А.Н. Колмогоров, Г.И. Журбенко, А.В. Прохоров - Введение в теорию вероятностей (1115326), страница 19
Текст из файла (страница 19)
В гридат дател ни таь велич рифме о близ елшй Нам будет проще проводить роятностью г,г„. Согласно н Нами не только доказана те стра Р„приблингается н 1 С л е д с т в и е 1. Если дополнительно положить а 'чебышева приобретает осо и -+ со и любом сг > О Этому следствиго можно 1 Предположим, что и паблю без систематической ошнб ногрешности сравнимы по числе измерений среднее а с вероятностью, сколь угоди мало отличаться от измеря Иа ,ему: 'и1йй': ~:-!",:.
п р ет айлийг»! .', » сливину.:.Ф»-„. и больигйль;"1 ° езультФ~!:;» этом™~~~;,;..;."-' ствии мы можелс видеть обоснование принципа среднего арифметического, широко используемого в экспериментальных науках. С л е д с т в и е 2 (т е о р е м а Б е р н у л л и), Вели случайные величины принимают только два значения О и 1 с вероятностями соотеелсетвенно д = 1 — р и р, то мм получаем доказанный ранее закон большит чисел в форме Бернулли. Заметим, что теоремы о законе болыпнх чисел содернсат исключительно важные факты, указывасощне на то, что при неизвестных условных совместное воздействие большого числа случайных величин оказывается почти постоянным. В атом заложено обоснование лшогих законов физики, зкономнкн и других явлений масзового характера.
Уяражяеняя 1, Макета кидается 1900 раз. Велики ли вероятности получить при этом еьшалеяке герба а) более 1200 раз; б) болев 900 разу Ооыекк оценка по аеравеяству Чебышева дает а) менее 1/800; б) менее 0,02. 2. Чзстяца пролетаег сквозь яогаощаюшкй экран с вероятностью 0,01. Чему равно катеьсатяческое ожидание числа пролйтза1явх сквозь него частвц, если ях было выпущено 1001 Велика лв зероятность того, что сквозь зкрав пролетит более 11 частвц) Окмежс математическое ожидание числа пролетевших частиц равно 1, По неравенству Чебышева ега вероятность не превосходят 0,0099. й 4.
Производящие функции Будем рассматривать случайные величины Х, г, принимающие только целочисленные неотрицательные значения. Определим производщдую функцию )х(з) =~ Р(Х =)г).зг, в~О; ~г тут и далее мы ке будем выписывать пределы суммирования, подразумевая, что суммирование производится по всем й, для которых Р (Х = й) чь О. Приведем некоторые очевидные свойства функции 1х (з). Так, )х (О) = Р (Х = = О), и если зта величина меньше 1, то Ьх (з) — строго возрастагощая фупкцин, выпуклая вниз, как сумма выпуклых вниз функций зг. В точке з = 1 выполняется равенство 1х (1) = ~ Р(Х = й) = 1. Вычислим теперь производную функции ~х (г) при г =- 1: 1х (1) = Х Р (Х = й) . й = ИХ1 6 ~~ (1) = ~~ Р (Х = й) й (й — 1) = = Х Р (Х) й' — МХ = МХ' — МХ,,".-.:;,' Учитывая Юх = ЛХХг — (МХ)', получим Е~х = )х (1) — (!х (И)' + 1х (1) Веронтности Р (Х = й) можно выразить через при ':*, изводные производнщей функции, вычисленные в точигь-' г = О.
В самом деле, (О) Р (х о), точно так же производящей функ.'::"~~~! ' пронзводлщей фудн,"~у~,~ вычислить все основ-.; -,";,,-;: ичнны Х. функцию суммы двуд,: ~';.р а(о) = Р(х Вычисляя производную й ции при г = О, получим ~<г~ (О) ядка го пор = й! Р (Х = г) или Р(х=й)= у<'~ (о) Таким обра цнн в точка ные характ Вычисли независимы роизво =1 мо чайной изводя зеличи зом, х г ерис и те х сл через п =Оиг тики слу перь лро учайных дные жпо 1цую и Х ~ Р(Х + ) й) г г ХХР(Х =)) Р(« =-й — )) "~- =- = Х Р (Х = 1) г~ Х Р (У = га) г'" = /х (г) Ь (4г' 1 м дРУгими словами, пеРваЯ пРоизвоДпан пРоизводнщей фрггйг ° ', ции в точке г = 1 равна математическому ожиданйги";...".'";.
