А.Н. Колмогоров, Г.И. Журбенко, А.В. Прохоров - Введение в теорию вероятностей (1115326), страница 24
Текст из файла (страница 24)
К тому же, 1пп (ч (:;., пе люяшт равняться единице, так как зто означало бьь что в некоторой окрестности точки 1 функция ~„(0) убывает ввиду 1„„(0) =-1 Ц„(0)), а зто невозмояшо (см. начало докааательства теоремы). Следовательно, искомое о является единственным решением уравнения (1) в полуинтервале (О, 1). Теорема доказана. Доказательство приведенной выше теоремы было основано па свойствах итераций функции 1(г), опо наглядно иллюстрируется следующими графикамн (рис.
30, ЗЦ. Значение ~ (0) есть ордината пересечения графика 1(г) с осью ординат. Значение ~г (0) = 1(7 (0)) л1олкно получить, проведя горпзоптальпую прямую па высоте 1 (0) до пересечения с диагональю квадрата с верппшами в точках (О, 0), (О, 1), (1, 0), (1, 1) и восставив затем к пей перпендикуляр из атон точки до пересечения с графиком 1(з).
Точно так же получаются последуюшл1е итерации функции 1 (г): 1л (0) =-1((г (0)) и т. д. В виде небольшого отступления заметим, что приведенная процедура дает очень удобный способ отыскания приближенных аначспнй решения уравнения 1 (г) .= г. Любое уравнение может быть сведено к такому виду, и для прибли)кеннете отыскания корня после етого нулнно лишь многократное повторение вычислений функции 1(г).
Это довольно часто используется па практике при ' отыскании численных решений уравнений. Читателю. ' полезно будет самому подробнее ознакомиться с предлагаемым методом и убедиться, что при решении таких уравнений могут быть «устойчивые» и гнеустойчввые» решения, К какому из корней приведут последовательные итера- . ции, зависит от начального значения гл или того, в область притяжения какого из корней попадает начальное приближение. Легко заметить, что в устойчивых корнях ! 1' (д) ! ~~ 1 (рис. 32), в неустойчивых корнях ! 1' (д) ! ~ > 1, хотя практически любой неустойчивый корень монют быть переведен в устойчивый путем линейном преобразовапкя.
В случае задачи о вырождении фамилий обычна счнтатот, что веРоЯтности Р„ = Р (гл = й) РождениЯ в семье Й мальчиков образуют геометрическую прогресслпо Р, = Ьсл-', й =1„2,...,0(Ь, Ь<1 — с, а Ра= = 1 — Рл — рг — ... В таком случае пронзводшцая с Рис. ЗО. График фуизсцип 7(а) прп га ~ 1 с иаобрая7еииеи г~рфа.. '.- ческого способа отыскания итераций та (О) = 7 (7 (О)), Га (б) = 7 (7т (О)),... 77 7 а рис. 31. График фуикции 7 (г) прк га ) 1 с ааобра7кеиивм графи": -';'л чоского способа отыскания итераций 1, (О) = 7 (7 (о)), 7, (о) = 7 (7, (О)), . ° 148 Р тг рис. 32.
Графики функции г (с), ее я-кратной ктсрацкк уя (з) к предельной функции д(с) в общем случае. г( к С вЂ” устройчивые корки,  — неустойчивый. Начальвые точка сь и сь покааагст в область нрвтяжения корня г(, точна сс — область врктяжсвкя корня С, функция ) (я) вычисляется следующим обравом; Ю г(~)= г Рва=1- —,+ — „ Математическое ожидание числа мальчиков будет т= Мат=у (1) = (т ь Уравнение я = ) (я) имеет неотрицательный корень г — Ь вЂ” с с (т — с) Этот корень равен 1, если яг = 1; если яг ~ 1, то вто ' единственный неотрицатеггьный корень. Если лг ь 1, то вероятность вырождения о = сс. По данным А.
