А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 15
Текст из файла (страница 15)
2 т 3.259. Указать распределение, равноудаленное в равномерной метрике от двух нормальных распределений с математическими ожиданиями а, н а, и дисперсиями от и о, соответственно. 69 3.260. Пусть Р,(х) и Р,(х) — произвольные функции распределения. Указать функцию распределения Р(х), равноудаленную в равномерной метрике от функций распределения Р,(х) и Р,(х). 3.261.
Найти равномерное на отрезке распределение, равноудаленное в равномерной метрике от двух равномерных распределений на отрезках ( — а, а) и [ — Ь, Ь) соответственно. 3.262. Доказать неравенство треугольника для расстояния Леви. 3.263. Найти расстояние Леви между двумя равномерными распределениями с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями о', и о,(о,(оз). 3,264. Пусть з и ц — случайные величины с функциями распределения Р(х) и 6(х) соответственно. Доказать, что если р(!$ — ц! ~ е)~ з для некоторого положительвого е ) О, то Е(Г, 6) ~е.
3.265. Пусть $ и ц — случайные величины с вероятностными распределениями г и О соответственно. Доказать, что Уаг(Р, О) ~ Р Д чь ц) . 3.266. Доказать, что для любых функций распределения Р(х) и С (х) справедливы неравенства Ь(Р,С)« .зпр(Р(х) — 6(х)) ((1+ р)Х (Р,С), х где р = зпрС'(х), если С(х) дифферонцируема, и () = в противх ном случае.
3.267. Доказать, что для лзобых двух функций распределения Г(х) и 6(х) 7,з(Р,С)( ~ )Р(х) — 6(х))дх. 3.268. Пусть Р,(х) и Г,(х) — две функции распределения с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями о, п о, соответственно. Доказать, что 1(Ро Р,) ~ 2(2 шах(о„о,))"'. 3.269.
Пусть Р(х) — функция распределения с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, Ф(х) — стандартная нормальная функция распределения. Доказать, что зпр ( Р (х) — Ф (х) ( ( 0,5416. х 3.270. Доказать, что для любых трех функций распределения Р,(х), Р,(х) и 6(х) справедливо неравенство зпр ( Рд» 6 (х) — Р, е 6 (х) ( ( зпр ( Р, (х) — Р, (х) (.
то 3,271. Доказать, что для л>оГ>ых трех вероятностп>,>к распределен>гй Р„ Р, и О справедливо неравенство Чаг(Р, «О, Р. » О) ~ Чаг(ро Р,). 3,272. Доказать, что для л>обык трех функций распределения Е„ Е, в С справедливо неравенство Ь(Е>» С, Е, » 6) Ь(Г„Е,). 3.273. Пусть Е>(х), ..., Е„(х), С,(х), ..., 6„(х) — произвольные функции распределения. Доказать, что зир ( Е>»... Р„(х) — 6, «... » 6„(х) ! ~ (~ (знр ) Е> (х) — С; (х) !).
х 1=1 '> х 3.27»ь Доказать, что для любых вероятностных распределений Р,(х), ..., Р„(х), О,(х), ..., О„(х) » Чаг(Р>»... » Р, О, »...«О„)(~ 'Чаг(ро О,), 3.275. Доказать, что для любых функций распределения Е>(х), ..., Е„(х), 61(х),..., 6„(х) Л (Е1» ... «Е„, 61»... «С„) ( ~ Е (Еь 61) 3.276. Пусть з и д — случайные величины с функциями распределения Е(х) и С(х) соответственно, ь — случайная величина, не зависящая от 3 и ц и имеющая функцию распределения Н(х). Доказать, что зпр ) Е (х) — 6 (х) / ( зпр ( Е «Н (х) — 6 «Н (х) ) + Р (~ ~ О). 3.277.
Доказать, что в условиях предыдущей задачи Чаг(р, О) ~ Чаг(Р «Н, О «Н)+ Р(ь Ф О) . й 8. Многомерные распределения 3.278. Каким условиям должны удовлетворять числа а, Ь и с дзя того, чтобы при подходящем выборе пормирующего множителя А функция А ехр (- (ах'+ 2Ьх + су') ) являлась плотностью распределения вероятностей на плоскости? 3.279. Пусть $ — случайный вектор, принимающий значения в » Доказать, что 1ЕЦ1~ < Е~ф!!.