случайной величины Х. Вычислим т. е, йрочизводящая функция суммы независимых слрюай-' иых величин равна произведению производящих фуйк- ' ций этих величин. Цроизводящие функции буду~ применены в дальпейщем к ре(нению комбинаторных задач и выводу «предельных» теорем в главах 6 и 7. Упражнении 1. Ни(ти лронавюппцую функцию для случайной величины р примера 2 1 1 даннол главы.
1 Отсели —,«(1 + г)'«. 2. Ню(ти прои»водящую функцию случайной всю. юнм р примере 212, Олмеаи (ре+ д)". ГЛАВА 6 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИСПЫТАНИИ ";. БЕРНУЛЛИ: СЛУЧАЙНОЕ БЛИКА(А И СТАТИСТИЧЕСКИЕ ВЫВОДЫ $1. Испытания Бернулли Мы возврати»доя в этой главе к одной::.;щ;-:;:~:," вадкнейших моделей теории вероятностей — схеме Бв~("'- купли пезависимых испьгганий с двумя исходами, котор~,;, была введена в в 5 главы 3, Обычно один из исходов'у~(: ловво называют «успехом» (событие А), а другой — «дй)(~"';:- удачей» (событие А). Предполагается, что в каждом ист~~~!:,:;,!: тапии «успех» происходит с одной и той же вероятност~3$.;- р, О «" р ( д, а «неудач໠— с вероятностью дд = « ','.ф~-"'„ Используя понятие случайной величппы (см. т 'д главы,ф~~~. можнй дать равпосвльпое определение схемы Бернулдф;!»: в терминах случайяых величин.
Имепно, рассмо последовательность случайпых величия Х» Х,, ъаждая из которых принимает лишь два значения 1 И ф Пусть (Х„=- 1) = А, (Х„О) = Х, тогда Р (Х» —— д) = р, Р (Хд. = 0) = д. Таким образом, случайяыо величипы Х„можпо паз характеристическими функциями (индикаторами) соб А з кап«дом испытании с соответствующим номером = $,..., п. Предполодким таьже, что случайные вели ны Х„..., Х„взаимно независимы. Тогда говорят, последовательность Х„..., Х„задает схему Берну и«зависимых испытаний. Число успехов в п испытапиях Бернулли выража случайной величиной Я„, равпой сумме Хд,.: ., Х Ю«=Хд+ + Х. Эта случайная величина имеет бикомиальпое распред, кис, т, е.
М, 'й:" Р «Ь', = лд) = С„'"р"йд" "', и = О,..., я; ее мате»«этическое ожидаиие — среднее число «успехов»-о равно МЯ„«пр, а дисперсия Равна,0о„, == пру (см. $ 2 главы 5). Очевидно, что последовательность У„..., У„, где У» взаимно независимы и принимают дэа значения +1 («успех») и — 1 («неудача») с вероятностями р = Р (У = 1), д = Р (У -1), таин е представляет собой схему Бернулли, притом случайные велвчины У» и Х» связаны соотяошением: У» 2Х» — 1 1=1, ° и. В этом случае сумма 8„= У, +... +У„имеет смысл разности между числом «успехов» и числом «пеудач» в п испытаниях: Я„= 2߄— и = Я вЂ” (и — Я„).
Так как (Я„= л») = (Я„= 2т — п), то распределеиие случайной величиыы 8 -находится по распределению Я„и определяется формулой (и+ з четко) я+В в+В и-М Р(с„'=й) С„' р' о', й=о, ..., и, (1) Математическое ожидание и дисперсия Я„равпы соответственно М8„=- и (р — д), ЭЯ =- 4прд (см. задачу 1). Согласно закону Оольшях чисел при и — оо дчя любого е) О. В последующих параграфах будут изучены предстаэлнющие песо мвенпый практический интерес задачи, которые ставятся в рамках схемы Бернулли.
