А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Геояетричесное раснредслзние с параметром Оз р 1: Р($ = )з) = (1 — р)з 'р, !з = 1, 2, 3. Пуассоназснае распределение с параметром л ) 0: — х)." РЯ=-)з)=е ~ —, й=.0,1, ... (О ' йз, Гипергеаметричеснее раснределеииз с парапотрамп и, М, )У; н — з СмСн-и Р(зь = й) = „, (с=О, 1, ..., щ(п(зз, М). Сн Абсолютно непрерывные расп редел оцня (приводим плот ности случайной величины): 1, Разномерное распределение на отрезке (а, д): 1 1(х) д прп а<х(Ь и ((х) =О прп других х; 2, Показательное (эъсповекциальиое) рагнргдз.гение с параметром )з ) О !(х) Хе ' црих)Ои!(х) =Опрзгх(0.
3. П зрмальнее распределение с пзрамеграгпз и и о'. !х-тР гоз о)0, 1 ! (х) = = г )/'Б о и для почти всех х ((х) = г"'(х). Непрерывная функция распределении называется сиззгулярней, если множество ее точек роста образует множество нулевой меры Лебега. Любузо функцию распределепнл г" (х) мовзво однозначно представить в виде (разложение Лебега) 4, Раснредеяение Коши с параметрами а и Ь ) О; Ь н(б +(к — а) ) Ь!едпапа, вообще говоря, определяется неоднозначно, д!ол>ентом (или абсолютным моментом) порядка и (а — вещественное число) случайной величипы $ (или ее распределения) называется математическое оа>г>дание Е$" (пли Е($! ), если оио существует (число сс может быть ьвк положительным, так и отрицательным; чаще всего момент определяется для целых полая;ительных а). Центральным моментом (илп абсолютным чентралъным моментом) порядка ге ~ О называется математическое ожидание Е($ — Е$)" (нли Е($ — Е$!").
1(епгральный момент порядка а = 2 называется дисперсией и обозначаетсз 0$. Отметим некоторые важные неравенства, в которых участвуют моменты случайных величин. Некоторые из этих неравеяств дают возможность оценивать вероятности событий, связанных с этими случайными величинами. Нераее>ютво >!еде>шбва; если $ ) О н Е($! ( оо, то для любого в ) О Е$ Р($)з) < —,; сс:щ $ — произвольная случайная величина с Е$г ( со, то О$ Р(! $ — Е$ ))~ з) ~( з Неравенство Колмогорова: если $>, ..., с„— независимые случайные величппы п Е$> = О, ГГ$> ( оо, то при лгобом е ) О п Р ! птах ! $, + "° )- $„! ~ е Г < '=' Неравенство Коши — Буняковского — Н)вор»а: если случайные величины $ и >) таковы, что Е$г ( ог, Ег)г ( ео, то Е)$ ~! ()Ейг.
УЕ>)'. Неравенство Ленсена: если $ — случайная всю>чина с Е)$! ( ао и ((к)— выпуклая вниз функция, то Е!($) ) )(Е($)), если математическое ожидание слева существует и Е$ прнпадлежпг области определения функции !. Неравенство Лкнунова: прк О ( в < т (е)$(>)»'< (е)$!')"ч если р)1, Ч)1, -)- — =1, Е)$(в(оо, 1 р ч Неравенство Гельдера Е(>)(г < оо, то Е)$ц! ((Е)$! )»е(Е(ц! )". Неравенс~во И!инковского: если Е)$!' < оо, Е(Ч(т < оо при т Еи 1, то (Е($+ц!")ьо < (Е($!')""+ (Е)ц!')"". 3!едианой случайной величины $ (или ее распределения) паза>настоя число >н$ такое, что Р($ ) к>Ц ) 1(2 и Р($ < та$) ~ 1(2 Если случайные величины $»(ы), ..., $„(ю) определены на одном и том же вероятностном пространстве (Й, лт, Р), то вектор з(ы) = ($,(ы), .. ч з (ы)) вавывается и-мерной случайной величиной нпп случайным вектором со Зкачениями в евклидовом пространстве Яп. Функция Р($ щ В) = Р(ы: (з»(ы),...
