А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Существует теснав связь между моментами вероятностного распределения и производными соответствующей характеристической функция. Так, если Е,'й)" ( ео (й ем 1), то характеристическан функция )(!) случайной величины 1 Е раз дкфференцируема и !за В своюо очередь, существававие производной — ! (г) влечет за собой 1!=о сущестнование абсолютнага момента порядка 2дл Е)2)м ~ оа, Пусть Е)$(» ( еа.
Если !р(!) — характеристическая функцил случайной величины $, то величина бь и„= — ( — !)" — а1и р(!) беа 1!=0 называется еемкпнеарлпнтом случайной величины $ порлдка 1н В частности, л! = ей, и! нй, ке = е(с — ей)'. существуют соатнощеннп, свнзывающие между собой мамоиты и семиипвариапты. Преобразованием Лапласа неотрицательной случайной величины 2 пазывается функция тр(е) = Ее (если р(х) — функции распределении й, то !р (е) = ~ е л бр (х)). о Распределение однозначна определяется своим преобразованием Лапласа. Прп сложении независимых случайных величин соответствуюп!ие преобразования Лапласа перемножаютсв. 1. Пропзнодящпе функции й!.1.
Пусть $ — неотрицательная целочисленная случайная величина с производящей функцией !р(л). Найти производящие функции случайных вели шп Е+ п и лб (п — целое пеотрицательноо число). б А. и, ирахарае н по. 81 4.2. Найти распределения, которым соответствузот следующие производящие функции: а) 4 (1 + з)', б) р (1 — дх) ~, р, д ) О, р + д = 1; хз в) ем' "~, Х)0; г) (Р+ ог); д) з сиз; е) (1+ — 1п (1 — г)). 4.3. Найти распределение, отвечающее производящей функции /1~ 1 ф(з), если р~ ~ ~, я 1,2, ° ° ° 4.4. Доказать, что функция у(г)=(г! пе молгет быть производящей функцией вероятностного распределения. 4.5.
Пусть $ — случайная величина, принимающая целые неотрицательные значения, ~р (з) — ее производящая функция. Доказать, что Р Я 0) 1ип ~р (аь), '~ А=1 где (а„~<1, а,- О при й- 46. Пусть ь — случайная величина, принимаюгцая целые пеотрицательные аначения, ~р(з) — ее производящая функция. Доказать, что Р($ = 0) = 0 тогда и только тогда, когда сходится ряд ;~ рф. 4.7. При каких значениях параметров дробно-линейная функа+ Ьз ция ~р(с) = — является производящей функцией вероятпостс + ~й ного распределения? 4.8.
Пусть $ и ц — случайпые величины, причем $ принимает значения 0 н 1 с вероятностями 1/2 каждое, а ц — значения О, 1, 2, 3 с вероятностями 1/8, 1/4, 1/2 и 1/8 соответственно. Доказать, что не существует случайной величины Ь, не зависящей от $ и такой, что $+ ь = 0. 4.9. Пусть $ и ц — случайные величины, причем с принимает значения О, 1, 2 с вероятностями 1/2, 1/4, 1/4, а ц — аначения О, 0 2, 3, 4 с вероятностями 6/10, 1/10, 1/10, 1/10, 1/10 соответственно. Доказать, что не существует случайной величины Ь, не зависящей от $ и такой, что 3 + ь = ц. 4.10.
Пусть й и ц — независимые случайные величины, причем 2+ ц принимает значения О, 1. 2 с вероятностями 1/3 каждое. Доказать, что одна из величин З и ц имеет вырожденное распределение. 4 11. Пусть г (л), Р,(х), Р,(к), ... — последовательность функций распределения неотрицательных целочисленных случайных веВ2 дичин, ~р(з), <р,(з), ср,(з), ...
