А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316)
Текст из файла
А, В. ПРОХОРОВ, В. Г. УШАКОВ, Н. Г. УШАКОВ ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ Допрьцено Минцстерством висьиего и среднего специаль ого обраоовани» СССР е кокестве учебного пособия Вл» студентов рниверситетов, обдчаюигикся ао сп циальностям»Математика и Лрикладная матсмотцка» МОСКВА аЦАУКА» РЛАВИАЯ РЕДАКЦИЯ ° РИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 9988 ББК 22171 П 84 УДК 519.2 Прохоров Л. В., Ушаков В. Г., Ушаков Н. Г. Задачи по теории вероятяостсй: Основнме понятия. Предельные теоремы. Случайные процесеыв Учебное пособие.— Мз Наука.
Гл. ред. фна.-мат. лиг„1036.— 326 с. Сборник задач содержит около 1500 задач и рассчитан на изучение расширенного курса теории нерояткостей (содержит, в частности, разделы, посвященные бевгранично делимым распределениям, условным математическим ожиданиям и условным вероятностям, случайным процессам). Для студентов математических специальностей университетов. Библиогр.
41 наев. Пваатечьство ецауна» © Главная реаанцнн фнвнно-метеметнеееноя литературы, !сзз Л 1У02060000 055 64-3 053(02)-66 Рецензенты: кафедра теории вероятностей и матеиатичзской статистики Леяпяградского государственного университета нм. А. А. Жданова (заведующий кафедрой доктор физико-математических наук профессор В. В. Петров), доктор физико-математических наук профессор В. П. Чистяков ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Г л а в а 1. Введение в теорию вероятностей 9 11 16 18 1 2. 1 3.
1 4. Глава 1 1. 1 2. 4 3. 26 30 32 37 Г л а в а 4. Аналитические методы теории веролтностей 80 4 1. $2 1 3. основные свойства функций со свойствами рас- Г л а в а 5, Сходнмость последовательностей случайных величин ятвостиых распределений и веро- 104 Гл аз а С. Предельные теоремы теории вероятностей 122 126 130 132 Глава 1 2. 1 3.
1 4. 1 5. 1 6. 4 7. 4 8. 9. Онерацнн над событиями. Свойства вероятностей Классическое определение вероятности Геометрические вероятности Условная вероятность. Независимость 2. Основные понятия теории вероятностей Вероятностное пространство Случайные величины. Математическое ожидание Независимость 3.
Распределения случайных величин Функцвп распределения Моменты Корреляция Некоторые важные распределения Распределения сумм независимых случайных величин Неравенства Расстояния в пространстве вероятностных распределений Многомерные раснределения Разные задачи Производящие функции Характеристические функции и пх Связь свойств характеристических пределений. Неравенства Формулы обращения Преобразования Лапласа Разные задачи Закон больших чисел Сходимость рядов лз независимых случайных величин Усиленный закон больших чисел Центральная предельная теорема 42 49 56 58 61 68 69 71 75 81 83 89 94 97 98 3 5.
Разные аадачи 4 6. Применения предельных тсорсм 136 142 Глава 7. Условные распределении и условные математичссвие ожи- дания 148 Глав а 8. Безгранично делимые распределении Гл а в а 9. Дисггретиые цепи Маркова 154 161 4 1 й 2 63 й 4 162 167 171 173 Г л а в а 10. Случайные процессы 174 О.светы, указания, решения Список учебных иаданий по теории вероятностей 208 326 й 1 $ 2 4 3 14 $5 4 6 $7 й 8 Основные понятия и соотношения Классификация состоянии Стационарные и предельные распределсшгя Разные задачи Основные поннтия Ветвящиеся процессы Марковские процессы Процессы массового обслузкпзавня Винеровский процесс Процессы с независимыип приращениями Стационарные процессы Мартингалы Разные задачи 182 187 188 191 195 197 200 203 206 ПРЕДИСЛОВИК За последнее десятилетие значительно увеличился объем преподавания теории вероятностей в высших учебных заведениях.
В университетах на математических факультетах читается годовой или полуторагодовой курс теории вероятностей, случайных процессов и математической статистики, появились новые курсы по вероятности в технических вузах, изданы новые учебники. Предлагаемый сборник задач был задуман как учебное пособие, приспособленное к университетским курсам теории вероятностей и таким современным учебникам, как «Теория вероятностей» Л. А. Боровкова, «Веронтность» А. Н.