71 3.280. Показать, что функция )1 прн х+ у~~ О, (О при х+ у(0 является непрерывной справа, возрастающей по каждой переменнсй, но не является функцией распределения в %'. Показать то же са мое для функции <'(х, у) (х+ у] (целой части х+ у). 3.281. Случайные величины $о 3м $, и 8, независимы. Доказать, что случайные векторы ц ($о $,) и ь (~,, $,) независимы.
Верно ли обратное7 3.282. Привести пример разрывной двумерной плотности распределения вероятностей, у которой обе маргинальные плотности непрерывны. 3.283. Найти и сравнить маргинальные распределения равномерного распределения в единичном квадрате с равномерным распределением на его диагонали. 3.284. Случайный вектор ($, ц) равномерно распределен в квадрате со стороной, равной единице, и диагоналями, совпадающими с осями координат. Найти козффициент корреляции величин $ и ц. 3.285.
Пусть (З, ц) — случайный вектор, распределение которого сосредоточено на некоторой прямой. Найти коэффициент корреляции величин $ и т) 3.28$. Каждая из случайных величин $, гь ь имеет нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию, причем выполнено соотношение аз+ Ьц + сь -0 (а, Ь и с — вещественные числа, аЬсте О). Найти ковариационную матрицу случайного вектора (з, ц, ~) и доказать, что а' + Ь' ~- с' ~ 2 (а'Ь' + а'с' + Ь'с'). 3.287. Случайные векторы $ и ц независимы и каждый из яих имеет равномерное распределение в круге единичного радиуса с центром в нуле.
Найти плотность распределения суммы $ + 9. 3.288. Пусть 3 (~о ..., з„) в ц (цо ..., т)„) — независимые случайные векторы, принимающие значения в Я". Доказать, что для любых х,реп%" случайные величины <$, х> и <9, р> (<, >— скалярное произведение) независимы. 3.289. Пусть $н ~ь ц„ц,— случайные векторы, принимающие значения в Я" причем и $о и $, не зависят от ц, и ц,.
Будут ли независимыми случайные величины <фо ~,> и <н„н,>7 3,290. Случайный вектор $ ($„$,) принимает значения (О, 0), (О, 1), (1, 0), (1, 1), (О, 2), (1, 2), каждое с вероятностью 1/6. Найти распределение случайной величины <$, е?, где е — вектор с координатами (1, 1). 3.291. Случайный вектор 3 = Яо $,) имеет равномерное распределение в треугольнике с вершинами в точках ( — 1, 0), (О, 1)„ (1, 0). 72 Найти РаспРеделение слУчайной величины <$, е), где е — вектоР о координатами (1/2, 1/2). 3.292. Пусть 0 ~ а ( 1 и )(х, у) ((1+ах)(1+ау) — а)е-"-"- " прп х)0, у>0 и у(х, у) 0 при остальных х и у. Доказать, что )(х, у) — двумерная плотность распределения вероятностей, и найти ее маргинальные распределения.
3.293. Коэффициент корреляции случайных величин 3 и ц равен едппнце. Может ли случайный вектор Я, ц) иметь плотность распределенняу 3.294. Пусть $ — случайная величина с функцией распределения Г(х). Найти функцию распределения Р»(х, у) случайного вектора Я, ~ь). 3.295. Случайная величина $ имеет плотность распределения. Будет ли иметь плотность распределения случайный вектор (ь, 5', ", Г)' 3.296. Пусть 3 — случайная величина с функцией распределения Г(х).
Найти функцию распределения г»(х,у) случайного вектора (» ~З~) 3.297. Пусть $ь ..., 3„— независимые случайные величины с одипаковок функцией распределения г'(х). Положим $ ш1п (ьо..., ь„) в т1 =шах($о ..., 3 ). Найти функцию распределения случайного вектора (3, т)). 3.298. Пусть $ =(Зь ..., $„) — случайный вектор, принимающий апачеиия в Р", А — неслучайная матрица нз вз строк и и столбцов. Доказать, что Е(А$) = А (Е$).