— соответствующие им производящие функции. Доказать, что если ср„(з) ~р(г) при и-, то Р„(х)- - Р(х) равномерно по л. 4Л2. Пусть $о $„... — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величии, Р(х) — функция распределения Зо и пусть ч — положительная целочисленная случайная величина, не зависящая от $о $„... и имеющая производящую функцию ~р(г). Доказать, что функция распределения случайной величины шах Цо ..., ф,) равна <р(Р(х) ); 4 2. Характеристические функции и их основные свойства 4ЛЗ. Пусть )(1) — характеристическая функция случайной величины $, а и Ь вЂ” вещественные числа. Найти характеристическую функцию случайной величины а$ + Ь.
4Л4. Пусть )(1) — характеристическая функция случайной величины $. Найти характеристическую функцию случайной величины 4.15. Доказать, что характеристическая функция четна тогда и только тогда, когда соответствующая функция распределения Р(х) удовлетворяет соотношению Р(х) = 1 — Г( — х — О). 4.16. Доказать, что характеристпческя функция вещественна тогда и только тогда, когда она четна. 4Л7. Доказать, что четная характеристическая функция у(1) представима в виде ~р(1) = ) созтхдГ(х), где Е(х) — соответствующая функция распределения. 4Л8.
Пусть з и ц — независимые, одинаково распределенные случайные величины с характеристической функцией 1(т), Найти характеристическую функцию случайной величины ф — т~, 4Л9. Доказать, что следующие функции не могут быть характеристическими: а) е '"; б) а, соз1+... + а. соз пт+ Ь, з1п1+... + Ь„з1п лт, Ь, ... Ь„~ 0, где все а, и Ь~ — вещественные числа.
4.20. Доказать, что характеристическая функция любого распределения равномерно непрерывна на всей вещественной прямой. 4.21. Является ли функция соз 1' характеристической? 4.22. На вероятностном пространстве (1з, .Ф, Р), представляющем собой отрезок [О, 1) с о-алгеброй борелевских подмножеств в мерой Лебега, определена случайная величина $(го).
Найти ее характеристическую функцию, если: ба зз (2ю, 0 (в(» 1/2, а) $(о>) ~ ' ' б) $(ю) 1пю, Ц(0) = 0; (2ю — 1, 1/2 ( е ~ 1; 1, 0(ю(1/3, в) ~ (в) О, 1!3 о) ( 2~3„ 1, 2(3я:ю(1. 4.23. Найти характеристическую функцию, отвечающую плотно- 1 сти распределения †, — со ( х ( оо.
ксЬх' 4.24. Найти характеристические функции следующих распреде- лений: а) равномерного распределения на отрезке [а, Ь); б) биномиаль- ного распределения; в) распределения Пуассона; г) распределения Коши, "д) показательного распределения; е) нормального распределе- ния; ж) геометрического распределения; з) отрицательного биноми- ального распределения. 4.25. Характеристическая функция суммы двух случайных вели- чин равна произведению характеристических функций слагаемых. Можно ли утверждать, что слагаемые независимыг' 4.26. Пусть $ =($о ..., $„) — случайный вектор в %", ~(1о ..., 1.) — его характеристическая функция, ~,($), ..., )„(1)— характеристические функции случайных величин фо ..., $ .
Дока- зать, что для того, чтобы $о ..., $ были независимы, необходимо и достаточно, чтобы для любого набора вещественных 1ь ..., 1 вы- полнялось равенство Пгг " 1.) - П А(1.) ° 4.27. Пусть $ (зо ..., $ ) — случайный вектор в Р", 1(1о ..., 8 ) — его характеристическая функция, 1,(1), ..., ~„(1)— характеристические функции случайных величин ~о ..., $ . Показать, что из равенства для любого вещественного 1 не следует независимость случайных величин $о .", Ь ° 4 П ~ (1) 1,(1) ... — характеристические функции оо аь ...— неотрицательные числа, такие, что а,+а,+...
1. Доказать, что функция б (1) ~ оА (1) 1 1 является характеристической функцией. 4 20. Пусть функция 1(1, а), 1, а и тт', удовлетворяет следу. ющим условиям: 04 а) при каждом фиксированном а /(1, а) является характеристической функцией, б) при каждом фиксированном т Я1, н) измерима. Доказать, что для любой функции распределения Р(х) Ю н(1) ~ У(1, а)ог" (а) ОО характеристическая функция. 4.30. Пусть /(1) — произвольная характеристическая функция. Доказать, что функция 2/(2 — /(1)) — 1 также является характеристической.
