А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Пусть $ — случайная величина с симметричным распределением, А — симметричное относительно нуля борелевсное множество на прямой. Положим если ~~А, — еслн $ ф А. Доказать, что случайные величины З и Ч одинаково распределены. ЗЛЗ.
Пусть $ и г1 — случайные величины с функциями распределения Г(х) и 6(х) соответственно. Доказать, что если Р($ ) Ч) = = '1, то Г(х)» 6(х) при всех х. Верно ля обратное при условии, что З и Ч определены на одном вероятностном пространстве? ЗЛб (продолхсеггие). Пусть Г(х) и 6(х) — две функции распределения, причем Г(х)» 6(х) для всех х. Доказать, что существует вероятностное пространство и две случайные величины $ и г), определенные па этом вероятиостпом пространстве и такие, что Г(х) Р($«х), 6(х)=Р(т)«х) и $)Ч.
317. Доназать, что множество точек разрыва любой функции распределения не полее чем счетно. 3.18. Мо;нет лн многкество точек разрыва функции распределения быть всюду плотным на нрнмои.' 44 3.19. Доказать, что любая функция распределения г (х) ползет быть представлена в виде Р(х) = а,Г, (х)+ аГ,(х), а, > О, аз ~ О, а, + аз = 1, где р,(х) н Р,(х) — функции распределоппя, причем Р,(х) непрерывна, и Г,(х) — дискретная функция распределения. Доказать, что такое представление единственно. 3.20. Пусть борелевская функция двух переменных К(х, у) прп каждом фиксированном у является функцией распределения. Доказать, что если 6(х) — функция распределенпя, то функция Н(х) [ Г(х, у) НС(у) также является функцией распределения, 3.21. Функция распределения г" (х) случайной величины ф непрерывна в нуле. Найти распределение случайной величпвы — если з~О, 1, если ~ О.
3.22. Случайная величина $ имеет функцию распределения г" (х). Найти функцию распределения случайной величины — ($ + ~ ь ~). 3.23. Доказать, что если функция распределения непрерывна в каждой точке прямой, то опа равномерно непрерывна на всей прямой.
3.24. Пусть $о $м ...— последовательность независимых одинаково распределепныл случайных величин, принимающих зпаченяя 0 и 1 с вероятностью 1/2 каждое. Найти распроделепие случайной величины 3.25. Пусть 3 — случайная величина, имеющая равномерное яа отрезке 10, 1) распределение. Доказать, что для любой функции распределения г"(х) существует борелевская функция Дх) такая, что 1г(х) будет функцией распределения случайной величины И).
3.26. Пусть ф — случайная величина, равномерно распределенная 6з бз па отрезке 10, 1), и ь ~ + —., + —, + ...,6„0 или 1 — двоичное разложение с. Доказать, что при любом натуральном и Р(6„0) = Р(6„1) =— 1 и случайные величины бп бз, ° .. взаимно независимы. 3.27. 11усть выполнены условия предыдущей задачи.
Расположим знаки двоичного разложения й — случайные величины 6„6„...— ва в виде следующей квадратной таблицы: Ь', бз 6„... 6,6з... 6,... 6,... Пз знаков й-й строки этой таблицы построим двоичное разложение, определяющее случайную величину $н например: б Ь 1г= —,+ —,+ ° .з 6, б; $з — 4+ —.' + "., В зз 6з $ = — '+ —.'+ ...
2з Доказать, что случайные величины 3о $„... независимы и кагкдая пз ппх имеет равномерное па отрезке (О, Ц оаспределение. 3.28. Пусть (1), Ф, Р) — вероятностное пространство, представляющее собой отрезок 10, Ц с о-алгеброй борелевских подмножеств и мерой Лебсга, 1',(х), Г,(х), ...— произвольная последовательность функций распределения. Доказать, что па указанном вероятностном пространстве существует последовательность независимых случайных величин $о $ь ...
таких, что при кая."дом и функция распределения случайной величины $„совпадает с г„(х). 3.29. Пусть г (х) и С(х) — функции распределения. Найти неооходимые и достаточные условия того, что функция П(х)= Г(С(х)) является функцией распределения. 3.30. Привести пример случайной величины $ с плотностью р(х) и непрерывной функции д(х), таких, что дД) является невырожденной случайной величиной с дискретным распределением. 3.31. Пусть Р— провзвольное вероятностное распределение на прямой.
Доказать, что для лгобого борелевского множества А и любого положительного е найдутся открытое множество С и замкнутое множество г' такие, что Г ы А — С и Р(СЧ~!) ( е. 3.32. Пусть Р— произвольное вероятностное распределение па прямой. Доказать, что для любого борелевского множества А и любого положительного е найдется компакт К такой, что Кы А и Р(А~К) ( е. 3.33.