3.299. Случайный вектор з принимает значения в Ы" и имеет дискретное распределение. Доказать, что в Ы найдется вектор е такой, что распределение $ однозначно восстанавливается по распределению случайной величины <$, е). 3.300. Вероятностное распределение в »»' называется сферически симметричным, если оно инвариантно относительно поворотов вокруг нуля. Пусть случайные векторы С и ц независимы и каждый из них имеет сферически симметричное распределение. Доказать, что их сумма э+ ц также имеет сферически симметричное распределение. 3.301.
Пусть случайный вектор ф ($о ..., ~„) имеет сферически симметричное распределение. Доказать, что случайные величины ьо ..., Ч„ попарно некоррелировакы. 3.302. Доказать, что двумерное распределение, сосредоточенное в и точках, полностью определяется своими проекциями на п + 1 попарно неколлинеарных векторов. 3.303. Привести пример независимых случайных векторов $ и ц, принимающих значения в Ж" и таких, что при любом аы Ж" 3+а ЧЗ и 0+а имеют распределениа, не являющиеся сферическн симметричными, но распределение их суммы $+ ц сферически симметрично.
3.304. Пусть ~р,(х, у) и аь(х, у) — две нормальные двумерные плотности распределения с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями, но разными ковариационными матрицами. Положим ф(х, у) = —, (гр,(х, у) + <р,(х, у)). Является ли плотность распределения 0(х, у) нормальнойр 3.305 (продолжение). Являются ли нормальными маргинальные распределения у распределения с плотностью 0(х, у)? 3.306.
Пусть и(х) — нечетная непрерывная функция на прямой, равная пулю впе интервала 1 — 1, 1], причем (и(х) ) ( — —. Дока- ~/Зле зать, что функция х~ее~ 1(х, у) — — —.е + и(х) и(у) $ есть двумерная плотность распределения, которое не является нормальным„но его маргинальные распределения нормальны. 3.307. Пусть а =До ..., $„) — случайный вектор, принимающий значения в Ж и имеющий нормальное распределение с матрицей ковариаций А-~ ). Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины ($, е), где е — произвольный единичный вектор в Ы . 3.308.
Случайная величина $ имеет нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Найти распределение случайного вектора т~ = (1п !$1, з1кп $). 3.309. Доказать, что п-мерный случайный вектор $ =(~о ..., ф„) имеет нормальное распределение тогда и только тогда, когда для любого набора п вещественных чисел с„..., с„линейная комбинация имеет нормальное распределение в Р~. 3.310. Доказать, что если случайный вектор в =($о ..., а.) распределен нормально с нулевым математическим ожиданием и еди- 74 явчпой ковариационкой матрицей, то случайная точка, представляющая собой конец вектора $/Ц1, раввомерно распределена на едипичпой сфере в ')?". Доказать, что то же самое справедливо для любого случаикого вектора, имеющего сферически симметричное распределение. 3.311.
Пусть Ео $ь зз — независимые одинаково распределенные случапные величины, Ее '=?(Г), 1=1,2,3, — со<1<со. Найти Ес((з 3.312. Доказать, что для того чтобы квадратная матрица размера и Х и была ковариационной матрицей некоторого я-мерного вероятпостного распределения, необходимо и достаточно, чтобы она была симметрична и неотрицателько определена. 3.313. Пусть $ и ц — случайпые величины с козффициектом корреляции р. Доказать справедливость следунпцего двумерного аналога неравенства Чебыщева: Р 0~ — Ех (=веУО~ или (ц — Ед!) з)Г 0~) ( 1, (1+ ~~ — р').
е 3.314. Пусть матрица, составленная из случайных величин, имеющих одинаковое конечное математическое ояеидание. Обозначим ~А~ определитель матрицы А. Доказать, что если строки матрицы независимы, то есть случайкые векторы ~~ = (2и, . $~~), ~а (~до,„2~~) независимы, то математическое ожидание определителя равно нулю: Е~Л! = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
