А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Пусть (Й,,Ф, Р) — вероятностное пространство, причем й состоит ровно из и точек, каждая из которых имеет положительную 3 Л. В, ПРОхоРОВ И ЛР ЗЗ вероятность. Доказать, что на этом веронтпостпом пространстве не существует двух независимых случайных величин, каждая из которых принимает п различных значений. 2.83.
Пусть (О...Ф, Р) — вероятностное пространство такое, что хй содержит ровно п событий, ~о ..., $„-, -- попарно независимые случайные величины, определенные па этом вероятностном пространстве. Доказать, что по крайней мере одна из пих есть с вероятностью единица постоянная. 2.84. Определим вероятностное пространство ((?, ээ, Р) следу|ощим образом: П= (1, 2, 3),,Ф вЂ” множество всех подмножеств (?, Р(1) = Р(2) = Р(3) = 1/3. Доказать, что па этом вероятностном пространстве нельзя определить две независимые случайные величины, каждая из которых принимает по крайней мере два значения. 2.85.
Вероятностное пространство (П, эз, Р) определено следув>щнм образом: П = (1, 2, 3, 4),,Ф вЂ” множество всех подмножеств (), Р(1) = Р (2) = Р (3) = Р (4) = 1/4. Построить па этом вероятностном пространстве две независимые случайные величины, не равные с вероятностью единица постоянным. 2.86. Существует ли на вероятностном пространстве (1?, .М, Р), представляющем собой отрезок (О, 1) с и-алгеброй борелевскпх множеств и мерой '!ебега, случайная величина, не равная с вероятностью единица постоянной и не зависящая от случайной величины $(ю)= ю? 2.87. Пусть Ь и Ч вЂ” независимые случайные величины. Доказать, что случайные величины пни(1, ь) и ж1п(1, Ч) независимы.
2.88. Пусть $ и Ч вЂ” случайные величины, причем для любых вещественных а и й случайные величины ю1?п(а, $) и пйп1(О, Ч) независимы. Доказать, что $ и Ч независимы. 2.89. Пусть ч и Ч вЂ” независимые случайные величины, ((х) п д(х) — борелевские функции„Доказать, что случайные величины /(Ь) и «(Ч) независимы. 2.90. Пусть Ч и Ч вЂ” зависимые случайные величины, /(х) и н(х) — борелевские Функции. Могут ли случайные величины /Д) и д(Ч) быть независимыми? Изменится ли ответ, если дополнительно предположить, что /($) и д(Ч) имеют певырождеппые распределения? 2.91.
Может ли существовать случайная величина $ и дзе борелевские функции ?(х) и К(х) такие, что случайные величины 1(ь) и д(в) независимы и имеют певырождепяые распредетекия? Изменится ли ответ, если дополнительно предположпть, что / и д— строго монотонные функции? 292. Пусть Г и Ч вЂ” случайные величины; РД > О)= Р(т| >О)= = 3/4, Р($+ Ч > О) = 1/2. Доказать, что $ и Ч зависимы. 2.93. Пусть а н Ч вЂ” независимые одинаково распределенные случайные величины, р = Р($ > О), д = 1 — р.
Доказать, что р' ~ =-Р(В+Ч>0) <1' — 9*. 2.94. Пусть $, Ч н ь — случайные величины, причем $ не зависит от Ч н от ь. Верно лн, что з не зависит от Ч+ ь? в4 2.95. Пусть $, ц и ь — независимые в совокупности случайные величины. Будут ли независимыми случайные величины ф и ц+Ц? Пзменится ли ответ, если предположить лишь попарную независимость '., Ч и Р 2.96.
Пусть $о ..., з„— независимые случайные величины, (~(го ..., з,) и т(хо ..., х„-„) — борелевские функции в и и — й аргументов соответственно. Доказать, что случайные величины й(= ° Ы и Ойдо ° °, ь ) независимы, 2.97. Пусть $о ~.....— последовательность независимых случайных величин, опроделенных на некотором вероятностном пространстве (ьг..М, Р). Доказать, что па этом же вероятностном пространстве существует двойная носледовательпость случайных величин Вп афпг ю 5...Ь2,..., удовлетворяющая следующим условиям: а) все $е принимают пе более чем счетное число значении; б) при каждом й $п, ",и, ...
независимы; в) при каждом п последовательность 4., равномерно по ю сходптсн при Й- к Е„. 2.98. Существуют ли случайные величины $ и г1 такие, что е и ц не равны с вероятностью единица постоянным и; а) $ н 5+ц независимы1 б) $ и $ ц независимыу в) ~, ~+ц и ц независимы в совокупности? 2.99. Показать, что из равенства Е$т) =Е$ЕО пе следует, вообще говоря, независимость З и ц. 2ЛОО. Доказать, что если случайные величины $ и ц принимают по два значения, то нз равенства ЕЕп Е$ЕО следует независимость В и ц.
2Л01. Пусть $о ..., ń— независимые случайные величины с конечными математическими ожиданиями. Доказать, что ° (Пь)-Пч.. 2Л02. Пусть $ и ц — независимые случайные величины, у(х) н Ч (х) — борелевские функции. Доказать, что Е р(В) р(ц) = Е р й) ЕФ (Ч) если написанные математические он<идания существуют.
