А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Событие Л, противоположное событию Л (дополвепие Л), осуществляется тогда, когда зте осуществляется А. Событие А~В (разность множеств А и В) осуществляется тогда, когда осуществляется А, но В не осущеотеляется. Событие А гь В (симметрическая разность множеств А и В) осуществляется тогда, когда осуществляется А и не осуществляется В, илв когда осуществляется В и не осуществляется А. Событие П называют достовгрным собмтигм, а событие 8 (пустое множество)— пввогможным гобытигм.
События А н В нгговмггтны, если АВ = О. Класс событий Ф удовлетворяет следующим свойствам: 1) () гп яэ; 2) если А ж.яг, то А тн вэ; 3) ЕСЛИ Ао Ат, ..., А, ... гп ЛЭ, та () Аз ж Мг. КЛаСС МНОжЕСтВ С УКаэаН- в=1 пымн свойствами называется о-алввброй множвств. Вероятность Р определена как функции мнвк<оста на о-алгебре оэ и удовлетворяет следующим аксиомам: 1) Р(А) ) О длл любого А щ яэ; 2) Р(()) = 1; l 3) Р ~ () Ат~ = ~ Р(Аз), если Аглз = збг при г Ф к г=т Тройка ((), лэ, Р) называется вгроятногтн и пространством.
Его общая конструкция рассматривается в следующей главе. Здесь мы будем иметь дело с простейщпми формулами для вычислении вероятностей в двух важных частных случаях, в которых формализовано пояятне равновозиожпости исходов случайного зкснеримента. Наиболее просто устроено следу<ощее вероятностное пространство: О=(ю«,...,о), лз — множество всех подмножеств О, и Р (А) =-, где пл — число элементарных событий ы, содержащихся в А шли. Это определение вероятности как отношения числа элементарных событий, благоприятствующих некоторому событию, к общему числу элементарных событий, называют классическим впрвдвлвкивм.
Оно имеет непосредственное отношение к опытам с конечным числом равновоаможных находов. Известная симметрия опыта, нашедшая свое выражение в гнпотеае равновозмох<ности, проявляетсв в словах знаудачуз, «правпльнаяз монета или кость и т.
я. Для вычисления вероятностей в таком вероятностном пространстве используются комбпнаторные методы подсчета числа подмножеств некоторого множества. Главнейшие понятия здестл сочетания, размещения и перестановки. Пусть задано множество нз <У разли <ных элементов. Рассмотрим его лодыпожества объема и. Обозвачим. В( = Д< (Х вЂ” 1) ...
3 2 1, А~~ = Д< (Дт — 1) ... (Д< — п+ 1). Упорядоченный набор и различных алемеятов из общего числа Д< называется размвщвкивм. Общее число размещений равно А»ч. При и = Д< размещения называются пврвстаковками и в атом случае А~ — — М. Если не учитывать ч порлдок элементов в размещении, то получающиеся раалнчные подмножества называются сочвтакиллш, их общее число равно С», = А",,/А„".
Другой простой случай вероятностного пространства описывается следующим обрааом: Π— ограниченное множество и-мерного евклидова пространства 1<", имеющее и-мерный объем (лебегову меру) шез О< лр — класс подмножеств А зл Я, имеющих и-мерный объем (лебегову меру) шез А, А <н Ф; Р(А) = шеэ А/шез О, А <н О. Это определение обычно называют геометрическим определением вероятности. В большинстве задач вероятность определяется как отношение обычных площадей илп объемов некоторых геометрическнх фигур в Я". В таком случае образно говорят, что «точка наудачу выбрана в некотором мнов<ествез или «брошена в некоторое множество» и подразумевают, что вероятность выбора точки из множества пролорцпональна его площади илн объему. Важную роль в теории вероятностей играют понятия условной вероятности и независимости событий.
