А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Пусть (!1, оа, Р) — неатомическое вероятностное пространство. Доказать, что мкоисестзо значений функции Р(А) есть весь отрезок [О, !1. 2.3!. Пусть (П, Ф, Р) — вероятностное пространство. Назовем события А и В эквнвалентнымн, если Р(А ЬВ)= О. Пусть 6 — множество классов эквивалентных событий. Для любых двух классов эквивалентных событий Я, и Я, положим Р(А, ®)=РЖАВИ где В, и В, — произвольные представители классов Я, и Я, соответственно. Доказать, что р — метрика на 8 и что 8 с таким образом введенной метрикой представляет собой полное метрическое пространство. 2.32.
Пусть (й, Ф, Р) — вероятностное пространство, причем .~Ф порождено некоторой алгеброй Я. Доказать, что для любого э ) О и любого А ю.4 существует такое ВюЯ, что Р(А ~ В) < з. 2.33. Привести пример последовательности событий А„А„ такой, что Р(А ) — 1 при и - о, но Р () Аь =О для любого и. 2.34. Доказать, что для любой последовательности событий А„Аз, Р (1пз 1п1 А„) ( 11ш ш1 Р (А„) ( 1!ш зпр Р (А „) ( Р (1пп зпр А „) . 2.35. Справедливы ли следующие соотношения: а) Р (11ш зпр А„) = 1пп Р () А;; б) Р(Пшш1А„) = Иш Р () А; 1 п о ге=а 2.36. Пусть А„А„...— последовательность событий такая, что Ю ~ Р(АаА„~,)(оо и Р(Ал)-+О при п-э со. э=1 Доказать, что Р(1ппзпрА ) = О.
2.37. Пусть А„А,, ...— последовательность событий. Верно ли, что если 1пп!л(Р(А„) ~ О, то Р(11ш1п1А„)) О? 2.33. Пусть А„А„... и „„...— две последовательности событий, причем Р(В )- 1 при и — ' . Доказать, что 1ип Р(А„) = 11ш Р(А„В„) прп условии, что хотя бы один из укаэанных пределов существует. 2.39. Пусть Л„А„... и В„В.„...— две последовательности событий, причем Р(В„) 1 при и — . Доказать, что если 11ш пП Р(А„) ~ а ) О, то Можно лп отказатьсл от условия 11) 1 29 з 2. Случайные величины.
Математическое ожидание 2.40. Пусть з и тт — случайные величины, определенные на одном и том же вероятностном пространстве (ВВ, М, Р). Доказать, что множества А = (в а П: ~(е)с тт(е)), В = (е в и: 4(в) = тт(в)), С = (в в П: з(е) с тт(в)) являются событиями. 2.41. Пусть (О,,Ф, Р) — вероятностное пространство, $(е)— определенная на Й вещественная функция такая, что для каждого вещественного с множество А, = (в тн(): $(е)= с) является событием. Обязана ли $ быть случайной величиной? 2.42. Пусть ь и тт — случайные величины, определенные па одном вероятностном пространстве.
Доказать, что следующие функции являются случайными величинами: а) $ + т1; б) з — т~; в) $ тт; г) (ь(; д) шах Ц, тт); е) ппн ($, т1); ж) $", если Р (т| ) О) = 1. 2АЗ. Пусть (П, Ф, Р) — вероятностное пространство, $(в) — вещественная функция, определенная на (В. Обязана ли З быть случайнов величиной, если случайной величиной является: а) З', б) ~~(; в) сов з; г) ет; д) $', е) Я ([.) — целая часть)? 2.44. Пусть з„з„...— последовательность случайных величин, определенных на одном вероятностном пространстве. Доказать, что функции тп(4„тт зпр5 являтотся случайными величинами, В В 2А5, Пусть И вЂ” несчетное семейство случайных величии.
