А.Н. Колмогоров, Г.И. Журбенко, А.В. Прохоров - Введение в теорию вероятностей (1115326), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Покажите, что вероятность к«стяжения точил (2п — ж~ «г()г р«л«ая С~ж 2-«"+ю, коже) быть представлена в вкде суммы «) '(10) «=Уй Ч. Докажите формулу («+() Ч) Е)) (0 (Щ Хл -(««П С) Г«Г-«У«к-«Г-Ь г г с«к«ь аающ) ю вероятпогтя первого дсстяженля уровней у и у + + $ь ' Вйг 6, В следствии из основной теоремы доказано, что ьл ! = дг) "-",-' Ф~: = 'т! ВП) —.. 1. Дояюките, что чзстяца с вероятностью 1 достигнет Зя-г ' любого уравняв,т. е.чтовз~ = ~' Вз~~ =1. [Показательство про- и в ведите методом математической индукции, используя формулу (1Ц и формулу изменения порядка суммирования: Х 'Х'=-Х Х 1 я,з+ти з т в в-ъ т 7. Покажите, что частица, начинающая блуждание ив любой точки с ординатой в, с вероятностью 1 нопздет в нуль.
8. Пусть в случайном блуждании иа прямой участвуют две частицы, которые перемещаются пеаависимо друг от друга и в одни в те же моменты времени. Используя вывод о том, чте частица с вероятностью 1 достигает любого положения па прямой, докажите,,с' что вероятность встречи частиц равна 1, если начальное расстоипие между пил~и четво, и равна О, если начальное расстояние нече тво. 6 4.
Задача о числе воавращений в ~щчало координат Мы доказалп, что симметричное случайное '-":: блуждание бесконечное число раа возвращается в исход-:::,',: Л: '."1 ное полонсение. После того как пропзопгло первое возвра-:;,":.~ щение, мы проводим время в ожидании второго возвр»- щения, и, хотя оно достоверно, ждать пам приходится в ':-":::.' среднем столь )ке долго, как и первого возвращения. г) атом:;::,,';:- -.=~)! параграфе мы ответим на вопросы о том, как с увеличе-:-.:;:,;.",: нием продолжительности наблгодепия растет число воз-..': .-,,' вращений и как зтяяетсяз время ожидания т-го возвра-'=;:.:.„ь) щения. Т е о р е и а !. Вероятность того, чио в мол)епт 2п,":.':„'.~!з плеет .место т-е возвраи)ение в пуль, раьпа Сз"„2 '""" (ф).:::,'::,':" ?' Сравнение (() с формулой (7) из й 3 позволяет зыска--.,'.';,;~ вать утверждение теоремы иначе: вероятность т-го воз- -'::; ,ф вращения в начало координат на 2в-ы шаге равна вероят' ",':,';!,';~У ности первого достижения точки с ординатой т на';::;ь (2и — т)-м шаге, т.
е. г'зз = ьзл-гз (2).":;;- 86 ,Ё' ото утверждение справедливо во всяком случае при ш =- $ (см. (8) в 1 3). Новая формулировка теоремы подсказывает способ доказательства. Д о к а з а т е л ь с т в о. Установим взаимно однозначное соответствие мехгду путями, впервые достигающггмн точка и в момент 2вг — т, н всеми неположительными путямп, для которых точка (2п, 0) является точкой последнего лг-го воавращения в пуль.
Для этого рассмотрип .'.И~И з~ ргге. 24, Иллюстрации к теореме 1. произвольный путь первого достижения т и проведем череа точки первого достижения уровней 1, 2, ..., т прямые с угловым коэффициентом — 1 до пересечения с осью абсцисс (см. рнс, 24). Нолученные пг точен на оси абсцисс будут вершпнамп некоторого неположительного пути длины 2н и будут указывать моменты возвращения этого пути в начало координат. С помощью обратного построения любой неположительный путь длины 2в, имеющий ровно ги вершин на осп абсцисс и последгпою в точке 2л, преобразуется в некоторый путь, впервые достигающий точки т в момент 2п — хг.
Иэ соответствия двух множеств путей следует, что число неположительных путей с т-м возвращением в нуль в момент 2н равно т .т ее-и ! и\ — С,„.. -=2 уее- . Еахгдый такой путь точками возвращения делатся на лг участков. Отображая произвольным образом зти участгса относительно оси абсцисс, мы получим все пути с гн верпгвнамн на оси абсцисс.
Число их будет, очевидно, в 2 раэ больше числа неположительных путей н поэтому'будет равно 2еед~„г . Разделив это число на 2е" общее число путей длины 2н, — получим вероятность (1). Найдем теперь вероятность т возвращений в тачанка;; всего промежутка времени от 0 до 2п. Рассмотрим все пу~.:~", тп длины 2п, которые т раз возвращаются в нуль. Суще „.::.'::.,'-*'.'г» ";:"' ствуют две возможноств: последнее т-е возвращение про:":„', исходит пли в момент 2>с, или в некотоРый момент 2т Иу(',"с - 2т. Ио второ») счучае каясдый путь точкой 2ч послед' '~' н' него т-го возвращения делится па два участка, причеМ- ~;.с -; ' на участке от 2ч до 2п возвращений з нуль нет.
По лемме:;.'":.'!', 4 $ 2 (см. следствие) участок пути от 2ч до 2п можно вы-';,'. брать числом способов, равным числу в сех путей, соединяю- "-'х. щих точки (2ч, О) и (2п, О). По»тому все участки от момен та последнего возвращения мосс<но без ущерба заменить::;,' участками, которые имеют возврасцение в нуль по край':„'" пей мере в момент 2п. Следовательно, ~испо путей длпны'-.'-'„", 2п, имеющих ровно и возвращений, равно числу путей,::;.:;;,::; которью имеют самое меныпее т возвращений в нуль и',; последнее — в момент 2п.
