А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 11
Текст из файла (страница 11)
3.57. Пусть Р(х) — функция распределения, ()(х) — соответствующая функция концентрации. 1. Может ли Р(х) иметь больше точек разрыва, чем ч (х)? 2. Может ли ч(х) иметь больше точек разрыва„чем Р(х)7 3.58. Может ли функция распределения иметь бесконечное число точек разрыва, а соответствующая функция концентрации— конечное? 3.59. Пусть г"(х) — функция распределения, ч(х) — соответствутощая функция концентрации, п — число точек разрыва г'(х), ят— число точек разрыва Д(х).
Доказать, что т(Ср'+ 1. 3.60. Пусть $ — произвольная случайная величина. Докааать, что для любых положительных а и 1 множество Ас, (х:Р(х< $ <х+1) >а) является компактным (может быть, пустым). 6 2. Моменты 3.61. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины 5 =4(рт), определенной на вероятностном пространстве (11, .Ф, Р), представляющем собой отрезок 10, 1] с о-алгеброй боре- левских подмпоз еств и мерой Лебега, если: а) $=ю', б) 5=рт — 1/2, в) в=з1ппат, г) $ Мп2яю. 3.62.
Диаметр круга т( измерен приближенно, и известно лишь, что Оса< и< Ь. Считая тт случайной величиной, равномерно распределенной па отрезке (а, Ь), найти математическое олгиданиз и дисперсию площади круга. 3.63. Брошетты две игральные кости. Найти математическое ожндание суммы выпавших очков, если известно, что выпали разные грани. 3.64, Доказать, что равенство нулю дисперсии ь1$ 0 равносильно тому, что случайная величина З с веронтностью единица равна постоянной: Р Я = с) = 1 для некоторого числа с. 3.65. Пусть $ и т! — независимые одинаково распределенные случайные величины с коттечной дисперсией. Доказать, что $ с вероятностью единица принимает значения одного анака тогда н только тогда, когда случайные величины  — т! и ($! — !т!! одина- ново распределены.
3.66. Пусть $ — случайная величина такая, что Р(0 с 4 с 1) 1. Доказать, что 1рф с Е$. 3.67. Пусть случайные величины $ н т! независимы и Е„"=1, Ет! 2, 05 1, От~ =4. Найти математические отттпдання случайных величии: а) $т+ 2т!' — $т! — 4$+ т!+4; б) ($+ т!+ 1)'. 3.68. Доказать, что для любых случайных величин $ и т), имеющих конечные дисперсии, справедливы неравенства (У1Ц вЂ” У41т))* < 1з($+ т!) я: (УР~+ У(зт))'.
3.69. Доказать, что еслн Е!в! <р, а>0, то Е($!Р< при Ос(! си. 4 л. в. прохоров и зр. 49 3.70. Привести пример распределения, пе имеющего моментов ни полон<ительного, ни отрицательного порядков. 3.71. Пусть $ и Ч вЂ” одинаково распределенные случайные величины. Верно ли, что Š—,=Š— "? Ь-гч Ь+ч' 3.72.
Пусть $о ..., $ — независимые одянаково распределенные положительные случайные величины. Доказать, что р (ь4-...~$, ) для любого 1~й~я. 31ожпо ли отказаться от условия независимости? 3.73. Случайная величина ф принимает значения О, 1, . „и, ... с вероятностями, убывающими в геометрической прогрессии: а) найти зависимость между ЕЬ и 0ьь; б) известно, что Е$ = а; найти РД = и), и =О, 1, .... 3.74. Пусть случайная величина $ принимает конечное число неотрицательных значений х„..., х,. Доказать, что ЕЬ" + ~ 1пп — „= гаах(х„..., х„), а- ю ЕЬП Нщ ~/ Е~' = щак (х„..., х,). 3.75. Пусть Š— неотрицательная целочисленная случайная величина с конечным математическим ожиданием. Доказать, что ее= Х Р(ь=-: ').