Обязаны ли функции ш1 ь и зпр з быть случайными величинами? гавел 4азл 2.46. Доказать, что если з — случайная величина, а ?(х) — борелевская функция, то тт =?(Ц вЂ” случайная величина, 2.47. Пусть $о ..., $„— случайные величины, определенные на одном вероятностном пространстве, тз(хо ..., х„) — вещественная борелевская функция п переменных.
Доказать, что функция тр($о ..., $„) является случайной величиной. 2.48. Пусть А и  — события одного вероятностного пространства, т'„ и В — их индикаторы. Доказать, что ~АЬВ (~А 1В) 2.49. Б урне 3 белых и 2 черных шара. Эксперимент состоит в последовательном извлечении всех шаров из урны. Построить вероятностное пространство. Описать о-алгебру, порожденную случайной величиной $, если: а) $ — число белых тпаров, предшествующих первому черному шару; б) $ — число черных шаров среди извлеченных; в) з = $, + 30 + ф„где $, — число белых шаров, предшествующих первому черному шару, и $, — число черных шаров, предшествующих первому белому. 2.50. Вероятностное пространство (И, .Ф, Р) представляет собой отрезок (О, 1) с о-алгеброй борелевских подмножеств и мерой Лебега. Описать о-алгебру, порожденную случайной величиной $, если: 1/4, оз ен(0, 1/4), а) $ = 1/2, в ен (1/4, 3/4), б) $ = †, в) $ = 1/2.
1, ю ен [3/4, 1), 2.51. Пусть (1), .Ф, Р) — вероятностное пространство, причем () — вещественная прямая, а вФ вЂ” о-алгебра борелевскнх множеств Описать о-алгебру, перон~денную случайной величиной $=созы. 2.52. Пусть $„~ь ...— последовательность случайных величин, определенных на одном вероятностном пространстве. Доказать, что следующие множества являются событиямн: а) А =(ы ш Я: последовательность $о фм ...
ограничена); б) В=(ыш(): последовательность $„$,, ... сходится). 2.53. Привести пример нетривиального вероятностного пространства ((), .яГ, Р) н случайной величины $ на нем, таких, что любая случайная величина г(, определенная на этом вероятностном пространстве, является борелевской функцией от $. 2.54, На вероятностном пространстве (Р...Ф, Р), представляющем собой отрезок (О, 1) с а-алгеброй борелевских подмножеств и мерой Лебега, определена последовательность случайных величин $о ~ь ... следующим образом: ф =ы". Положим А„(ыш():$„< < 1/и). Найти () А„и () А„.
П=! я=1 2.55. Пусть $ и 0 — эквивалентные случайные величины, то есть Р(с ты~)= О. Доказать, что если существует Еь, то существует Ег) н Е-=Ей. 2.56. Доказать, что Е$' = 0 равносильно Р($ = О) = 1. 2.57. Пусть $ и д — случайные величины. Доказать, что если существует Е5 и Ет), то существует Е шах Ц, д). Верно ли обратноег 2.58. Пусть $ и т( — случайные величины. Доказать, что если сущоствует ЕшахЦ, т() и Ешш(с, 0), то существуют ЕЬ и Ей, причем Е~ + Ед = Е шах Ц, т~) + Е пив Ц, ~)). 2.59. Пусть Ео ..., Š— случайные величины, имеющие конечные математические ожидания.
Доказать, что Е тахЦ„..., ь„) ~ шах (Е~о ..., Еф„) Е ш(в (1о ..., $„) ~ ппв (Еао ..., Е~„). 2.60. Привести пример случайных величин ~ и ть таких, что Ее н Ев существуют, а Ейг) не существует. 31 2.61. Пусть $ь Еь ...— последовательность неотрицательных случайных величин. Доказать, что Е ~ч~ $„~ч~ Ес„, если ряд ~ з сходится с вероятностью 1.
%=1 2.62. Пусть т~, ~, Еь $„...— случайные величины на (11, за, Р), такие, что при каждом в $„- $ при н — . Известно, что Е$„ не обязательно сходится к Е$ (даже если ЕЕ существует). Доказать, что Еа„ вЂ” Е$, если выполнено одно из условии; а) ~„ > т) для всех и ~ 1, Ец > — и последовательность Еь ...