Параграфы 2 и 3 посвящены случайным блунщаниям на прямой, а параграф 4 — простейшим статястическим задачам, возникающим в схеме Бернулли. »21 порождает ч«о частиц времени п Ра«„26. Не семм«тра«- все баужяа вь«часта>»м няцу — «1>, как схема мых случаи рых прпни и д —. тельпости 1„1, — 1,1 4 еленпая т вать путь вычпслепны Значение ложение событие ( ходится в частиць> а б«, Х„.. пь>х велич (1), инте! здз >еще й >зз $ 2.
Случайное блуждание на примой,: ':-:,'!"::,~;: «оответствуто>цее схеме Бернулли Рассмотрим случайное блуждание, котойдз~"', ся схемой испытаний Бернулли. Предполонсзв~:. а вь>ходит из начала координат и через еднщЩф,; еремнщается на единицу вверх с вероятност>"„:$~ь; р, О <, р с 1, или на единицу вниз с вор)2«,;" ятностыо д = 1 — р (ель рис. 26). В каждгд>(~! последу>ощнй момент времени повтордвщй! тз >не истор>ся незцвнсимо ог предыду>цех~:-' положения частицы, Таким образом, ва врщ:"'' мя я частица проходит некоторый путь, к6~",,'~ тарый можно, тан я«е как в главе 4 (см.,в'1~1 изобразить графически, Всего путей двк>К>>«;.„ ния частицы за время и будет 2", одни~~»' теперь зти пути нельзя считать равнп1к>в>.",',";. можнымп.
';"!Ф' 1! оследовательнесть перемещений чзбт»Щ~:";:, за время и может быть рассмотрена как м«м».";, с»едовати>впасть я независимых испытан~~-;:: с двумя исходами (дви»«ение вверх на е>ч»)!(т,„ движение вниз на единицу — « — 1>), т,'",~ф.':" Бернулли. Рассмотрим я взаимно незавкб>2з»хб 'ных величин Х„.. „Х„, каждая иа к«тг«й»,".,",, мает значения +1 и — 1 с вероятпостяь>и"",".'ф~~ р соответственно, Тогда веждой последок~~;:":,.'." значений зтпх величин, например, 1, 1, .;,'~1~!~'.
, — 1, — 1, ., 1, будет соответствовать оп(и)~~;;! раектория движения частицы. Удобнее вх(!»~~-;"~' частицы пе самиъ>и Хх, а их последовзтелдд(>~-,~... ми суммами: 8» =. Х, + ... + Лы й =- 1,..., п. (, >«зя>дой суммы о«будет характеризовать йб~»(1* частицы в момент времени п, так, папримеф~~=;~ Ь„= у) означает, что частица в момент и Й~~=, точке с координатой у. Траектория дви>ке3>>«1гх> з время я однозначно описывается набор»в«««~; ., Я„, и, наоборот, последовательность случв' ~,.;; ин Я„ Х„ ..., Х„, определенных по формуле >претируется как траеьтория некоторой бт>х.
частицы. Как следует иа $1, случайная величина Я„имеет рае;. пределение Р (З й) Сч' ~а)/ерши)~ее/Я-е)/е (2) (и и й должны иметь одинакову)о четность). Эта формула дает веронтность дастин<ения блужда)ощей частицей то»- ки с ординатой й в момент и. При р = д = 1/2 Р (З Ц С(~ы)/е2-п. зтот случай, соответствующий симметричному случайному блужданию, был подробно рассмотрен в главе 4. Перейдем непосредственно к решению задачи о воз- вращении частицы в начало координат в случайном блу- )кдании, задаваемом схемой Бернулли.
Интуитивно ясно, что в силу несимметрии задачи начало координат уже нв будет играть ту рель, которую оно играло в симметричном случае, и поведение частицы будет зависеть от соотноше- . ния вероятностей р и а. Вновь введем вероятности и,„ — вероятность воз- вращения в нуль в момент 2п и ~,„ — вероятность пвр- ваго возвращения в нуль в момент 2ьи и„= Р (Ю,„=- О», /,„=-- Р (Яе ~ О,..., Юе„т ~ О, Я,„=- О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
