А.Н. Колмогоров, Г.И. Журбенко, А.В. Прохоров - Введение в теорию вероятностей (1115326), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Для оценки неизвестного зиачеиив р производится «случайвый выбор без возвращеиияз. Докюквтв,.'.:,': что вероятность получения т белых ясаров в выборке объема л равий'': ' 9. В условнвх упражпеппя 8 пусть случаблая велнчпна 8„брЩ чпсво белых зпаров в выборке беа возвржценпя. Частоту поивлевг ппл белого спера н выборке 3„!и можае пспольвовать в кааефпй оценкл р = М/Ж, Докажите, что у И 5- р, п 10.
Прн $00 бросаниях монеты агерб» появляется 70 раа. Прот в~ рьте, согласутотся лн ати данные с представлением о спмметрнн монеты (р = 0,5). постройте дю~я атосе доьсризсвььий цнтепввл с уровнем аначщиостн 0,5, ГЛАВА 7 ПРОЦЕССЫ ГИЬЕНИ И РАЗйН1ОЖЕНЙН 5 1. Общая постановка задачи Общепринято„что фамилия в семье сохра-,.',: няется по мунсской линии.
Пусть р«, р„р„...— вероятности того, что отец имеет соответственно О, 1, 2, ... сыновей, пусть с теми же вероятностямн каждый пз пих имеет своих: ': .:,: сыновей и т. д. Какова вероятность того, что мужская. '.:::.: линия выродится к г-му поколеншо. Эта задача решена была Гальтоном и Ватсоном в 1874 году, которые по ее поводу писали: «Исчезновение фамилий лиц, которые за-. нимали видное поло кение в истории, — это факт, неодно-" кратно отмечав«эпйся в прошлом; по этому поводу стро;";.':.'- ились различные догадки...
Слишком многочисленны была: ';:. примеры фамилий, которые, будучи распространеннымн, становились редкими или дая<е совсем исчезалим Аналогичная задача возникает при рассмотрении цеп-, ной ядерной реащии. Нейтрон, находящийся в куске «ядерного горючего», характеризуется своим положени-' ем, направлением двпя«ения и энергией. В любой момент;;:1 оп моя.ет столкнуться с атомным ядром. В результате та-. кого столкновения моясет яроизойтн расщепление ядра.': В процессе расщепления могут появиться различные ча;: ':-". стицы, в том числе случайное число новых нейтронов со:.,.:,", случайными энергиями и направлениями движения.
Оче-.-',': видно, вероятность столкновения неуггрона с ядром зави.-'' сит от геометрических размеров данного куска «ядерноге' ' ',:: горючего». Опять возникает задача, какова вероятности: для данного яейтропа па и-и шаге иметь Л' потомков'','.', Какова вероятность,что Л'будет с ростом и неограниченно:,'- ".:- возрастать (ядерный взрыв), или Л' будет находиться в не-, .,'',: которых фиксированных пределах (управляемая ядерная.:; реакция), или Л' =- О (прекращение реакции). Аналогичные задачи возяика|от при рассмотрении вопросов размножения простейших одноклеточных ор'-. '; 14Ц ганизмов, при размножении вирусов и бактерий (задача эпидемиологии), при изучении различных химических реакций и т, д.
Часто рассматривают процессы гибели и Размножения частиц нескольких взаимосвяаанных типов. Типичным примером является изменение численности популяции аайцев и волков в некоторой местности. Чреамерпое увеличение численности зайцев приводит к ускоренному росту популяции волков, но заметное увеличение численности волков ведет к снижению численности зайцев. Происходит в результате взаимосвязанный колебательпый процесс численности зайцев и волков.
Абстрагируясь от описанных выше природных явлений, сформулируем следующую задачу. Пусть в начальный момент времени г = 0 имеется одна частица, которая к моменту 1 = 1 может произвести с определенными вероятностями некоторое число частиц того же вида. Каждая из образовавшихся частиц независимо с теми зке вероятностями за единицу времени опять моясет произвести некоторое число частиц того же вида и т. д. Пусть з„ зм...
означает последовательность случайных величин, равных числу частиц в моменты времени 1 = 0„ 1— = 1,... Мы всегда будем полагать гз =- 1. Заметим, что соответствующие свойства процесса при з, ~ 1 легко получить, так как мы предположили, что процессы, начинающиеся от различных первоначальных частиц, раавиваются независимо. Итак, мы будем интерпретировать х как число частиц популяции в и-и поколении: з, = 1, распределение вероятностей з определяется числами Р (гд — — й1 = р„< ~ 1, й = О, 1, 2,..., К, ~р„= 1, где р„— вероятность того, что в следующем поколении одной фиксированной частивы будет ровно Й частиц. Мы предполагаем, что зтот же вероятностный аакоп размножения действует в любом поколении для кая(дой иа частиц независимым образом.
Другими словами, условное распределенне з„ш при условии, что з = 1с, определяется из предположения, что Различные частицы размножаются независимо. Таким образом, з„,г распределена как сумма й независимых случайных величин, каждая нз которых распределена так же, как з,. Если з„0, то с вероятпостшо 1 выполняется „„= О. Определив так процесс, мы хотим знать его свовства.' Распределение вероятностей величины ата ее математиче- 543 ское ожидание, дисперсиго; вероятность того, что случай"':;" ная последовательность гя г„...
