А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 20
Текст из файла (страница 20)
4.150. Существуют ли невырол~денные случайные величины Ео. Е,, г)„ т), такие, что $, не зависит от Ен т), не зависит от Е~';<Ет)~(оо; 1 1, 2, но Е($,+$,)'>Е(ц,+т),)'7 4.151. Пусть )(1) — характеристическая функция, у которой существует производная порядка 2и (и ~ 0). Доказать, что функция )о" > (()/((2'о (О) является характеристической функцией вероятностного распределения. 4Л52.
Пусть )(1) — характеристическая функция, у которой всюду на вещественной прямой существует производная порядка 2и — 1, Доказать, что распределение, отвечающее характеристической функции 7(г) имеет конечный момент порядка 2п тогда и только тогда, когда существует е ) О, такое, что функция ((уа-1) (Ф) ((уз-1) (0) е ограничена при 0 ~ (() ( в. 4Л53. Доказать, что функция ((Г), равная 1 — — при !1!~ 2а (с! (а > 0) и периодическая с периодом 4а, является характеристической функцией.
4.154. Доказать, что функция 1(Г), равная 1 — — при !с! - а ! з! (а>0) и периодическая с периодом 2а, является характеристической функцией. 4.155. Привести пример двух различных характеристических функций <р(1) и ф(1), таких, что ~р'(1) = ф'(Г) . 4Л56. На тележку, стоящую на абсолютно твердой, гладкой и ровной поверхности действуют постоянно во времени две силы: слева Г, и справа Рь величины которых являются случайвымн величинами„распределенными равномерно ва отрезках [О, а,! и [О, а,] соответственно.
Можно ли считать, что силы действуют независимо, если путь, пройденный телеяской за время Г, есть случайная величина, имеющая равномерное распределение на отрезке аС аз 1 — — — где лг — масса тележки7 Путь вправо считается 2 1 2т' 2т ~' йоложительным, влево — отрицательным. 4Л57. Пусть выполнены условия предыдущей задачи, но кроме сил Г, и с, на телезкку действует еще одна сила Рм величина ноторой есть случайная величина с неизвестным распределением. Можно ли считать, что силы Кь Р, и Г, действуют независимо) 4Л58. Пусть $ — случайная величина с симметричным распределением. Положим при ($)(с, (О при ($)>с, с>0.
Обозначим 7(1) и д(1) — характеристические функции соответственно с и и. Доказать, что найдется е > О, такое, что 1(1) -- =б(г) при !1!~е„ 4Л 59. Пусть $ — случайная величина с характеристической функцией 1(1), Е$ =О, Щ = о', Е!$!'= р. Доказать, что существует абсолютная (не зависящая ни от чего) постоянная К, такая, что !)(1)!(ехр~ — с (1 — К б, )1!)~ для всех вещественных 4.160.
Пусть т, $ь $м ... — неаависимые случайные величины, причем $о $ь ... одинаково распределены, а ч имеет распределение Пуассона с параметром Х. Доказать, что если Р'(х) — функция распределения $ь то характеристическая функция случайной вели- 100 чины $, +... + $, равна ,ьр(А ! Оо' — Огк(,ф 4Л6!. Пусть Г(х), Е,(х), Г,(х), ...— последовательность функций распределения, ((!), ),(г), )',(!), ... — соответствующая последовательность характеристических функций. Доказать, что если Р„ сходится к Р по вариации при и-, то !„сходится к ! равно мерно на всей прямой.
4Л62. Пусть $ и ц — случайные величины с характеристиче» сними функциями !'(!) и 6(Г) соответственно. Доказать, что внр)~(1) — д(К))~ 2Р($чьт!). 4Л63. Пусть в — случайная величина с нулевым математическим ожиданием, дисперсией о' и характеристической функцией 1(г). Положим ! в при )в!(с, 10 при ($!)с, с)0. Обозначим в(!) характеристическую функцию т!. Доказать, что зпр! 7(!) — 6(!) ! ~ —, ° с 4Л64. Пусть $ — случайная величина с характеристической функцией !(!).
Степенью рассеивания б~ случайной величины называется величина — !и — !, ди. " ! ! (и) ! ) !+и~ Доказать. что б;=0 тогда и только тогда, когда $ есть с вероятностью ! постоянная. 4Л65. Пусть $„$п ... — последовательность случайных величин. Доказать, что бт„- 0 при п- о (определение б „см. в предыдущей задаче) тогда и только тогда, когда найдется последовательность вещественных чисел а„а„..., такая, что $„— а„-+ 0 прк п-»- со.
