ тее+" + ае) = ~)сел+ у)еза+ "+ Иа е) дисверскя — букзалиио а перевозе с затыки «рассея!а!еа.
ИФ Дсйствительп (й+ Ь+ ° о, +6, ((Ь— Отсюда ХЛ) Но, завис изве М ($ Но но пред имы. П дения не поло о с зав жени войств и симы ю, при ~чь у математ х случайн МВт) ЛХ ( ~ — М$;)($»вЂ” поэтому окончательно Теор П собы ждем нос М ема дока риме тияА в из кото тыо р. ы знаем, что зан р 7 пн р а.
еза ых А Найти диспе висимых ис появляется По определению дисп Х й г и Р. Го ко ч + Ув тия А =О раздо то док + в ис р+ 1.р = Л)Ц, = Мзз Таким образом, проще азанно + р пытая вычислить ди теоремы. В де р» означа и с номером Поэтому (МР' = р— — (МЬ+ МЬ+.
°, + М$„))' Лязг) +... + 6„- М5„))' = Х Вь — Л~Ы'+ Х (Ь ™Ы(Ь-МЦ';::-:;;',;".,~::: 1 М~ Ь;+ Х М(ч1 — ЛЯ )6~ — МЬ) Му' )' величины ~~ и Е~ нй',;:;!~в!;; ического ожидания щд)Л:~~;.~,;. ых величин $~ — М4;)М ($7 — ЛЛ$'~;:::::,'::-:-';,!':,!-;, ЛЛ ($г — Мй) = О, и и ю Х л = Х л)Ь. е1 ь1 рсию числа )ь появленМ:;:.,"~„:- пытаниях Бернулли, в ки"';.:;:.!~~~~- с одной и той же вер~;::-'::.'~.~- ) =Р„(т) =С„"'р ($ — р)" ерсня )г может быть записана в ви~,::.';:,-",;.-.='.
(т — пр)' С™мр'" (1 — р)""".:::;.:-,'-!.-'ф!;„'; сперсию с помощьЮ т~~~.."=~!,.', самом деле, р = (хх'+-:;:"~~~~";; ет число появлений с~:;:-,'.~"-.,"-„:;,. Й. Но Мса = р и МЦ. ~Р':!,=,":,.„;',::;,:," р' р (1 — р) = рй'::-:.'-::!',~";:,,', Л))) = пру. упражпевпя 1. Пусть $ = а'(Ев/) случайная величина, рзв" вая числу очков при бросавии первой кости, а в( = в)(Ев/) — случайвал величпва, развал вислу очков, выпавших при бросаиии второй кости.
Доказать, что МЩ = М$ Мв). 2. Монета бросаетсл наудачу 5 раз. Пусть 4 — число вьшаденка торба, а в) — длина максвмелькой серии (выпавших подряд) гербов. Найти распределения величии $ и 9, а также их математические ожидания и дисперсии.
Ответ: Мс = 5/2; Вь = 5/4; Мй = 31/16; Ов) = ЗОЗ/253; 3, Бросаются дне игральвые кости. Пусть * — число очков„ выпавших ка первой кости, а у — число очков, выпавших па второй. Найти распределевил а и з = шах(е, у), а также Мл, Юе, Мз и Юз. Ответ: Мх = 7/2; Юх = 35/12; й/в = 16МЗ6; Вс = 2555/1296. 4. Бросаетсл или кость с обычными числами очков (О, 1, 2, 4, 5, 6) ва гранях, илк кость, па гранях которой обоаначепы числа очков (1, 1, 1, 4, 4, 4). Какой костью лучше играть, чтобы при трех бросапилх зероятвость вабрать в сумме ке меньше 9 очков была большей) У к а е а к и е. Докажите, что распределения сумм ов и 3з длл первой и второй ности скмметрвввны — одно относительно 9. другое — отвосительво 7,5.
Полезко сравнить математические ожидания. Опмвт: первой, поскольку длл кее Е'(3, ) 9) .л 0,5, тогда как Р (8в ) 9) ч. 0,5. 5. Предлагается трижды бросить ила игральную кость (1, 2, 3, 4, 5, 6) или кость (1, 1,1, 6,6,6). Какай костью лучше играть, чвоб, с большей вероятностью набрать а сумме не менее 15 очков) Навти 113 для обеих костой математические ожидания и дисперсии сум»(м:,.:.-.