сходится к нулго; иовй".", денио этой последовательности в случае, ъогда оиа йгг-,: сходится к нулю. В процессе наших рассуждений мы будем'' -': придерживаться определенной памн абстрактной модели;. " хотя за кей могут стоять конкрет1гые процессы в физипо,;";. биологии, химии, генетике н других областях паукй:-- й 2. Производящая функция величины кк Воспользуемся определением и простейа~ф' ми свойствами проиаводящих функций, введенных в гла~::,':.".;~;,:: ке 5, т 4. В дальнейшем будем обозначать производвпдМ;:;-:::;:.;„' функцию случайной величины г через /„ (г), пропана-:~:„.
дящую функциго г, для краткости будем обозначать ~ф~:,,::," Между производящими функциями величин г справед'.,", лино следующее соотношение: /к „(г) = ~ Р (г„„= т) г ю = — ~ ~ Р (г„= к) Р (г„„=- т/г„= й) = = ~ Р (г„= й) ~ Р (гк м = т/г„= Й) йа,"-, ',: т П1 '!псла потомков от каждой ие /г частиц независимы друи;::;(, от друга по определению, поэтому прп условии г„"-'ч"й: " распределение величины г„„является суммой неаавцт' '!'; синих случайных величин, ~~аждая из которых распре',. '", делена как г, и, следовательно, имеет производяц(аиду','; функция (/, (г))», т. е. ХР(г„„,=т/г„=Ь)г =(/>(г))", /г=О, 1,... ю Отсюда получаем /- (г) = Х' Р (г, = й) У ( ))" г что по определению проиаводящей функции величина) ',.
г„равно / . (г) = / (/ (г)) = /, (/ ( ))* На основании последней формулы получим /г (г) / (/ (г))~ /г (г) / (/ (/ (г)))1 вообще 1 (а) ' 1И" 1(а) -) (2) т. е. проиаводящая функция' 1„(з) величины а«равна и-кратной итерации прояаводящей функции 1 (а) величины вп $ 3. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины к« Обозначим лтгт 1' (1) = т, йа, оа = 1«(1) + и — тв. ДифФеренцируя (1) иа 5 2 в точке а = 1, найдем математическое ожидание 1'+, (1) = К Ц (1)) ~' (1) = Щ (1) т, откуда по индукции получаем Мт„=1«(1) =та«, я=О, 1, ...
(1) Продифференцировав еще раз, получим К'м (1) = 1' (1)!1' (1))'+ й (Ц 1«(1) = — )«(1) та+ ж«(от+ яь« — щ), откуда следует 1" (1) = а'т«т (та« ' + т" а + ... + 1) + тт« — та« или о«ж«-~ ( я«-~ + ж«-х + + 1) (2) Формулы (1), (2) дают нам явный внд математичесното ожидания и дисперсии числа потомков я-го поколеппк.',--:; через иавестпыс математическое ожидание и диспеРсию числа потомков от одной частицы.
4 4. Вероятность вырождения Рассмотрим теперь аадачу о вероятности вырождения потомства одной первоначальной частицы;,:: например, вероятности вырождения фамилии, или ве" роятностн затухания цепной ядерной реакции, порожден" ной отдельным нейтроном, и т. д. Па языке последователыщсти в«вырождение означает, что а„='О, начиная с нскоторото номера и, при атом, если в« = 0~ то по 1йй Найдем предел д= ИгаР(г„=о), который и будем называть вероятностью вырождения'-.", последовательности г„. Т е о р е м а. Если т = Мгя ~ 1, то вероятность вм-." роьсдения равна 1. Если т) 1, то вероятность виролс-', г дон я равна единственнол>д неотрицательному решению.'::,: уравнения =у(), меныиему единицы.
Доказательство. Очевидно, ввиду вложен", ности событий (г„= 0) С (г,+, — — 0) справедливо 0 ~( Р (г„= О) ~( Р (гон —— О) ~( Р (г„+г — — О) < ... а" 1, г. е. мы имеем ягеубь>вагощую ограниченную последова",,:::: тельность Р (г„= О), следователыю, существует предел й.'.: > Из определения производящей >)>ункции последователь," кости г„ следует Р (г„= 0) = У„(0), У„„(О) = У (У„(О)). 1ппУ„(0) =1ппУ„+,(0) =д, а также По так как то справедливо у=у(ч).
: (1)-: Кслн т = У' (1) ~( 1, то,в силу выпуклости вниз >)>ункцин::. у() У(г)) в при О(в(1. Отсюда следует, что в этом случае единственным решением: уравнения (1) будет д = 1. Коли т =- у' (1) ) 1, то в некоторой окрестности точки в =- 1 для в (1 Г>удет выполняться у(в) ( в, в то 146 определению г = О для всех т ь и с вероятностыоедини'.::- ' ца. Другими словами, мы имеем дело с последовательно-: . стгао вложенных друг в друга событий (г„= О) > (гвы = О) С (г„г = О) С же время ! (О) ъ О, следовательно, уравнение (1) цм —,. решение в полуиптервале !О, 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