Лотка вероятности вырождения потомства мужских линий хорошо нрнближаются геометрической прогрессией с Ь = 0,2126, с ==- 0,5893, ре = 0,4825. В этом случае вероятность вырождения о =- 0,81йя Естет49 с»воино, что вел»пжны б, с подсчитываются статистическн, ' ' по даппыы переписей населения и могут меняться для раз,,: вых географических областей. Приведенные данные осно-' вывались па переписи 1920 года в Америке. Эти величины,' даже для одной и той же местности могут со временем ме-.:- '. няться. Изучением таких явлений занимается наука демография. () 5. Предельное поведение в„ Мы у.ке выяснили в предыдущем параграфе, что при и-+ оо, т ~~1 Пю Р (»„= 0) = 1, т.
е. с вероятностью единица в этом случае потомство од«- . ной частицы вырождается„ногда число поколений и -+ оа. При этом при т ~ 1 математическое ожидание числа по«:,;.:: томков Л1»„=-- т" — 0 и дисперсия Л»,=о»т"-'(т"-'+т" '+... + 1)= ' (' ) -ь0. т — 1 В то же самое время при т =- 1 математическое он»идаьжв' и дисперсия числа потомков ЛХ»„ = 1, Л» = ио» к нулю вообще не стремятся, несмотря па то, что»;, вы:;::,,", . рождается с вероятностью единица. Это означает, что< несмотря ка достоверность вырождения, с ростом и исчезающе малые вероятности болыпих флуктуаций все время -':: остаются.
Другими словами, <типичная траенторияз чм' сла потомков прн т =- 1 довольно долго блуждает вне нуля и может при этом подниматься достаточно высо~аЬ::; .,':. но, тем не менее, с вероятностью 1 рано илн поздно обры-"': вается в пуле. Найдем оценку вероятности Р (»„> О) при т <, 1. Очевидно„ Р (», ~ 0) — -- 1 — Р (»„=- О) = 1 — („(О). Рассмотрим приближение фупкапи ( (») (рнс. 33) 1 (») —.- 1 + ( — 1). »ьо срункция С (г) — линейная и она совпадает с 1 (г) в точке 1 точно так же, как и ее производная. Очевидно, Г (е) е 1 (з), 0 ( с ( 1, и н-я итерация функции 1 (з) будет меньше и-й итерации функции 1 (з): 7. (0) (~, (О) 1 — 1„(О) < 1 — Т„(О), по иа нида 1(з) непосредственно следует Ф вЂ” 7 (О) = т, 1 — ~е(0) ==псе, 1 (.
(О) те 1 ( (О) те д се 'Хаким образом, в случае т(1 Рис. 33. Сзуниция 1(г) и Р (зе ~ 0) = 1 — У„(0) ( т", ее приближение С(е). т. е. вероятность выживания убывает как геометрическая прогрессия. В случае т = 1 зта вероятность убывает значительно медленнее: можно показать, что в атом случае Р(з„) 0) — — „ 2 еР (Ц Из рис. 30 для 1 (з) с т = 1 нидно, что зто убывание происходит гораздо медленнее, но строгое доказательство етого факта тут мы пе приводим.
В случае т > 1, как мы уже установили, вероятность вырождения 1пп Р (ае = 0) = д( 1, в то же самое время при любом )с) 0 вероятность фнкснронанпого числа Й потомков стремится к нулю: 1пп Р (и„= 1с) =.. О. (Ц В самом деле, как видно из рис. 31, 32, прн любом з <' 1 1ио (е (н) = д, но зто было бы невозможно при неныполнении равенстна (1). Функция ~„(е) является полиномом от г с неотрицательными козффицнентами, и невыполнение (1) означало бы, что ~„(с) при достаточно болыпих и возрастает быстрее, чем 'l,реле, 0 ( е <" 1, где рл —— 1пп Р (и„= 1с) ~ О, 451 и не могло бы в пределе совпадать с постоянной р. Мите'', ".',," матическое олгидаыне а„при ия ) 1 Мк„= тп —.- оо.„ оот" г (тн — 1) дисперсия Юз, — — о. Таким обрааом, последовательносты„при т, ) $ с в6';;, роятностью д обращается в нуль и с вероятностью $ —.'се);:;!, г а,су п Рис, 54.