Таким образом, мы свели ва»)'.,';:; дачу к подсчету общего числа путей, имеющих т, т +-' + 1,..., н возвращений в нуль в момент 2п. Переходй;:.; к вероятностям и используя теорему 1, получаем, что вв."-'-,,';.,: "':::й роятность т возвращений равна й1св) 1«св) » ф+»)») 1с о или й)'е-йФ +йй"' ) + "+ ай где слагаемые справа — зто вероятности первого ности'.);'-'.:!!4 жения точек т, т + 1,..., п в моменты 2п — т, 2п -:"'.'!:,;. — т — 1,..., и соответственно. Так как при й гив.',-:„: и+1,...,п — 1 йй).»- Са",~ 2 '"" — С,",~ »,.2~'"'" и у„') С,", 2 ' (см. упражнение В $3), то й1„) С«, 2 т.
е. К") равна вероятности достиженсгя гочки т в ыомеф~,".- 2п — гп (см. упражнение 4 $ В). Итак, доиазана Т е о р е и а 2. 8вроягнноеть псоео, что аа время'.Э~"' произойдет ровно т воаврагувннй в нуль, ровня Ас„, С~~ 2 ~~ '. ' Ф." Заметим, что в теоремах 1 н 2 «новых» вероятноетем;,„ появилосгп пзйденные вероятности совпали со виана))Фяа)г.', ми вероятностей, полученных в предыдущих парагр 88 Следствие.
ХХри т=О и т=1 вероятности 6~~2 равны ид,; при т > 1 вероятности )2~~1 строго убывают: (4) Следствдде доказывается простой проверкой. Для проверки формулы (4) достаточно показать, что Ь~„~ ~ )г~, " при т ° 1. Неравенства (4) неопровержимо свидетельствуют, что каково бы нн было время случайного блуждания, наиболее вероятно либо отсутствие возвращений, лябо ровно одно возвращение, чем любое другое их число. Обычно онщцается, что число возвращений пропорционально времени блуждания.
Но 'зто представление опровергается наблюдением и расчетом — число возвращении растет с ростом 2п как 1гг2п. Пути возвращаются в начало координат очень редко, и чем продолжительнее время блуждания, тем реже возвращается частица в исходное полоядение. Чтобы в атом убедиться, вычислим среднее число возвращений за фиксированное время 2т )д= ,'я тйдг„г. Испольауем соотношения гг-1 Е"- пг 2 пг О Проведем выкладки по вычисчению рд Еп> % д 2п — гп ггп+дг п — р= ~~, (и — т)Ьвп — — г, — Ь „ пг В гп В и — 1 и — д 2п+1 ~д оп+11 1 д и 2 Сд йдп и ~ (т+ 1)гддп 2 т-.О 7п 0 2п+2 и 1 2 = — (1 — 6,.') — — И.: 2 Отсюда 2п+ Д Р вЂ” — —, Гак клк при болызмх зкаченкях л 1 с>е„— ле то 3'2л )т т' 2п Таким образом, с увеличение>> продолжительности бтгущ дания отпоснтелышо число возвращений убывает, а щ,,-„, рподы не>аду возвращениями возраглают по дчине. ТФЙ'„::;, например, за 10 000 шагов частица побывает в нуле,!>>у'.": среднем около 40 раз, за 1 000000 шагов — около 400 рЩ:",' „.;;, а за 100 000 ООО шагов — около 4000 раз.
Соответстзепп~~"' среднее время между возвращениями будет менятьсн':4(й" 250 н 2500 и далее до 25 000. Иы уже говорили о то2(-":-." что рост среднего времени монаду соседнпмн возврай(()а~~> я„::;.' пнями ие зависит от номера возвращения.
Теперь, ие>~,;. пользун то, что число воавращепий растет в среди как у' и, можно сделать вывод о том, что среднее времн: й)." начала блуждания до лт-го возвращения в начало коордй;.'( нат растет как ше. Это заключенно может быть уточнзе': ио в форме «предельпойэ теоремы (см. уира>кнение 2).;.;:>„ Так как приблизительно в половине моментов возвра'-.'.„'> щения з пуль частица переходит с одной на другуге>ч>(~.";:;. ловину пр>пчой, то полученные здесь выводы пепосредст;,",;::~ венно касаются продолжительности времени пребывапиК! частицы па положительной и отрицательной сторонах)тт примой.
К точной формулировке результата мы переходи>)т, в следугощем параграфе. упражнения 1. Показать, что все ~= (ее+ ((т'+.-+ ф) (см, следствие к теореме 2). 3. Используя есвмптотпчссвае состпсжеппл 2 — ! 1 )и Ст — ! 1в ~- — (л — !) 1п — „+ 1п врв ! — о> в )> — ! - се (ете следствие формулы Стпрлвптат>р см, $9 тлеем 1) и ие 1в (1+ К) , т>2 п рв ( сс ( ~ 1 (кериме два члена рааловсевия функции в ряд Тейлора), докюките, что при я ее Г и (2» — ю)пь в~+И Тогда вероятность ~~~~ ф~ того, что т возврюцевий в начало поор» т лянат проиаойдег аа время от 2»с до 2»с + 2Х, можно представить как интегральную сумму для интеграла Римана ог функцви 1 ф(е) ==у /'е с/тг г' 2я а пределах от О до 2ДС/»ст.
Отсюда мюкно ааключить, что вероятность того, что»с-е воавращенко произойдет до момрнта июа (сь» Π— проиавольное деиствительноо число), бтремас)ся йри аоарастанки т к интегралу а ~ ду)йу е т. о. время до и-го воавращекия растет с ростом т как юе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