..., Е„(ю))»мВ), определенная для всех борелевских множеств В пространства е»п, называется распределением вероятностей случайного вектора $. Мот»»- по также говорить о совместном распределении случайных величин ..., $„. Определенная для любых вснгестзенпых,тн ..., х„функция Р[х», ..., х„) = Р($» < х», ..., $„( х„) называется функцией распределения случайного вектора З. Свойства втой функции аналогичны свойствам одномерной функции распределеннл. Если существует неотрицательная бореловская функция 1(х) = Г(х», ", х,), такая, что для всех В »и Ян Р(4щВ) = ~((х)йх и ~ )(х)де=1, в нп то соответствующее распределение называетсл абсол»отпо пепрерывкыы, а функция 1(х) 1(х„..., х ) — плотностью распределения случайного вектора $ (й„..., Е„).
Распределения случайных величии Е», 1 = 1, ..., и, компонент вектора Е, называются маргинальнь»ми (частныыи) распределениями и вычисляются по распределению вектора; так например функция распределелин з» определяется равенством: р»(х») р(х», + оо, ..., +оь). Случайные величины Е», ..., $ независимы тогда н только тогда, когда функция распределения р(х„..., х ) кредставима в виде Р(хи ..., х ) К!(х») ...Ре(хе), где Р»(х»), 1 1, ..., щ — функции распределений величин $» (маргинальных распределений).
Если распределение случайного вектора $ = ($„ ..., Е„) абсолютно непрерывно, то необходимым и достаточным условием независимости з», ..., зе служит соотногленне Г(х» "° х )»»(х»)" Л(хк) где )(хи ... х„) — совместная плотность распределения, а 1»(х») — марюшальные плотности. Хара»ггеристнкоу» связи между двумя случайными величинами с совместным распределением вероятностей служит ковариация и определяемый с ее помощью козффнцпент корреляции. Ковариацией случайных величин $ и ц называется величина соч(Е, »)) ЕЕΠ— ЕЕЕтл где ЕЗ и Ец — математические ожидания $ и ц. 1Гооф»ди»»ие»»- том корреллции Е и ц, име»ощих конечные дисперсии 0$ и Юц, называется величина р(з» ц) сот(Ц, ц)Г)ЧЦ О»), Если соч(З, ц) О или р(ь„ц) = О, то случайные величины называются неноррелированными.
Если случайныа величины Е и ц независимы, то (Е(З) ( оь, Е(ц) оо) ЕЕО = Ей Ец н тогда соч(Е, ц) О и величины $ н ц некоррелнровапы. Ковариационной матрицей случайного вектора Е = (й», ..., Е ) называется квадратная п)Г п матрица с злементамн оы = гоч(зл, $,), определенная в предположении, что все указанные ыоменты конечны. ЕО МногомеРлым ноРмальным РоолР«дел«вием в гго кааывается распределеппе вероятпастей с плотлостью гр(х) = (2я) огг]М( ггвехр( — — (М 1(х — т],х — ог)1 2 г где М вЂ” ковариационнал матрица, (М] — ее определитель, х (х. ..
«„), ггг (ть ..., т ). Коли коьшоненты случайного вектора некоррелированы, то плотность приобретает видг о ( А ('1 ) ) гр(«1, ...,х )=(2п) а (о ...о ) гелр — ч) ' 1) г 1 1 где огг п аг ) 0 — параметры маргинальных распределений, Пусть 2 и ц — независимые случайные величины с функциями распределения 7(х) и С(х) соответственно. Функцией распределения их суммы 2+ ц является свертка Р и С: О Р Я+ 1](х] =РОС(х) = ) р(х — т) ЫС (1] ~ С(х — Г) АР(Г). Ф Ф Симметриаацией функции распределения Р(х) называется функция распределения ОФ РР>(х)- 1 Р(х+г)др(Г).
Ф Снмметризацня Р(х) совпадает с функцией распределения случайной велипшы $~ — сг, где аг и сг пеаависимы и имеют одинаковую функцию распредспвкня Р(х), СпуЧайпая ВЕЛИЧИиа $1гг Сг — $1 НаЗЫВаатея СиММОтриаациоп величин й~ и $1. Функция распределения Рг(х) называется ломполелтоя функции распределения Р(х), если существует функция распределения Ег(х) такая, что Г(х) Рг а Рг(х). Пмеетсл несколько употребптельных способов измерять расстояние между функциями распределения. Наиболео важными являются следующие. П Расстояние ио оариаг]ии для любых двух распределений вероятностей Р и СЬ определлется как епр ]Р (А) — О (А)], Апй где 8 — борелевская а-алгебра множеств.