3.76. Написаны и писем, преднаапачеппых разным адресатам. Имеется п конвертов с соответствующими адресами. Письма в случайном порядке вложены в конверты. Пусть $ — число писем, которые посланы тем адресатам, которым они предназначены. Найти Еь, 3.77. Пусть $ — ограниченная с вероягпосттпо единица случайная величина: Р ( ! $ ! ~ с) = 1. Доказать, что йь «сЕ!Ц~. 3.78. Доказать, что Е$ существует тогда и только тогда, когда существует Е($] (1 1 — целая часть), причем Ес = Е[с) тогда и только тогда, когда $ — целочисленная случайная величина, 379. Пусть Е$ = 0 н Е~$! = 1. Найти Етах(0, $) и Егп1п (О, $). 3.80.
Каким условиям должны удовлетворять числа а и Ь для того, чтобы существовала случайная величина ч такая, что Еф =-а, Е!$! = Ь? 50 3.8$. Доказать неравенство Иепсепа. 3.82. Пусть Е и Ч вЂ” независимые случайпые величины с конечпыми дисперсиями. Доказать, что О ~Ч Ю3 СУЧ. 3.83. Каким условиям должны удовлетворять независимые случайные величипы $ и Ч, чтобы выполнялось равенство 0$Ч=ЮВ 0Ч~ 3.84. Пусть $о $м ...— последовательпость случайных величин, Е~, = гп~ (С 1, 2, ...); Ао Ам ...
покарпо несовместные события, ц А; й, Р(А;)= р;; случайные велпчвпы $, и Хл, независимы; С=1 случайпая велпчипа в равна 2~ ь;1л,,' случайная величина р при|=1 пимает зпачеяия па с вероятностями рь соответственно. Доказать, что 3.85. Случайная величина $ имеет копечный абсолютпый момент порядка р ~ О: Е)~!" ~ Доказать,что С"Р()$! - С) -> О при С- 3.86. Доказать, что функция распределения Р(х) имеет копечвый абсолютный момент порядка а)0 тогда и. только тогда, когда функция (х!' '(1 — Г(х)+р( — х)) иптегрируема па всей веществеппой оси. 3.87. Доказать, что для того чтобы у случайной величины 3 существовал конечный абсолютный момеит порядка я >О: Е!$!" (", пеобходимо и достаточно, чтобы сходился ряд ~ п Р(($!)п).
3.88. Пусть Е и ч — независимые случайные величины, пркнима1ощие целые пеотрпцательпые зяачения и Е!$! ( ~. Доказать, что Е шСп(~, Ч) = ~', Р(~' - С) Р(Ч) С). 3.89. Пусть Š— псотрицзтельпая случайная величина с функцией распределения р(х) я конечным математическим ожиданием. а« ь1 Докавать, что Е$ ~ (1 — Р (х)) Их. о 3.90.
Пусть з — положительная случайная величина с функцией распределения Р(х) и Š— <ао, и)О. 1 1а Доказать, что Р [*) — -~- 0 и при х- О. 3.91. Пусть $ — неотрицательная случайная величина с функцией распределения Р(х) в конечным моментом порядка а ) О.
Доказать, что Е~" я ) х" '(1 — Р(х))дх. о 3.92. Пусть з — положительная случайная величина с функцией распределения Р(х) и конечным моментом порядка сс(О. Доказать, что Ю Ес~"=)а) ~х 'Р(х)ох. о 3.93. Доказать, что если Г'(х) — функция распределения с конечным математическим ол~иданием и такая, что Г(О) = О, то функция а(х) = Ц Р(х+ л) является функцией распределения. 3.94. Пусть $ — случайная величина с нулевым математическим ожиданием и конечной дисперсией.
Доказать, что ! 1!( —,'(03+ 1). 3.95. Пусть Ео Ц, ...— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевым математическим ожиданием и конечной дисперсией. Положим ав-Е~ ~ ~, и=1,2,.... Доказать, что последовательность ао а„... равномерно ограничена. 52 3.96. Случайные величины $о ~м ..., $ независимы и одинаково распределены. Каждая из случайных величин Зт принимает два значения: 1 н О с вероятностями р и о = 1 — р соответственно. Пусть т1т — случайная величина, равная О, если $,= $,т.о и 1, если ц„~ Еттт. ПОЛОжНМ Ь~= тд+... +т1„-,. НайтИ МатснатнЧЕСКОЕ Ожндапие и дисперсию случайной величины ~„.