9Рп РеалкааЦии функции )п х„пда т ' 1е , '::Ъ::. стремится к бесконечиостн. Типичная траектория послах",. довательности г„при т > 1 совераиает при малых и ко, набавия и мажет с вероятностью д обратиться в нуль, но; "., если она достигла достаточно болыпих аначений, то она возрастает со скоростью т. (рис. 34). У пражненин 1. Найти вероятность нырождения раньше 5-га пага, если Р (хх = О) = — 0,5; Р (хх = 2) = 0,5. Охлеехл: 1 1 I 1 11аа Р (хе-.: О) =Уо(0) —.- 2 (1+ х (1+ — х (1+ 4 ~ ) ) =07417» . 2. Найти вероятность аытинання до 100-го и~ага анлпчятолькох если Р (х~ =- О) = 0,5; Р (хх =- 2) = 0,5. Охлеелн Р (х,оо > О) = 0,02.
3. Найти оценку нероягйости аыжнаания да 10-го пата вклкн чктельно, если Р (хх = О) = 0,9; Р (х, = 2) = 0,1, Оьыет: Р (ххо ) О) ч. 1,02 10 ."'. 4. Найти норояткость аыжннання до 3-го пата акхаочпчелько„ осли Р (х, =. О) — —. 0,9; Р (х, = 2) =- 0,1. От ет: Р (хо ~ О) = 0„0055. 152 5. Найти оценку длл вероятности, отыскиваемой в нредырущем упршкнеиин. Ок Веет Р (гг ) 0) ~ 0,00Ь'. 6. Нанти вероятность иыжнваннл да 3-го шага включительно, сели Р (г, = 0) =- 0,1; Р (г = 2) = 0,9. Найти предечьну<о вероятность выживания.
Сравн«тс ч<шлснные ответы всех предыдущих задач. Отсе<я< Р (гг ) 0) = 0,8893, )нв Р (г, ~ О) = 0,8888. и 7. Найти вероятность вь<ро<яд< ния до 5.го шага, если в начальньш мол<ент было пять частиц, а каящая частш<а псчеаает с вероятностью Р == О,б и делятся на две част<щи с всроятностшо Р = О,бе (<амат: Р (г„=- О/г~ == 5) = уг (О) = 0,1096.
У к а з а в и е: поспольаоваться тем, что пронзводлщая функция сумгш независимых случайных в<лнчнн равна прогиведенпю производящих фуякц<ш. 8. Нанти вероятность в<а<кива<<вя до 100-го шага включительно, если в печальный момент было 100 частил, ге == 100, а версятность исчезновения для на<клоб чеспшы Р .= 0,5 и деления на дш частицы Р = 0,5. Отеет: 2 г<еа Р (» ) 0'ге = 11<0) =- 1 —.
7<"'~ (0) ' 1 — ~1 — — ) = — 0,8676. 9. Найтя оценку верон< нсстн вьпкивавпя до 10-го шага включи тельно, если в начальный мои< нт было 100 частвц, вероятность исчезновения каждой частицы 0,9 и деления на две частицы 0,1. Отеет: Р (г<е.е 0 7 ге = 100) —: 1 — 7«<а (О) ~( 1 — (1 т!е)<ее:.=. 1,024. 10-е, 10. Найти вероятность выживания до 3-го и<а<'а вкл<очнчельно< если а начальный момент имеется 10 частвц (1000 частиц), а веро- ятносп исчезновения жчя одной частицы 0,9, д< ленин на две части- цы 0,1. Ответ: Р (гг О<'ге .=- 10) = 0,037; Р (ге ) О! ге =- 1000) =, = 0,97Ь'. 1!. Тон<о, что в 1прюкнтшн 9, но а начальный мол<сит нмеетси, один ьшллнон частил (лося<<, лшллпонов частиц).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
