А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В первой урне 5', белых и М, черных шаров, во второй— Л'» белых и М„черных шаров. Из первой урны без возвращения извлекаются и, шаров, а из второй — и, шаров. Все извлеченные шары кладутся в третыр урну, из которой наудачу извлекается один шар. Какова вероятность, что он белый? 1Л26. В урне У белых и М черных шаров. Без возвращения извлекаются и (?«' шаров.
Известно, что среди них и белых шаров. Какова вероятность, что остальные п — т шаров также белые? 1Л27. Имеется п урн одинакового состава: У белых и М черных шаров. Из первой урны во вторую перекладывается один шар, затем пз второй урны в третью перекладывается один шар и т. д. Из последней урны извлекается один шар. Найти вероятность того, что он белый. 1.128. Урпа содержит один шар, про которьш известно, что ок либо белый, либо черный с одинаковыми вероятностями. В урну кладут один белый шар и затем наудачу извлекают один шар. Он оказался белым, Какова вероятность, что оставшийся в урне шар — белый? 1Л29.
Брошено три игральных кости. Найти вероятность того, что на всех костях выпала шестерка, если известно, что а) на одной кости выпало 6 очков; б) на первой кости выпало 6 очков; в) ка двух костях выпали «шестерки»; г) по крайней мере на двух костях выпало одинаковое число очков; д) па всех костях выпало одинаковое число очков; е) по крайнем мере на одной кости выпало 6 очков. 1.130.
Найти вероятность того, что при бросании трех игральных костей хотя бы на одной выпадет 6 очков, при условии, что па всех костях выпали грани с четным числом очков. 1.131. Группа студентов, сдающая экзамен, состоит из 5 отличников, 10 хороших студентов и 15 слабых студентов; отличник всегда получает оценку «отлично», хороший студент — «отлично» и «хорошо» с равными вероятностями, слабый студент — «хорошо», «удовлетворительно» и «неудовлетворительно» с равными вероятностями. Какова вероятность, что паугад вызванный студент получит оценку а) «отлично»; б) «хорошо»? 1.132.
В урне находятся белые и черные шары. Пусть имеется з предположений А„..., А, о том, что доля белых шаров в урне равна соответственно р„..., р.. Считаем, что эти предположения выполняются с вероятностями ао ..., п„он+...+и. =1. Для проверки произведем выбор шаров с возвращением объема и,. Пусть выборка содержит т, белых шаров (событие В). Вычислим а«вЂ” Р(ААВ), 1 = 1, ..., г, и рассмотрим их как исправленные зпаче- 20 ння взамен ио..., а, (для удобства переобозначнм н сами исходные предположения: Ло ..., А,). Для дополнительной корректировки произведем выбор с возвращением объема нь Допустим, что число белых шаров в выборке равно т, (событие С). Находим Р(Л,~С). Пусть, далее, событие Р состоит в том, что выборка объема и, + и, содержит т„+ т, белых шаров.
Доказать, что Р(А,~Р)= Р(Л,~С), ~=1,..., г. 1ЛЗЗ. Доказать, что если А и В независимы, то независимы А нВ,АнВ,АиВ. 1Л34. Доказать, что если Р(А~В)= Р(А~В), то события А и В независимы. 1.135. Пусть А и В независимы, Р(А О В)= Р(А)+ Р(В), Р(АПВ)= р и Р(А~В)(р. Найти Р(А), Р(В) и Р(А~В). 1Л36. Пусть событие А таково, что оно не зависит от самого себя.
Показать, что тогда Р(А) равно О илн 1. 1.137. Пусть событие А таково, что Р(А) равно О илн 1. Показать, что А и любое событие В независимы. 1Л38. Пусть А и  — независимые события и Р(А О В)= 1. Доказать, что либо А, либо В имеет вероятность, равную единице. 1Л39. Пусть А и  — независимые события.
Доказать, что если А О В и А О В ноэависимы, то либо Р(А)= 1, либо Р(В) = 1, либо Р(А) = О, либо Р(В) = О. 1Л40. 11одбрасываются три игральные кости. Событие А состоит в том, что одинаковое число очков выпало на первой и второй костях, событие  — одинаковое число очков иа второй и третьей костях, С вЂ” на первой н третьей. Будут ли события А, В и С: а) попарно независимы, б) независимы в совокупности? 1Л41. Пусть события А, В и С независимы в совокупности, причем каждое из этих событий имеет вероятность, отличную от пуля н единицы.
Могут ли события АВ, ВС н АС быть: а) независимыми в совокупности, б) попарно независнмымн? 1.142. Пусть события А, В н С попарно независимы и каждое вэ них имеет вероятность, отличную от нуля и единицы. Могут лн события АВ, ВС и АС быть: а) попарно независимыми, б) независимыми в совокупности? 1Л43. Пусть А и  — независимые события, а событие С пе зависит от событий АВ и А ОВ. Обязаны ли события А, В и С быть попарно независимыми? 1Л44. Пусть А, В, С,  — события, причем А и В не зависят от С н В.