4.31. Пусть Г(х) — функция распределения с характеристической функцией /(1). Доказать, что Ве /(1) является характеристической функцией, и найти соответствующую функцию распределения. 4.32. Пусть г (х) — функция распределения с характеристической функцией /(1). Доказать, что 1/(1)Р является характеристической функцией, и найти соответствующую функцию распределения.
4.33. Пусть $ и т) — независимые случайные величины, каждая из которых имеет несимметричное распределение. Может ли случайная величина $+ ц иметь симметричное распределение? 4.34. Пусть $ — случайная величина с характеристической функцией /(1) и пусть для некоторого а Р($ а)~1/2. Доказать, что /(г) не обращается в нуль нигде на вещественнои прямой. 4.35. Пусть $ — случайная величина с вещественной характеристической функцией 1(1). Докааать, что если Р(5=а))1/4 при некотором ат--О, то /(1) обращается в нуль бесконечное числораз.
4.36. Привести пример характеристической функции, обращающейся в нуль, но лишь конечное число раз. 4.37. Найти распределения, которым соответствуют следующие характеристические функции: а) соз1; б) соз'1; в) е '; г) е ~"; д) —; е) —.; ж) — ' г — и' г' з) е созт. 4.38. Пусть $„$м ... — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, т — случайная величина, не зависящая от $о $м ... и принимающая целые положительные аначения, р, Р(т й).
Пусть /(г) — характеристическая функция $,. Найти характеристическую функцию случайной величины $, +... + ~,. 4.39. Доказать, что функция является характеристической функцией. 4.40. Доказать, что любая четная непрерывная функция выпуклая при 1>0 и такая, что 0< 1(1)»1 и 1(0)=1, является характеристической функцией. 4.41. Существуют ли две различные характеристические функции, совпадающие на некотором отрезке, содержащем начало координат? 4.42.
Доказать, что при любом 0 < а < 1 функция 1 1 -1- ! с !и является характеристической функцией. 4.43. Пусть 1(1) — характеристическая функция непрерывного распределения. Доказать, что )с (с) ! < 1 при 1 зь О. 4 44. 'Пусть з — случайная величина с симметричным непрерывным распределением. Доказать, что характеристическая функция случайной величины псах(0, $) нигде не обращается в нуль.
Можно ли отказаться от условия непрерывности? 4.45. Пусть $„Ц„... — яезависимые одинаково распределенные целочисленные случайные величины, т!„= $с+... +$„. Доказать, что если 0 < Р($, делится на два) < 1, то 1нпР(т)„делится на два) = 1/2. 4.46. Пусть с(с) — произвольная характеристическая функция. Доказать, что для любого вещественного 'с справедливы неравенства: а) 1 — Кес(28) < 4(1 — Вес(1)); б) 1 — !1(21) !'< 4(1 — !1(1)/с); в) 1 — Вес(21)» 2(1 — (ВеС(1))'); г) 1 — !С(21) !< 2(1 — !С(1) !'); д) 1 — !~(21) !< 4(1 — !у(с) !). 4.47.
Доказать, что для любой характеристической функции с(1) и любого целого неотрицательного и справедливы неравенства а) 1 — Ве~(1)) — „(1 — КеУ(2"1)); б) 1 — )У(1)(з) — „(1 — !)(2"1)!'). йс.48. Доказать, что для любой характеристической функции 1(С) и лсобого целого неотрицательного и справедливы неравенства а) 1 — Ве 1(ис) < п (1 — (Ве С (1) ) ")» и'(1 — Ве ) (1) ); б) 1 — !((пс) !' < п(1 — !)(1) !'")< п'(1 — !((1) !'). 4.49. Пусть 1(1) — характеристическая функции, с и Ь вЂ” положительные постоянные. Доказать, что если (1(1) !к; с при !1! ~ Ь, то 1 2 )1(с))<1 — ',' с при !1!< Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