3.97. Случайная величина 5 равномерно распределена на отрезке 1а, Ь1. Найти а и Ь, если Е4т = 1 н Е$ = — Е$т. 3.98. Пусть $ — случайная величина с симметричным относительно нуля распределением. Доказать, что для любого вещественного а Е!$+ а! ~ Е!Ц!. 3.99. Показать, что существуют две случайные величины $ и т1, такие, что Е!$! ( о, Е)т1! < о н Е!$ + а! ) Е!т! + а! для любого вещественного а. ЗЛОО. Пусть $ и т) — случайные величины такие, что для любого а Е!з+а!" =Е!т1+а! (а — некоторое вещественное число), и пусть Ь вЂ” случайная велишна, не зависящая от 5 и т). Доказать, что Е!В + ь!" = Е1т) + ~!".
3.101. Пусть $ и т! — случайные величины такие, что для любого а Е!Ц + а!" ( Е!т) + а!'* (а — некоторое веществеппое число), и пусть Ь вЂ” случайная величина, не зависящая от $ и т). Доказать, что Е!3+ и" — Е! ц+ и". 3.102. Пусть з и т) — неотрицательные случайные величины с фупкпвямн распределения Г(х) и 6(х) соответственно, причем Г(х)~ 6(х) для всех х. Доказать, что: а) Е$" ~Ет1", О~а( ! б) Е$" )Ет)', а~О, если указанные моменты существуют.
ЗЛОЗ. Пусть $ — случайная величина с конечным математическим ожидаш|ем. Доказать, что для любого х тпах(х, Ееь) ~ Е птах(х, С). ЗЛ04. Пусть $, и зт — случайные величины с функциями распределения Р,(х) н Рт(х) соответственно. Доказать, что О 1(1 — Р,(г))11~ ) (1 — Р,(1))а ы х тогда и только тогда, когда Ежах(х,$,) ~ Егпах(х,$.). ЗЛ05. Пусть $ и г) — случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и такие, что для любого х Е так (х, ~) ~ Е гпах (х, 0).
Доказать, что для любой выпуклой функции 1(х) е1(с) ~ ейск). ЗЛ06. Пусть $, и ~, — случайные величины с функциями распределения ~",(х) и Р,(х) соответственно. Доказать, что если для любого х то Е~,'< Е~" для любого г~1 (при условии, что зтн моменты существуют). ЗЛ07. Пусть $ — случайная величина с конечным абсолютным моментом порядка а~ О. Доказать, что Е!с+а!" — о при а-+ ЗЛ08. Пусть ьь — случайная величина с конечным абсолютным моментом порядка 2и — 1 (п — целое положительное число). Доказать, что существует такое вещественное а, что Е Д вЂ” а) '"-' = О, причем такое а единственно. ЗЛ09.
Пусть $ — случайная величина с конечным абсолютным моментом порядка я>0: Е!$!" ( . Доказать, что для любого вещественного а Е!$ — а!' ( со. ЗЛ10. Доказать, что 0;- = т!и Е Д вЂ” а)з. а 3.111. Пусть $ — случайная величина с конечным абсолютным моментом порядка 2ьк Е$'"( . Доказать, что число а удовлетворяет условию Е($ — а)'" ' О тогда и только тогда, когда Е(~ о)'.
( Е($ ь)г» для любого вещественного Ь. 54 3.112. Пусть $ и т1 — случайные величины с плотностями распределения ?(х) и к(х) соответственно, причем существует такое а, что 1(х) < д(х) при х > а и 1(х) > д(х) при х < а. Доказать, что ЕЗ =- Етй если указанные математические ожидания существуют, а если доиолкительно г'(х) д(х)=0 прн х(0, то Еьь" (Ец" длн любого а > О. 3.113. Пусть Р,(х) и Рь(х) — функции распределения, а, и а.— соответствующие математические ожидания (предполагается, что онн существуют).
Доказать, что если Г,(х)>Рв(х) для любого х, то а~ ~аз. ЗЛ14. Пусть $, и $~ — случайные величины с снмметричнымп относительно нуля плотностями распределения р,(х) и рв(х) и коночными дисперсиями о, н о, соответственно, причем р,(х) =- =р,(х)=0 нри !х~ 'а (а>0). Пусть р,(х) выпукла вниз, а рв(х) 2? выпукла вверх на отрезке 1 — а, а]. Что больше: о, или оз? ЗЛ15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