2ЛОЗ. Пусть $о ..., $ — случайные величины, каждая нз которых нрпнимает не болев чем счетное число значений. Доказать, что они независимы тогда и только тогда, когда для лзобых Х Р $, = х„..., ~„хд) Ц Р (5ь = хз). а — тт 2.104. Пусть з и ц — случайные вглпчппы, пе равные с вероятностью единица постоянным, причем РД < 0)= 1.
Могут лн $ и 0 быть независимыми7 Изменится ли ответ, если дополпигельпо предположить, что для любого а) 0 Р($ ) а) ) 07 2Л05. Пусть случайные величины з„..., з независимы и одпнаново распределены Р($; = —./ = ~ 1= 1, 2, ..., У. Положим Будут ли случайные величины нм попарно пезависимымп7 Е!езависимыпи? 2Л06. События А„..., А называются симметрично зависимыми, если вероятность Р(А; А; ... А;„), 1(г(п, 1(1 (... <1„(п, зависит только от г и пе зависит от конкретного пабора индексов 1о 1м ..., 0.
Доказать, что независимые события, имеющие одинаковую вероятность, являются симметрично зависимыми. Мояшо лп отказаться от условия равновороятностп7 2.107. Следует ли нз симметричной зависимости событий их пезависимость3 2.108. В урне Ж белых и М черных шаров. Из урны извлекается п шаров по схеме выбора без возвращения 1п<ппп1У, Л1)). Пусть А,— событие, состоящее в том, что й-й извлеченный шар оказался белым. Доказать, что события А„..., А„симметрично аависимы.
2Л09. Доказать. что неотрицательные числа рп ..., р тогда н только тогда могут быль вероятностями и попарпо независимых событий таких, что пересечение любых трех из них не пусто, когда вынолнепы следующие неравенства: р,+...+р„,(1; р, + р,+ ... + р„, + р„<1; р,+ ...
+ р.(1. Глава 3 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Пусть $(ы), ы ьи 2,- случайггая зелпчпна, определенная на некотором вероятностном пространстве (1), хт, Р). Фувкцпя Р($ гнА) = Р(ы: $(ы) шВ), оирсделеннан для всех борелевских множеств В прямой, является всуолтпостной мерой на измеримом пространство ((я, Мк) (где )к — прнмая с оорелевской с-алгеброй м)к) и называется роопрвделвнивм вероятностей случайной ввличикы 3(ы).
Функцией распрвдвлвния случайной величины $(ы) называетея функция зсществонной переменной, определяемая равенством Р(х) = Р($(ы) ( х). Каждая функция распределения Р(х) обладает следующими свойствами: 1) Р(х) неубывагощая функция; 2) Г(х) непрерывна справа при каждом х; 3) !!гв р (х) = О, Нш В (х) = 1.
х-ь- х )!1обая функция р(х), удовлетворнющая свойствам 1) — 3), является функцией распределения некоторой случайной величины. Точка х называется точкой роста функции распределения (или распределения), если для любого е ) 0 В(х+ е) — Р(х — е) ) О. распределение случайной величины пааывается вырохвдвнныяц если Р($ = а) = 1 для некоторого вещественного а. Распределение случайной величины 3 называетсл дискрвтным, если 3 с вероятностью 1 принимает конечное нлн счетное число значений.
Соответствующая функция распределения является ступенчатой (кусочно постоянной) функцией: если хи хв, ... — значения случайной величины $ н р, =- = Р(ы: Ц(ы) = хП, то Рц(х) имеет скачки в точках хп равные рт = В(хь)— — В(хь — 0). Наиболее важными дискретными распределениями являготся рвкьвтчотььв (пли арифметические) распределения, сосредоточенные на множестве точек вада а + )тп, й = О, ~1, ..., где й называется шагом распределения: рь = Р(о = а -)- ВП) = р(а+ йй) — р'(а+ йй — 0). рзспределенпя случайных величин, которые принимают только целые акачслнв, назЫВают целочисленными.
Пусть $ — случайная величина с функцией распределения Р(х). Если для любого борелевского множества В ьи Як существует неотрицательная бооолсвская функция Пх), такая, что Р($ьмВ)=) у(х)йх и ~у(х)Ах=1, то распределение 3 и функция распределения р(х) называются абсолютно нв прврывными, а !(х) лазываотся плотностью рассределепвя вероятностей нлп йй просто плотностью случайной величины $. Б атем случае Г(х) = ) у(д) Ио р(х) = азгз(х) + азуз(х) + азиз(х), где аз )~ О, 1 = 1, 2, 3, а, + аз+ аз = 1, Р~(х), Г,(х) и Гз(х) — дискретная, абсолютно непрерывная и сингулярная функции распределении.
Случайная всличнна и ее распределение вазызазотсн силсиегричными относительно начала координат, если функции распределения случайных величин 3 и — 3 совпадают; )з(х) = 1 — Г( — х — 0). Распределение нааываетсл одноаеризинным (плн унпмодальиым), если существует а такое, что Г(х) выпукла вверх прп х ) а и выпукла вниз пр~ х ~ а (в точке х = а функция Е(х) ползет иметь разрыв); точна а называется е ар ш и ной (нли модой) распределении. Укажем наиболее часто встречающиеся распределения вероятностей. Дискретные распределения: 1. Биззамиальное распределение с параметрами р и н (и — целое полозкптельное число, 0 ( р ( 1): РД=!з)=Сара(1 — р)н л й=0,1,2, ...,и. ".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