Пусть А и  — события и Р(В) м О, Условная ввролтковть события А при условии В определяется формулой Р (АВ) Р(А)В)= Р В События А и В называются к<зависимыми, если Р(АВ) = Р(А)Р(В); в этом случае Р(А(В) = Р(А) и Р(В(А) = Р(В). События А<, ..., А» называются <заимке независимыми (каза»и<»мыми в вввокуикости), если для любого «( п и л<обых 1 ( О < ...
< й < п Р(А< ...А< )=-Р(А<) ...Р(А< ). При решении некоторых задач, свяаанных с вычислением вероятностей, бывают полезны следующие формулы. Пусть события Ви ..., В„попарно несовместны, т. е. В;В> = Я, ~ пь П п пусть 0 Ве ~ А и Р(В;) ) О для всех ь Тогда г=г () Р (А) = ~т' Р(В,) Р(А) В,.) (формула полной ееролтности); 2) если Р(А) ) О, то Р(В„) Р(А) В„) ~ Р(в,.)Р(А)в,.) (формула Байеса]. 4 1. Операции над событиязш. Свойства вероятностей 1.1. Пусть А и  — события. Найти все события Х такие, что АХ = АВ. 1.2.
Найти все событпя Х такие, что (Х 0 А) 0 (Х 0 А) = В, где А и  — некоторые события. 1.3. Определить события А и В, если: а) ЛОВ=А;б) АВ=Л. 1.4. Доказать, что для любых событий А и В соотношения А ш В, А ~В, А 0 В =В, АВ = А, А~В = Ы равносильны. 1.5. При любых А и В сравнить события ~А О В) (А 0 В) О 0(А ОВ) (А ОВ), (А ОВ) (А ОВ)0 (А ОВ) (А ОВ) и (А 0 В) (А О В) (Л 0 В) (А О В) .
1.6. Доказать равенства: а) АВ ЛОВ; б) АОВ=АВ; в) АОВ=АВО(А~В); г) А ~В=АВ ОАВ; д) А ~В (АВ)гь(АЛ); Ю п и п е) ),) А,= П Аб ж) П А;= Ц Ао е=-1 е — — 1 о=1 ' о=1 1.7. Верны ли следующие равенства: а) Л О В = АВл (Ас-'В); б) А'~В =А'-"'(АВ); в) А~В = А'В; г) А~(В~С)=(А~В)~С; д) А Гл(В)хс')=(А гзВ)(лс; е) (А ОВ)~С=А 0(В~С); ж) АВ 0 СР = (А 0 В) (С 0 Р); з) (А ОВ)(А ОС)(ВОС)=АВОВСОАС; и) АВСОАВР 0 О АСР О ВСР =(А О В) (А 0 С) (А 0 Р) (В 0 С) (В 0 Р) (С 0 Р); к) (А 0 В) Х(А 0 В) = А ть В. 1.8.
Обязаны ли совпадать события А и В, если: а) А = В; б) А 0 С = В О С (С вЂ” некоторое событие); в) АС ВС (С вЂ” некоторое событие); г) А (А 0 В) = В(А 0 В); д) А(АтВ)=В(В~А); е) А(А~В)=В(АзВ); ж) А~В Ы? 1.9. Пусть А, В, С вЂ” некоторые события. Доказать, что а) АВ 0 ВС 0 АС ю АВС; б) АВОВС 0 АС ~А О ВО С. 1ЛО. Двое играют в шахматы. Событие А означает, что выиграл первый игрок, событие  — что выиграл второй игрок. Что означают события: а) А ~В; б) А~В; в) А й В; г) В~А; д) А~В? 1А1. Из урны, содержащей черные и белые шары, извлечены в шаров.
Пусть А~ — событие, состоящее в том, что 1-ый шар белый (1 ~ 1 » и). Выразить через А, следующие события: а) все шары белые; б) хотя бы один шар белый; в) ровно один шар белып; г) не более й шаров белые (1 ~ й ~ в); д) по крайней мере к шаров белые; е) ровно й шаров белые; ж) все п шаров одного цвета.