2. Роваомерноя метрика (ггетри«о Колмогорова) для лгобыл двух функций распределения Р(х) и С(х) определяется как Бор] Р (х) — С (х) ) 3. Метрика .уеои определяется как точная нюкпяя грань таких Р, что Г(х — Л) — Ь ( С(х) ( Р(х+ Л) + Ь С(х — Ь) — Ь: Г(х) ( С(х+ Ь) + Ь в 1. Функции распределения ЗИ. Найти функцию распределения случайной величины с, оп- ределенной на вероятностном пространстве (О,,Ф, Р), представля- ющом собой отрезок 10, 11 с о-алгеброй борелевскнх подмножеств п мерой Лебега в качестве вероятности, если: а) $ гз; б) з ю', в) $=ю", а(0; (2ю, 0(ю(1!2, г) $ ыппв д) $= (2(1 е) 1Р ю ю, 0(ю(1/3, 1~4, 0(ю(1!4, е) $ — 1, 1(3(ю(2!3, ж) ~ = 1, 1/4(ю(3~4, — ыз, 2(3(ю(1; 1/4, 3~4(ю(1. 3.2.
Пусть з и ц — случайные величины, определенные па ве- роятностном пространстве ф, .мс, Р), где Й вЂ” квадрат с вершинамп (О, 0), (О, 1), (1, 0), (1, 1), зз — о-алгебра борелевских подмно- жеств (), Р— мера Лебега. Найти функцию распределения и плот- ность распределения случайной величины $+ т), если: а) е н,+ юн 1=ы,— ю,; б) в=вой ю,; в) 5=1 при ю1=юм $=0прн О)~ФО)н ц=ю1О)ь Являются ли случайные величины Ц и т) независимыми? 3.3. Пусть случайная величина з определена па вероятностном пространстве ((2,,Ф, Р), где Н вЂ” треугольник с верптинами в точ- ках (О, 0), (2, 1), (2, 0), з~ — а-алгебра борелевских подмнол'еств указанного треугольника, Р— мера Лебега.
Найти функцшо рас- пределения и плотность' распределения случайной величины З, если: а) з=юб б) $=юь 3.4. Равнобедренный треугольник ооразовап единичным векто- ром в направлении оси абсцисс и единичным вектором в случайном направлении. Найти функцию распределения длины третьей стороны: а) в Жз; б) в мз. 3.5. Окружность едкничного радиуса с центром в нуле пмеет северный полюс на положительной полуоси абсцисс. Из полюса случайным образом направлен луч, причем его угол с осью абсцисс ч л1 распределен равномерно на отрезке ~ — 2, 2 ). Найти функцию рас- пределения длины хорды внутри окружности. 3.6.
Пусть $ и ц — независимые случайные величины с функ- циями распределения Г(х) и 6(х) соответственно. Найти функции распределения следующих случайных величин: а) шаха, т)); б) 1н1п(з, т)); в) щах(2$, т)); г) гп(п(ф', ц). 3.7. Пусть з и ц — независимые случайные величины, нмеюшпе одинаковое показательное с параметром а распределение. Найти функции распределения и плотности распределения следующих случайных величин: а) с', б) $ — тб в) гвах (с, ц'); г) щ(п Ц, ц'), д) 3+ 2с, е) ('= — ц!.
42 3.8. Решить предыдущую задачу в иредположепии, что $ и Ч 1ювномерно распределены на отрезке ( — 1, 1). З.с). Пусть ь — случайная величина, имеющая показательное р,ннределение с параметром Х, 1(х) — положительная строго монотонная дифференцируемая функция. 11айти плотность распредез,нпя случайной величины?(З). ЗЛО. Пусть $, ч и ь — независимые случайные величины, при, н ~ принимает значения 1 и 0 с вероятностями р и с) соответссзепно, р+с1 1, а $ и Ч имеют фуннции распределения Г(х) п 6(х). Найти функции распределения следугощих случайных величин: а) ьз+(1 — ь)ч; б) ьз+(1 — ь) (шах(~~, г))); в) Д+ (1 — с,) (гпш (Ц, ч)).
ЗЛ1, Пусть з„..., е~„— независимые одинаково распределенные случайные величины, Р(ы = 1)= Р(фс = — 1) = 1/2, с = 1, 2... „гн 11айтп распределение случайной величины и ч =Пзн ЗЛ2. Можно ли подобрать постояннуго с так, чтобы функция сх ' определяла плотность распределения вероятностей на: а) луче 11, + ); б) луче 10, +с ); в) отрезке 1-2, — 11. ЗЛЗ. Пусть $ и Ч вЂ” независимые одинаково распределенные случайные величины, ср(х, у) — борелевская функция двух переменных. Доказать, что случайные величины ср($, т1) и ср(Ч, $) одинаково распределены. Могкпо ли отказаться от условия независимости? ЗЛ4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
