А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

4.50. Характеристическая функция с(1) называется саморазложимой, если для любого 0< с< 1 существует характеристическая функция ).(1), такая, что 1(С)=1(с1)1,(1). Доказать, что самораз- ложпмая характеристическая функция нигде не обращается в пуль. 4.51. Пусть Р(х) — функция раопределения с характеристической функцией 7'(Г). Докааать, что для любого 1)0 1 — Ве 7' (1) ) —, ) хада (х). -зп 4.52. Пусть $ и ц — независимые случайные величины с функциями распределения Р(х) и С(з) и характеристическими функциями 1(Г) и 8(1) соответственно. Найти характеристическую функцию ~р (г) случайной величины $ ° ц. 4.53. Пусть г"'(х) — функция распределения с характеристической функцией ~р(1). Найти и-мернуто функцию распределения С (хо ..., з ), соответствующую характеристической функции ф(1„..., 1„)=(р(1,+...

+Г„). 4.54. Пусть $ — случайная величина, имеющая распределение Коши. Могут ли существовать две независимые случайные величины $, и $ь такие, что $ =$, + $, и одна из них имеет равномерное на некотором отрезке распределение? 4.55. Пусть $, ц и ь — случайные величины, причем ь не зависит от 5 и ц. Распределения случайных величин ~+ь и ц+~ совпадают. Можно ли утверждать, что распределения случайных величин Ь и ц совпадают? 4.56.

Пусть $, ц к ь — случайные величины, причем ь не зависит от $ н ц. Доказать, что если распределения случайных величин в+сь и ц+ сь совпадают при любом с>0, то совпадают распределения И и т~. 4.57. Пусть $ и ц — независимые одинаково распределенные симметричные случайные величины, причем величины $ — ц и 1з! — 1ц, 'одинаково распределены. Найти распределение $. 4.58. Пусть Г(х) и С(х) — произвольные функции распределения, 1(1) и л(1) — соответствующие характеристические функции.

Доказать, что ~ ? (1) ЫС (1) = ~ 4' (и) Ыр (и). 4.59. Пусть ~р(г) — характеристическая функция. Доказать, что функция с 1(Е) = — ~ юр(и) с(и о также является характеристической функцией. В7 4.60. Пусть ~р(г) — характеристическая функция. Доказать, что при любом р ~0 функция з ~(й) — ~<р(и)и~ 'сь « является характеристической функцией.

4.6$. Пусть 6(С) — характеристическая функция и р — произвольное положительное число. Доказать, что функция дг) е«"'о " является характеристической функцией. 4.62. Пусть последовательность функций распределения Г,(х), Г,(х), ... равномерно на всей прямой сходится к функции распределения Г(х). Можно ли утверждать, что соответствующая последовательность характеристических функций ~ (г), )з(1), ... равномерно на всей прямой сходится к характеристической функции распределения Гр 4.63. Пусть Г,(х), Г,(х), ... — последовательность функций распределения, ~,(1), (,(1), ...

— соответствующая последовательность характеристических функций. Доказать, что если ! пп ~„(8)= 1 и для всех — е ~ « ~ е, где е >О, то Г„(х) слабо сходится при як вырожденному в нуле распределению. 4.64. Пусть Г,(х), Г,(х), ... и С,(х), С,(х), ...— две последовательности функций распределения и пусть существует функция распределения Г(х), такая, что обе последовательности Г и Г« « С„ слабо сходятся к Г при и - . Доказать, что последовательность С„ слабо сходится к вырожденному в нуле распределению. 4.65. Доказать, что последовательность функций распределения Г~(а), Г«(а), ...

слабо сходится к некоторой функции распределения Г(х) тогда и только тогда, когда соответствующая яоследовательность характеристических функций (,(Г), (,(Г), ... сходится к некоторой функции )(1) и зта сходимость равномерна в некоторой окрестности нуля. 4.66. Пусть Г(а), Г,(х), Г,(х), ... — последовательность функций распределения, ~(1), ),(1), (,(1), ...— соответствующая последовательность характеристических функций. Доказать, что если для любых а ( б Пш )1„ЯИ )ЩЮ, «О а то Г„слабо сходится к Г. 4.67. Пусть ((г) — характеристическая функция и для бесконечно возрастающей последовательности Ь„й,, ...

функцаа 7'(1)д(й„г) также являются характеристическими. Доказать, что в атом случае л(1) — характеристическая функция. 4.68. Пусть Г (х) и 6 (х) — функции распределения, Дг) и л(~) — соответствующие характеристические функции, Доказать, что зпр1((г) — я (г)1<:2Чаг(Р, 6). 4.69. Пусть У,(й), ~,'(г)..., — последовательность характеристических функций. Доказать, что следующие два условия эквивалентны: а) произведения л лх у'(г) сходятся при п- равномерно на каждом компактном подмножестве прямой, б) произведения сходятся при и- к ненулевому пределу на некотором множестве положительной лебеговой меры.

й 3. Связь свойств характеристических функций со свойствамн расиределеннй. Неравенства 4.70. Доказать, что характеристическая функция г(~) соответствует решетчатому распределению тогда и только тогда, когда существует вещественное число г. чь О, такое, что 1((г,)1= 1. 4.7).

