А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 14
Текст из файла (страница 14)
3.213. Пусть $ и т1 — независимые одинаково распределенные целочисленные случайные величины, р~=Р(с~ =т), 1=0, ~1, ~2, ... Доказать, что Р($ — Ч=О)= Х рь 3.214. Пусть $ и ц — независимые случайные величины с одинаковой плотностью распределения р(х).
Обозначим а(х) плотность распределения случайной величипы 3 — т). Доказать, что Ю д(0) = ) р'(х) ттх. 3.215. Пусть фо ..., $ и тто ..., ц„— две совокупности независимых в каждой совокупности случайных величин. Доказать, что если для любого вещественного и и лтобого й =1, 2, ..., и Р(5, ~ а) ~ Р (т~, ) а), то Р($,+... + $„> а) ~ Р(ц, +... + т~. > а). 3.216.
Пусть $ и ц — независимые случайные величины. Доказать, что функция концентрации их суммы пе превосходит функций концентрации слагаемых: а.,(.) - Ы (Ег(.), Ы )) (определенне функции концентрации см. в задаче 3.54). 3.217. Пусть $, и $, — независимые случайные величины. Дока- вать, что для любых неотрицательных х, и хт Е1,(,) Е,(;)-.=а..з. (, + ..). 3.218 (георема Л. В. Романовского).
Пусть 3, и 3г — незавнсимыо случайные величины, $ = $~+ ьь Доказать, что для любого т «» 0 р,(*) ~(~ь,(.) а,(.) +(1 — ~„(.))(1 — Еь,(*)). 3.219. Пусть $, и $г — независимые случайные величины, $, + $г; пусть для некоторого борелевского множества А Р($ыА)>1 — з, 0<с~1. Доказать, что для некоторого вещественного а Р Д, гн А + а) > 1 — е.
3.220. Пусть $ и д — независимые случайные величины, причем 3 имеет плотность распределения р(л). Обозначим д(х) плотность распределения суммы с+ Ч. Доказать, что зпр д (з) ( зар Р (л). у х 3.221. Привести пример случайной величины $ такой, что ее функция распределения г" (л) представима в виде Р Р~ р Рг, где В,(х) н гтг(х) — некотоРые нсвыРождепныо фУнкции РаснРеделениЯ, по не существует двух независимых случайных величин Е, и ф, та- ких, что $< имеет функцию распределения Р~(л), 1 1, 2, и $ =$+Ь 3.222. Пусть $ — случайная величина, Р(0 ( 3 ( с) — 1, с > О, Ес=а, Ь$=Ь.
Доказать,' что если Ь>а, то при п>с 3 не может быть представлена как сумма и независимых одинаково распреде- ленных случайных величин, 3.223. Пусть $ — случайная величина, принимающая значения 0", 1", 2",... (и» 2) с положительными вероятностями н Я Х (~-1)-1. г-о Доказать, что 3 не может быть представлена как сумма двух независимых случайных величин, каждая из которых имеет невыроясденное распределение. 3.224. Пусть случайная величина $ принимает ровно два значения. Докааать, что она не может быть представлена в виде суммы двух независимых случайных величин, каждая из которых имеет невырожденное распределение.
3.225. Случайная величина $ принимает значения — 1, 0 и 1 с вероятностями р„р, н р, соответственно (р,р,р,»0, р,+р,+ + р, 1). Какие условия нужно наложить на р„р, и р„чтобы распределение 3 было представимо в виде свертки двух одинаковых распределений7 3.226. Пусть 3 и ц — независимые случайные величины, причем функция распределения $ строго возрастает. Доказать, что функция распределения суммы 3+ и также строго воарастает. 5 л, В. прохоров и ар. 65 3.227.
Пусть З и т) — независимые целочисленные случайные величины. Доказать, что Р(й+ т~У2 = 0) = Р(ьь = 0)Р(т~ = 0). 3.228. Вещественные числа ае ..., а„называются рационально независимыжи, если пи одно из них не представимо в виде линейной комбинации остальных с рациональными коэффициентами. Пусть а„..., а„— рационально независимые числа, $„..., $„— независимые случайные величины, принимающие целые значения. Доказать, что для любых вещественных Ьо ..., Ь Р ~ аД;=0 (Р ~з~ ЬДз=О . 3.229.
Пусть $о ..., $„— неаависимые целочисленные случайныо величины, а„..., а„— рационально независимые числа. Доказать, что зирР~ ~, аД;=х =ПзнрРЯ;=х). х таз / 1=-1 х; 3.230. Пусть $ — целочисленная случайная величина. Положим У Я) = ~~З„( Р $ = З) — Р ($ = 1 + 1) ). а) Доказать, что У($)(2, б) пусть $ н ц — незавнскмые случайные величины.
Доказать, что 'г(ч+ т|) ( щ1п (У($), У(д) ). з 6. Неравенства 3.231. Пусть $ — неотрицательная случайная величина с конечным математическим ожиданием. Доказать, что ~чЗ~ Р ($ ) и) ( ЕЗ 1 + ~ Р ($ ) п). ь=1 ь=з 3.232. Пусть $ — случайная величина с конечной дисперсией. Доказать, что !тй — Е~! ( Ф2Щ (тз — медиана $). 3.233.
Пусть 3 — случайная величина с конечным математическим ожиданием. Доказать, что для лзобого е > О Р($ ~ е) ~ Е щах (О, з)/е. 3.234. Пусть С вЂ” неотрицательная случайная величина, Ееьь( Ь ) О, Доказать, что для любого е ) 0 Р($ ~ е) ~ Ее"Че", 3.235. Пусть $ — случайная величина, /(х) — неотрицательная неубывающая функция. Доказать, что для любого вещественного с Р(с - с) ~ Е/(е)//(с).