Доказать, что если АВ= З и СЙ О, то А О В не завивисит от С О В. 1.145. Пусть события А, В и С таковы, что А не зависит от ВС н от В О С, В не зависит от АС, а С вЂ” от АВ, причем вероятности Р(А), Р(В), Р(С) положительны. Доказать, что события А, В и С независимы в совокупности. 1.146. Показать, что из попарной независимости А„ А,, А, не следует их взаимная пезависилхость. 1Л47. Показать, что из равенства Р(А,А,А,) Р(А,) Р(А,) Р(А,) не следует попарная независимость А„А„А,. 1Л48.
Пусть А и В независимы и А н С независимы. Показать, что А и В 0 С могут быть зависимы. 1Л49 (продолжение). Доказать, что если, кроме того, А я ВС независимы, то А и В 0 С также независимы, Будут лп пезависи- мыА, В, С? 1.150. Из урны, содержащей белые и черные шары, с возвра- щением извлекаются шары.
Пусть событие А, означает, что й-й по счету вынутый шар — белый. Доказать, что события А„..., А„ взаимно независимы. 1Л51 (продолжение). Показать, что если выбор производится без возвращения, то события А„..., А„зависимы, 1.152 (продолжение). Доказать, что в случае выбора без воз- вращения: а) Р(А„)= Р(А,) прн любом й; 6) Р(А,+,~А„) не завпспт от й; в) Р(Ав+~~А~) не зависит от т. 1Л53.
Пусть А„А„..., А — взаимно независимые события. Доказать,что Р( з А)= 1 — ДР(А), 1Л54. Доказать, что события Ао Ан ..., А, заданные на одном вероятностном пространстве независимы тогда н только тогда, когда выполнены 2" условия Р(А~~... А„") = Р(А„')... Р(Аа ), 6, =О, 1, а,- (Ао если 6;=1 А ~ А,, если 6; = О.
1=1,2,,п, Глава 2 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕИ В основе.любой теоретико-вероятностной схемы лежит понятие вероятно- стного пространства. Для описания вероятностного пространства напомним некоторые понятия и факты теории множеств и теории меры. Пусть 0 — некоторое непустое множество. Элементы его будем обозна- чать еь Дополнение, объединение, пересечение, равность, симметрическая рав- нее ь подмножеств 0 определяются следующим образом А = (ю щ 0 > ы зн А), А Ц В = (ю >м 0: ы ен А или ы ен В), АП В=(ыщ 0: ювнА и ювиВ), А'ч,В=А 0 В, А >Х В = (А,В) ц (В,А).
Наряду с А П В будем применять обозначение АВ. Множества А и В называются нвигргсекаюа>имисп, если А () В >2> (>3 — пустое множество). Пусть 1 = (и) — некоторое множество индексов. Имеют место формулы двойственности: Ц А,= П А,„, аа г аты й ')и= Ц А„. аыг амг Класс Я> подмножеств 0 называется палуалггбрай, если: 1) 0щй>; 2) если А, В вн У>, то А () В внм); 3) если А, В гни) и А с В, то существуют поварно не пересекающиеся множества Ан А„,, А„принадлежащие У), такие, что В~А = А,ц... ц Аы Класс лг подмножеств 0 называется алгеброй, если: 1) 0>нар; 2) если А щ мэ, то А >и лр; 3) еслиА,ВщФ,тоАЦВвнЖ Класс У' подмножеств 0 называется о-алгеброй, если: 1) 0>мУ; 2) если АщУ", то АщУ"; 3) если Ан Аи ...>нУ; то Ц А„>ы мг.
=> Пересечение любого числа алгебр (а-алгебр) является алгеброй (о-алгеброй). Каждая алгебра является полуалгеброй, а каждая с-алгебра — алгеброй. Класс Я яодмноятеств 0 называется разбиением 0, если: 1) элементы Я отличны от )с> и попарно не пересекаются", 2) объединение всех элементов Я совпадают с 0. Пусть Ю вЂ” некоторый класс подмножеств 0.
о-алггброй, порожденной классвм В, называетсл минимальная о-алгебра, содержащая Ю, которая равна пересечению всех о-алгеор, содержащих В. Пространство 0 вместе с о-алгеброй его подмножеств мг называется игл>врильым пространством и обозначается (0, .Ф). Элементы лэ называются иг- 23 Элементы 0 кааываются элемеитарными событиями или псходамп, множество П называется пространством элемевтаркых событий, элеиеаты лб — событиями, функция множеств Р(А) (вероятиостпая мера яа измеримом прострапстве (П, .М)] казызается вероятностью или вероятностным распределспием. (Следует различать события и элементарные события: окп являются эломептами разпых множеств; подчерккем, что вероятность определена ка множестве событий.) В вероятвостком пространстве ((], лб, Р) событие В называется достоввриым событием, В» назызаотся пваовможным событием, А и А = = ()'ХА — противоположными событияь»и, события А и В называются н»совмвстпымп событиями при АВ = 8 и т.
и., см. введение в гл, 1. Пусть А», Аь ... — последовательность событий из лб. Верхним и нивским пределами атой последовательности называются события 1(ш !п1А„= (] (] Аа. п=1а=п ПшзпрАп = (] (] Аа, п=1 О=п Событие 1пп зпр А„состоит в том, что произойдет бесконечно многа событий из числа А», А», ..., событие 1пк ш1А„— в том, что произойдут все А», А», ... за исключеиием, быть может, только копечкого числа. Очевидно, 1Рв» !п(А щ Иш зпрА„. Пусть ((), лб, Р) — вероятностное пространство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