Ширяева, «Курс теории случайных процессов» Л. Д. Вентцеля, «Теория вероятностей. Случайные процессы. Математическая статистика» Ю. А..Розанова, «Курс тоории вероятностей н математической статистики» Б. А. Севастьянова. В книге отражен опыт авторов, работавших на механико- математическом факультете и факультете вычислительной математики в кибернетики Московского университета. Сборник содержит около 1500 задач по многим разделам теории вероятностей, в том числе и по теории случайных процессов.
При этом материал, соответствующий программе общего курса, расширен аа счет включенвя тем, которые традиционно составляли содержание курса «Дополнительные главы теории вероятностей», читавшегося в теченпе многих лет в МГУ. Это относится в первую очередь к главам «Аналитические методы теории вероятностей», «Безгранично делпмые раснределения», «Условные распределения и условные математические ожидания».
Задачппк имеет неболыпой отдел по элементарной теории вероятностей. Это оправдано тем, что начальная часть курса теории вероятностей очень хоро«по обеспечена задачамн в первом томе известной книги В. Феллера «Введение в теорию вероятностей н ее приложения» и в недавно изданном «Сборнике задач по теории вероятностей» Б.
А. Севастьянова, В. П. Чистякова и Л. М, Зубкова. В гл. 1 представлены основные схемы элементарной теории вероятностей: урновая схема, схема размещения частиц по ячейкам и схема случайного блуждания. В параграфе, посвященном геометрическим вероятностям, собраны известные («классические») задачи ввиду их поучительности 1»ти задачи легко формулируются в терминах «выбора точки наудачу»).
Сборник содержит большов число задач, связанных с распределениями вероятно- 5 отей, характеристическими функциями и предельными теоремами. Разделы, посвященные предельным теоремам и случайным процессам, ни в коей мере не претендуют на полноту и объединяют задачи, естественно связанные с содержанием общего (хотя и достаточно широкого по программе) курса теории вероятностей. Задачи в сборнике имеют разную степень трудности н рассчитаны на читателей, находящихся на различных этапах овладения основами теории вероятностей. Кроме задач учебного характера, в сборник включены задачи, которые могут быть полезны студентам и даже аспирантам, закимающимсн углубленным изучением специальных разделов теории.
Задачи, как правило, снабжены ответами, многие задачи имеют указания к решению, некоторые задачи имеют подробное решение. В конце книги приведен список учебников и сборников задач по теории вероятностей, используемых в высших учебных заведениях. Авторы сознают, что сборник задач такого большого объема неизбежно вызовет критические аамечания читателей как с точки зрения структуры, так и с точки зрения содержания отдельных разделов и отдельных задач. Решившись издать сборник задач в настоящем виде, авторы рассчитывают получить указания, замечания и предложения и заранее благодарны всем своим корреспондентам.
Авторы выражают свою глубокую благодарность сотрудникам кафедры математической статистики факультета вычислительной математики и кибернетики и кафедры математической статистики и случайных процессов механико-математического факультета Мо. сковского университета за неоценимую помоШь и поддержку в работе над сборником задач.
Добрвжелательные критические указания, полученные авторами от профессора В. П. Чистякова и коллектива кафедры теории вероятностей и математической статистики математико-механического факультета Ленинградского университета, помогли освободить рукопись книги от многих недочетов и погрешностей. Авторы выражают рецензентам сердечную признательность за их труд. А. П. Прохоров, В. Г.
Ушаков, Н. Г. Ушаков Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Исходным понятием теории вероятностей является понятие вероятностного пространства как математической модели изучаемого ивления. Пусть () — иепустое множество, элементы которого интерпретируются как неразложимые, исключающие друг друга исходы ю случайного эксперимента и называются элвмвнторными событиями (само (г вазывается пространством элвмгнтарныя событий), зт — класс подмножеств А ~-(), называемых событиями, Р— чпсзовая функция, определеннал для каждого события А гп зэ П ноглщая название вероятности.
Поскольку события являются подмножествами П, можно использовать теоретико-множественную терминологию н определить новые события путем объединения, пересечения, перехода к дополненном соответствующих мнол.сств. По аналогии с операциями пад мпоисествами определим олерадии пад событиями, используя специфическуто вероятностную терминологию, Если случайный эксперимент заканчивается исходом ю н ю гп А, то говорят, что осуществилось (пропзощло) событие А, если А гн лэ. Пусть А, В гн ел зФ вЂ” события. Событие А () В (объединение множеств А и В) осуществляется тогда, когда осуществляется по крайней мере одяо иэ событий А или В. Событие А () В = АВ (пересечсипе множеств Л и В) осуществляется тогда, когда осущестеллются оба события А и В.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