3.236. Пусть $ — случайная величина, /(х) — полоясительная, не возрастающая при х~ О функция. Доказать, что для любого а> О Р(е ~ а) ( Е/(е) //(а). 3.237. Пусть е — случайная величина с конечным математнчесспм ожиданием и конечной дисперсией. Доказать, что для любого х)О Р(е< — х)( — ", РД)х)к 3.238 (неравенство Гаусса), Случайная величина е имеет симметричное одновершинпое распределение. Доказать, что для любого з~О 9 зз' 3.239. Пусть $ — случайная величина, имеющая одновершинное распределение с вершиной в точке х, н конечную дисперсию.
11оложим т' = 0е + (х, — Ез) '. Доказать, что для люоого е > О Р(~$ — !) )~ —,. 4 3.240. Пусть выполнены условия предыдущей задачи. Положим Е4 — х 1/5"; Доказать, что для любого е ) (з~ справедливо неравенство Р(($ — Ес ) ) е $/$Ц) ( 3.241, Пусть ф, и Е,— независимые одинаково распределенные случайные величины.
Доказать, что; а) — Р(Ц вЂ” т";,~>е)~(Р(Е, — $,~)е), б) — Р(!$, — т$ !) е)(Р(1$, — $,!) е). 3.242. Доказать, что для любого вещественного а Р(1$, — $,! ~~ е) < 2Р(1$~ — а)> е/2). 3,243. Пусть $ н ц — независимые случайные величины, причем т1 имеет нулевузо медиану. Доказать, что для любого а: ьч 67 а) Р(ь+ т)~а))~ — Р(ьйпа), б) Р((ь Ф т)!~а))~ — Р(!$!)а). 3.244. Пусть ф» и $» — независимые случайные величины.
Доказать, что для любых неотрицательных х, и х, Р(!$»! с=х»)Р(!пь»! ~х») Р(!$» + $»!» х»+ х»). 3.245. Пусть $о .. и $„— случайные величины с конечными математическими ожиданиями, т!. = $, +... + $„. Доказать, что для любого е)О и ~ и!$А! Р ( шах ! т!А ! ~ е) ( " ' А»сАсп 3.246. Пусть $о .. и $ — независимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и конечными абсолютными моментами порядка й~1, т!„$»+... + $„. Доказать, что для любого е)О ет!А $» шах !т!»(,й» с~ » ~А 1»с»сп ) З" (при й — 2 — неравенство Колмогорова).
3.247. Пусть ~„.. и $„— независимые случайные величины о симметричными распределениями, т! 4»+...+ф . Доказать, что для любого вещественного а Р( шах т»А - а)(2Р(т!,») а). ~»САСп 3.248 (неравенства Леви). Пусть $„ ..и Е„ — независимые случайные величины, т!„~»+... + $„. Доказать, что для любого е ) О: а) Р (шах (т!А — ш (т!», — т»„)) )е)»(2Р (т!„)с); '»АСп б) Р (шах !т!А — т(т»А — т!и)!~~с) »(2Р(!т! !~~с) '»АСп (т (. ) — медиана) . 3.249. Пусть 5„.. и $ — независимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и конечными дисперсиями, т! = $, +...
+ $„. Доказать, что для любого е =- .О Р ( шах т!», з)( »2Р (т!, ) е — г' 20т~„). 1»САСп 3.250. Пусть $„.. и $. — независимые случайные величины с симметричными распределениями н ионечнымн абсолютными моментами порядка гп1, т)„$»+...+$». Доказать, что Е( шах !»)А!') (2Е)т)п!'. 1САСп 3.251. Пусть $„..., ф„— независимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и конечными абсолютными се моментами порядка г» т, тт„$т+... +$.. Доказать, что Е ( шах 1т)ь~") (2" ыЕ|т) !'.
3.252. Функция ф(х) четна, неотрицательна и не возрастает при х» О, $ и тт — случайные величины. Доказать, что если при любом а»О Р(15! ~а)» Р(!т)! ~а), то Еф($)» Еф(ц) и наоборот. 5 7. Расстоиния в пространстве вероятностных распределений 3.253. Доказать неравенство треугольника для расстояния по вариации, то есть доказать, что для любых трех вероятностных распределений Р, О и Р справедливо неравенство Уаг(Р, О) ~ Уаг(Р, Р)+ Уаг(Р, О) . Доказать неравенство треугольника для равномерного расстояния зпр ~ Р (х) — 6 (х) ~. х 3.254.
Пусть Р и Π— абсолютно непрерывные вероятностные распределения, р(х) и д(х) — соответствующие плотности распределения. Доказать, что Ю т'аг (Р, О) = — ) ~ р (х) — д (х) ~ ттх. Г 3.255. Пусть 5 и тт — случайные величины с функциями распре деления Р(х) и 6(х) соответственно. Доказать, что апр! Р(х) — т'(х) ! ~~Р($~тт).
х 3.256. Найти равномерное расстояние между двумя нормальнымн распределениями с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями о, 'и о',. 3.257. Равномерное расстояние между распределениями случайных величин 5 и т) равно р. Найти равномерное расстояние между распределениями случайных величин с$ и ~ц (с т" О). 3.258. Найти равномерное расстояние между двумя равномерными распределениями с одинаковыми математическими ожиданиями в дисперсиями о, и от.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