Пусть ((г) — характеристическая функция. Доказать, что если найдутся К, и Еь такие, что Й,/Е, иррационально и 1) (й) 1 = -1((е,)1=1, то 1Д~)1 $. 4.72. Пусть характеристическая функция )(1) равна единице в некоторой точке ~, > О, Доказать, что ~, является периодом функции ) (г). 4.73. Привести пример решетчатого распределения, характеристическая функция которого непериодична. 4.74. Пусть решетчатое распределение сосредоточено па некотором подмножестве множества точек ал, 4=О, ~(, ~2, ... Доказать, что характеристическая функция такого распределения пернодична. 4.75. Доказать, что характеристическая функция любого решетчатого распределения представима в виде ео'~(г), где ~(г) — периодическая функция, а а — вещественное число.

4.76. Может ли вещественная часть характеристической функции быть периодической функцией, а мнимая — нет7 89 4.77. Пусть и(1) — вещественная часть некоторой характеристической функции, а п(1) — мнимая часть некоторой другой характеристической функции. Будет ли, вообще говоря, функция и(1)+ + 1о(1) характеристической? 4.78.

Пусть 1(г) — характеристическая функция чисто дискретного распределения. Доказать, что 1нп зпр ) 1(г) ) = 1. И 4.79. Доказать, что плотность распределения, отвечающая абсолютно интегрируемой характеристической функции, непрерывна. 4.86. Доказать, что дифференцируемая в нуле характеристяческая функция непрерывно днфференцируема на всей прямой. 4.81.

Доказать, что функция (1 4з ~1) <1 О, не может быть характеристической функцией. 4.82. Пусть $ — случайная величина с характеристической функцией 1(г). Доказать, что если для некоторого целого положительного и Е!$)" <, то 1(1) п раз дифференцируема и )!4 4 (1) )< Е)~)п 4,83. Доказать, что характеристическая функция случайной величины $ с распределением Р(~=2й)=Р(з= — 2й)= —,', й=2,8, й' 1п й' дифференцируема в нуле, но ЬЗ не существует.

4.84. Пусть $ — случайная величина с характеристической функцией 1(1) и с конечным математическим ожиданием. Доказать, что Е~в! = 1 Г Р 4.85. При каких вещественных 44 функция 11 — !1!", !г)<1, О, ~г)~1 явлнется характеристической, а при каких — нету 4 4.86, Является ли функция е ' характеристической функцией? 4.87. Пусть 1($) — характеристическая функция случайной величины, имеющей конечную дисперсию. Доказать, что при достаточно малом в)0 функция ~1(4)) не возрастает при О<1<в и не убывает при — е < т < О. 4.88.

Пусть ~(с) — характеристическая функция симметричного распределения, ас — соответствующий момент порядка й. Доказать, что: 1>оо-с> (с>, . уме> (0 — )ссо> (о> ( — 1)о+' а) 1пв — = ( — 1)оасо, 'б) П>п 2 асоос с о с- о со 4.89, Пусть )с(с) и >,(с) — характеристические функции симметричных распределений и для некоторых положительных схс и схс в нокоторой окрестности нуля выполняется равенство >,с(с) атос(1) = е Доказать, что распределения, отвечающие характеристическим функциям )с(с) и >с(с) имеют конечные дисперсии.

4.90. Пусть выполнены условия предыдущей задачи. Доказать, что распределения, отвечающие характеристическим функциям Сс(с) и >с(с), имеют моменты всех порядков. 4.91. Выразить первые четыре семиинзариапта случайной величины через математическое он идание и центральные моменты. 4.92. Доказать, что при линейном преобразовании $' = ос+ Ь случайной величины $ ее семипнварнанты иаменяются по закону х, = ахс + Ь, х„= а"х„(и ) 1). 4.93. Доказать, что для любой случайной величины ф и любого и)0 Р ( ) $ ( ) 2/и) о.. — ) (1 — ср (Е)) с)с, -и где ср (г) — характеристическая функция $.

4.94. Пусть $ — случайная величина с характеристической функцией >'(1). Доказать, что если 1 — ~(г) = о(~г~'") при т - О, то Р(($()х)=о(л ") при л- 4.95. Пусть $ — случайная величина с вещественной характеристической функцией 1(с) и дисперсией о'. Доказать, что Ссоо У(1) ~1 — 2 .

4.96. Пусть з — случайная величина с характеристической функцИЕй >(1) И дИСПЕрСИЕй О'. ДОКаватЬ, ЧтО ЕСЛИ Го — НаИМЕНЬШИй положительный корень 1(1), то г, ~ 1/о. 4.97. Пусть 1(1) — характеристическая функция распределения, имеющего конечную дисперсию. Доказать, что существуют положительные постоянные с и е, такие, что ) ~(Е) ( с е прк !г1( е. 4.98. Пусть 1(г) — характеристическая функция случайной величины, имеющей конечное математическое ожидание. Доказать, что найдутся положительные постоянные с и е, такие, что 1)(Ф) 1> е-'" при !Й«е.

Характеристики

Список файлов книги