Какова мощность множества всех функций распределепияр 334. Пусть $о 5„...— последовательность случайных величин с функциями распределения г',(х), Р,(х), ... соответственно, а ив положительная целочисленная случайная величина, не зависящая 45 от всех фо $м .... Положим р, Р(т й), й 1, 2...,. Найти функцию распределенин случайной величины а,. 3.35. Доказать, что для любой непрерывной функции распределения Г(х) Г(х) с(Г(х) = —,. 1 3.36. Доказать, что для любой непрерывной функции распределения Г(х) и любых натуральных и и й СО Г~(х)с(Г (х) =— (в+ й) 3.37.
Пусть $ — случайная величина с непрерывной функцией распределения Г(х). Найти функцию распределения случайной велвчнны Г($). 3.38, Доказать, что если случайная величина $ имеет абсолютно непрерывное распределение, то случайная величина 1ф) также имеет абсолютно непрерывное распределение. Верно ли обратное утверждением 3.39. Случайные величины $ и ц независимы и имеют одинаковое распределение: Р($ = й) = Р(ц = й) = 1/Ж, й = 1, ..., Ф. Положим т=щ1пЦ, ц), к=сваха, т1), Х н — т. Найти распределения случайных величин т, н и Х. 3.40.
Пусть $ и ц — независимые случайные величины с непрерывными функциями распределения Г(х) и С(х) соответственно. Найти функцию распределения произведения йц. 3.41. Пусть $о ..., $„— независимые одинаково распределенпыа случайные величины, Г(х) — функцня распределения $ь Введем функцию двух перемепнык ~р(х, у) следующим образом: (1 при х) у, 10 прн х(у. При каждом фиксированном х найти распределение случайной воличины Ч = — „,г, р(х.зь) й=-1 3.42. Функция распределения Г(х) неотрицательной случайной величины называется полраддитивной, если Г(х+ у)(Г(х)+Г(р) для любых х, у ~ О.
Привести пример полуаддитивной функции распределения 3.43. Пусть р(х) — плотность распределения, пе возрастающая при х ~ 0 и равная пулю при х < О. Доказать, что соответствующая функция распродоленпя полуаддитивна (определение см. в преды;)ущей задаче).
3.44. Доказать, что для любой функции распределения Г(х) справедливы соотпопюпня; х а) !ип х) — =О, б) 1ип х ) — =О, ) Ук!У) . !' ИУ! ) х — ~ У х х в) 1ипх 1 — '=О, г) 1ип х) — =О. ид 00 . Р дР' (у) з — у У х те У ЗА5. Пусть функция распределения Г(х) непрерывна в нуле. Доказать, что функция — при х) О, Н' (У) У х Г лд(у) — — при х 0 является илотностью распределения. ЗА6.
Доиазать, что если в предыдущей задаче отказаться от условия непрерывности в нуле, т. е. предположить, что 0 (Г(0)— — )г(0 — 0)=а~ 4, то функция р(х)/(! — а) является плотностью распределения вероятностей, 3.47. Пусть г',(х) и Р,(х) — две функции распределения. Доказать, что Г,(х) ( Г,(х) при всех х тогда и только тогда, когда ~ (х) сУ'т (х) ) ) / (х) ИГУ (х) для любой монотонно неубывающей функции )(х), для которой указанные интегралы существуют. ЗАЯ. Пусть веп!ествекпая функция !(х) такова, что для любых ))сух функций распределения !',(х) и Г,(х), удовлетворяющих неравенству Г,(х)(!',(х), выполнено неравенство ~ 1( ) "Г ( )) ~ 1(х)')Г.(х).
Доказать, что )(х) монотонно ие убывает. 3.49. Распределение Р называется доминируюн!им для семейсгва распределокий 6, если для любого борелевского множества А 4т такого, что Р(А)= О, выполнены равенства 0(А)=0 для всех из 6. Семейство распределений называется доз!инируемым, если существует распределение, доминирующее его. Доказать, что любое счетное семейство распределений доминируемо. 3.50. Привести пример не домипируемого семейства распределений. 3.51, Доказать, что сели 6„ 6,, ... — последовательпвсть домннируемых семейств распределений, то доминируемо н их объединение О 6.
!!=1 3.52. Выпуклой оболочкой семейства распределений 6 называется мнол<ество всех распределений вида а;Рп $=! где а,>О,Д а; = 1, Р,еб, !=1, 2, .... Доказать, что выпуклая !=! оболочка доминируемого семейства распределений доминируема. 3.53. Доказать, что семейство распределений 6 домипируемо тогда и только тогда, когда существует не более чем счетное подсемейство 6' семейства 6 такое, что если борелевское множество А удовлетворяет условию Р(А)=0 для любого Р~6', то !е(А)=0 для любого !? ш6. 3.54.
Функцией концентрации случайной величины $ называется функция ()г(х) = вирР(а($«..а+ х). и Очевидно, функция концентрации однозначно определяется функцией распределения. Верно ли обратное7 3.55. Доказать, что для шобой случайной величины $ и л!обого положительного х найдется а такое, что ()!(х) = Р(а < $ ( а+ х). 3.50. Доказать, что для любой случайной величины $ и любых неотрицательных а и х имеет место неравенство е! (ах) ( ((а] + 1) !е! (х), где (а] — целая часть числа а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