",'„', числа выпав>лкх очков. Ошеелп этороп. М8> = МЮ» = 3 3,5 = 10,5; Ю8« = 3 35/12 ив =. 8,75; В8» = 3 6,25 = 18,75. 6. Пусть при икре в спортлото «5 иэ 36» эы ааранее знаете, что У- нри 5, 4, 3 угаданных вами номерах вы получаете выигрыш соответ-' ственно 10 000, 175, 8 рублей. Аналогово пусть в спортлото.Щ ' „; иа 49» аам эаранао йээестлы выигры>эи: 10 000, 2730, 42, 3 рублика Какая иэ этих игр оказывается более выгодной длл игрока, еслй,т! оп собнраетсл играть достаточно много ра»7 Ответ; «5 из 36»; математическое ожидание иыигрыша в этан '-~„: случае при одной игре 20 коп., в спортлото «6 иа 49» это матема- ':,,': тическое о>к>Шанис =14 коп. Г>ри большом количестве игр к ре-...",~' аультату выигрыша приыенйм закон больших чисел (см, следуюнп>й--;";., параграф).
9 3. Закон больших ч»мел в форме Чебышева й(ы возвращаемся теперь к идеям, которые::,:.„'":;е были изложены в у 6 гл. 3 в связи с теоремой Я. Берпулли„.,',-;. ()казывается, что доказанный там заленый предельна»й:-;-.'"-!: результат, получивший наименование закона большид'.
':--' чисел в форме Бернулли, допускает очень широкие обоб '-' ';— щения. 1»(ы изложим здесь замечательное предложение, прннадленга>цее одному из крупнейших математиков;"':,'" прошлого вена П. Л. Чебышеву (1821 — 1894). Теорема';,';.; П. Л. Чебышева интересна не только широтой формули- -',";:* ровки, но и исключителыш простой идеей доказательсткал,",':;;.;,"~! В основе последующих рассуждений лежит г>еравенство»';.-;, обнаруженное П. Л. «1ебышевыь> и позднее нашедшее мир' гочисленные применения как в теории вероятностей, тВИ';:,':.,":,',:::, и в других математических дисциплинах. Лемма Чебышева.
Если случайная величина $ "". имеет конечную дисперсию, то при любом положитель-' ном а имеет место нераеенстоо Р () 9 — М$ ) .:. а) ( —, Ву Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть х; — возможные анде':;:=-> чеппя величины с и р; — их вероятности, По определй"'. нию Если которых Я= 'Я (х, — М Я р ь > в атой суммо ыы выбросим все слагаемые, для:;: ! Х« — Мз ) ч. а, И СОХраНИМ ЛИШЬ тв, дпя Х(>,„:„,". торых ) х1 — М5 ) > а, то от етого сумма мо»кет'тйль»и)о уменьшиться.
Следовательно, "З = Х (х» — МЗ)' р» ~х. — Мх 1) а где сумма распространяется на те значения 1, длн которых )х„— М5 )) а. Су»а»у, стоящую справа, мы уменьшим еще больше, если все множители (х1 — М»)х заменим допустимым для них минимумом а': ПР „1 1х -»1и)~ Р() $ — М$) ) а) = Х р1 ° ~х1 — МИ)~ Последнее неравенство знвивалентпо утверждению леммы, Найденный нами результат носит название неравен-' ства Чебышева. Закон больших чисел (теорема Чебы; ш е в а). Пусть имеется последоеательность попарно юмах еисимых случайных ееличин 5 $1, . $ с математическими ожиданиями о» = М$» и дисперсия.- ' ми Щ», ограниченными одной и той же ееличивой с: В~„<с (у=1, З, З,...).
Тогда при любол» а) О и и - оо Доказательство. Поскольку события противополо!пны, то имеет место равенств Ф п ь Х Л 1 а„~:л и!г ) =. 1 — Ф„':!'-':':! пня, оперируя с вй",...:. у Чебышева сужде енств рас ерав п Рь ~< В силу независимости слагаемых 1 ХИ1 1 А так как по Условию теоРемы 1151 ~( с, то .0,~~ ~л(пс Но теперь очевидно, что г„гь - О, когда и-» Р„= 1 — г',г„:з 1 — —, орем прн в уел л =а бенно а, яо и выяснен возрастании и. овина теоремы при всех й, т простую фо Р~~ — ~~ 5„— а~(а) — 1 1 ! ь таку!о интер ей иамеряют в , что допуск нне; тогда пр тическое их р кой к 1, будет величины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