1А2. Эксперимент состоит з выборе одной из возможных перестановок чисел 1, 2, ..., п. Пусть событие Ае состоит в том, что в выбранной перестановке число 1 стоит на 1-ом месте (1, у = =" 1, 2, ..., и) . Выразить с помощью Ае следующие события: а) число 1 стоит левее числа 2; б) число 1 стоит не далее у-го места. 1.13. в(ишепь состоит нз десяти кругов, ограниченных концентрическими окружностями с радиусами В, ( Н,(...(Вге Событие А, означает попадание в круг радиуса Вз. Что означают события В = А, 0 А, 0А е', С = АзА~АвАа,' В (А, 0 Аз)Ав7 в 1Л4. Пусть А„..., А„— любые события и А = () А;. Предста1=1 вить событие А в виде объединения и несовместных событий, 1А5.
Является ли операция симметрической разности а) коммутативной; б) ассоциативной7 1А6. Доказать, что если А ЬВ = СГР, то А~С =Вгик 1Л7. Доказать, что события А и В совместны тогда и только тогда, когда пересечение трех событий А 0 В, А 0 В и А 0 В непусто. 1А8. Пусть А„А„..., А — события. Докааать, что () () Аз= () () Аз=Ах. я=гь=а 1.19. Доказать, что Р(А 0В)=Р(А)+Р(В) — Р(АВ).
1.26. Пусть вероятяость каждого из событий Л и В равна 172. Доказать, что Р(АЬ) = Р(АВ). 1.21. Доказать, что Р(А Ь В) =Р(А)+Р(В) — 2Р(АВ). 1.22. Пусть А, В, С вЂ” события. Доказать, что: а) Р(АВ) + Р(АС) + Р(ВС) > Р(А) + Р(В) + Р(С) — 1; б) Р(АВ)+ Р(АС) — Р(ВС) ~ Р(А). 10 1.23. Доказать, что для любых А, В, С Р(Л з В) ~ Р(А ~х С)+ Р(С л В). 1.24. Пусть А„Л„..., А — события. Доказать, что: / я а) Р ~ () А;! = ~ Р (Л;) — ~~л~ Р(А;,А;,) + «=1 «=1 1<(«<««<я Р (А;,А;,Л;,) + ... + ( — 1)" 'Р(А,А,...
А„); '<й<'«<'»<" б) Р(А,,л, А«с~ ... с~ А„) = ~~~л Р(А,) — 2 ~ Р(А, А ) + «=1 «<~ <1 <я + 4 Х Р(А;,Л;,А;,) + ... + ( — 2)" 'Р(А,Л, Л ) 1<«1<««<««<в 1.25. Пусть А„..., ˄— некоторые события и  — событие, заключающееся в том, что осуществится ровно т событий из А„...
..., Л„. Доказать, что Р(В ) = ~ ( — 1) С~~«В «ю где 9 2. Классическое определение вероятности 1.26 (урновая схема: выбор с возвращением) Некий сосуд (урна) содеря«ит Ж различных шаров с номерами 1, 2, ..., Х На каждом шаге из урны «наудачу» извлекается шар и затем возвращается назад, после чего шары в урне перемешиваются. Исход и последовательных извлечений называется выборкой объема п с возвращением. Описать пространство злементарных событий, соотвотствующих данному эксперименту.
Рассмотреть отдельно случай, когда порядок шаров в выборке важен, и случай, когда порядок не учитывается. 1.27 (продолжение). Рассмотрим случай упорядоченных выборок и предположим, что они все равновозможны. Предположим дополнительно, что все шары с номерами 1, 2, ..., М (ЛХ ( М) окрашены в белый цвет, а остальные шары — в черный цвет. Найдите вероятность того, что в выборке объема и ока«кется ровно т, О < т ~ п, белых шаров. 1.28.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