монотонно не убывает; б) $ < ц для всех я > 1, Ец С и последовательность $ь $ь... монотонно не возрастает. й 3. Везависимость 2.63. Пусть Аь А,, ...— последовательность невависимых событий. Доказать, что / Р ~ () А„/ = Ц Р(А ). ь=з з 3 2.64. Пусть А„А„...— последовательность независимых событий. Доказать, что для сходнмости ряда ь=з необходимо и достаточно, чтобы Р () Аь )О.
Можно ли условие независимости заменить условием попарной независимости событий А„А„,. 2 2.65. 11усть ((з, .ят, Р) — вероятностное пространство такое, что для любого события А множество всех событий, не зависящих от А, образует алгебру. Доказать, что в этом случае из попарной независимости любого набора событий следует их независимость. 2.66. Пусть (0,,М, Р) — вероятностное пространство. Доказать, что для того, чтобы все события на нем были попарно независимы, необходимо и достаточно, чтобы каждое событие имело вероятность, равную О нли 1, 2.67. Является ли транзитнвным отношение независимости на множестве событий произвольного вероятностного пространства? 2.68.
Является ли транзптивным отношение зависимости на мвоясестве событий произвольного вероятностного пространствау 32 2.69. Доказать, что для того чтобы отношение независимости на некотором вероятностном пространстве бьВло транаитивным, необходимо и достаточно, чтобы каждое событие етого вероятностного пространства имело вероятность О или 1. 2.70. События А и В называются з-независимыми, если ~Р(АВ) — Р(А) Р(В) ( ( е. Доказать, что если А е-независимо с самим собой, то либо Р(А)-- 6 2е, либо Р(А) В 1 — 2е.
2.71. Пусть событие А таково, что Р(А) ( е или Р(А) ~ 1 — е. Доказать, что А и любое событие В е-незавнсимы. 2.72. Пусть А и  — е-независимые события. Доказать, что события: а) А и В, б) А и В, в) А и В также е-независимы. 2.73. Пусть Ф, н ОВ — независимые полуалгебры. Доказать, что порожденные ими алгебры также независимы. 2.74. Пусть гФ, л .РО — независимые алгебры. Доказать, что порожденные ими о-алгебры таки'е независимы. 2.75. Пусть (й, Ф, Р) — вероятностное пространство, Я, и Я,— две под-о-алгебры лО, причем Я, ~ Я,. Могут лн Я, и Я, быть независимыми, если Я, содержит событие, вероятность которого отлична от О и 1? 2.76.
Доказать, что объединение двух независимых п-алгебр, каждая из которых содержит событие, вероятность которого отлич- на от О и 1, не может быть алгеброй. 2.77. Пусть с и р — случайные величины. Обязаны ли опи быть независимыми, если независимы случайные величины $' и 2.78. Пусть $, и и ь — случайные величины, причем $ не зави- сит от О? + Ь. Верно ли, что $ не аависит от д и от Ь? 2.79. Доказать, что случайная велкчина не зависит от самой себя тогда и только тогда, когда опа с вероятностью 1 равна по- стоянной. 2.80. Какие условия нужно наложить на $, чтобы случайные величины З и зш с были независимы? 2.81.
Пусть па вероятностном пространстве (П, .РФ, Р), представ- ляющем собой отрезок (О, 1) с а-алгеброй борелевских подмножеств и мерой Лебега, заданы случайные величины 3 и В). Будут ли Ц и д независимы, если: а) 4 = РО', 0 = 1 — аО', б) ~ = 1/2, г~ = «О; 1?2, ы ен (О, 1/4), 1, ОО= 1?4, в) $ = аг, т) 1?2, ОО е= (1/4, 3?4), 1/4, «О = 3/4, 1?2, еО ен (3/4, 1). 2.82.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