4Л66. Доказать, что при сложении независимых случайных величин степень рассеивания не убывает (определение степени рассенвапия см. в задаче 4Л64), т. е. если в и ц — независимые случайные величины, то б~+„Р- "щах (б„б„). Показать, что знак равенства при етом может достигаться тогда и только тогда, когда одно из слагаемых есть с вероятностью ! по стоянная. !О! 4.167. Пусть «Р(1) — комплексная функция вещественной переменной, причем А = ) )«г(«))з и( Доказать, что функция () = — ' „) ф( Я()м Ае о Ю является характеристической функцией абсолютно непрерывного распределения. 4Л68.
Пусть 1(г) — характеристическая функция, причем при некотором е ) 0 г'(«) — е для всех Ы < е. Доказать, что ,-«»/з 1(1) — е 4Л69. Доказать, что для любых целых положительных й и п, й ~;п, справедливо неравенство С„<2"~/'. 4Л76. Пусть Р— равномерное распределение на единичной окружности в Жз (Р, очевидно, спнгулярно). Доказать, что свертка Р » Р абсолютно непрерывна и имеет ограниченную плотность.
4Л71. Пусть н-мерный случайный вектор $ и т-мерный случайный вектор «1 свяааны линейной зависимостью ц = АЗ+ а, где А — прямоугольная матрица размером гн Х и, а — неслучайный и-мерный вектор. Выраз««ть характеристическую функцию случайного вектора ц через характеристическую функцию случайного вектора $. 4Л72 (теорема А. Я. Хинчина)', Доказать, что для того, чтобы функция 1(1) была характеристической функцией одновершинного распределения, необходимо и достаточно, чтобы она была представима в виде еп» « У(г) = — ) «р(и) «(и« е где ф(и) — характеристическая функция, а а — вещественное число.
4Л73, Доказать, что функция (0(аФ) т+ ~«)'* является характеристической функцией одновершинного распреде- ления. »02 4Л74. Пусть г'(г) — характеристическая функция одновершипного распределения. Доказать, что функция р (г) = 1(г) + г('(г) является характеристической функцией. 4Л75. Существует ли нигде пе дифференцируемая характеристическая функцяя7 4Л76. Привести пример двух различных характеристических функций 7(й) и я(Ю) (~(С)~й( — г)), таких, что Шз) Р =!8(~) Р. 4Л77. Привести пример двух различных характеристических функций ~(г) и л(1) (г*(г) чь л( — 1) ), отвечающих ограниченным случайным величинам и таких, что У(~) Р = (а(г) Р.
4Л78. Пусть случайный вектор $ ($о ..., $„) имеет сферически симметричное распределение (см. определение в задаче 3.300), Доказать, что если случайные величины $о ..., $„независимы, то вектор $ имеет п-мерное нормальное распределение. Глава 5 СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ВЕРОЯТНОСТНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ В теории вероятностей обычно рассматриваются следутощие виды сходи- мости последовательностей случайных величин и вероятностных распределений.
Последовательность случайных величин Еь $в, ... сходится к случайной велнчиве Е с вероятностью 1 (почти наверное), если Р ()пп С = 5) =- С йтот вид сходнмости будем обовначать $„ -» Е и. н. Последовательность $ь $„ ... сходится по верея~ности к случайной велн- Р чине Е (сн-» $), осли для любого е ) О Пш Р (» ~„— С» ) е) = О. к Последовательность $н аь ... сходится в среднем порядка р (О ( р ( оо) к случайной величине Е, если 1ыпЕ»5а — $»Р=О. н При р = 2 говорят о еходимости в среднем квадратическом.
Последовательность вероятностных распределений Рь Рь ... слабо сходиттг ея к распределению Р (обозначается Р„- Р), если для лтобой непрерывной ограниченной функции Г(х) Ю 00 И' Если Р„Р, то слабо сходятся н соответствующие функции распределенип: нт ро Последовательность случайных величин $ь ~„..ч будем называть схои дяюейея к случайной величине $ по распределению($„-» ь), если последовательность функций распределения случайных величин Еь Е„...
слабо сходится к функции распределения случайной величины Е. Семейство вероятностных распределений У = (Р, пвп6» называется относител»нс компактным, если вюбая последовательность распределений иа м содержит подпоследовательностгч слабо сходящуюся к некоторому вероятностному распределению. Семейство вероятностных распределений У = (Р, п еп 6) называется плоткым, если для любого е ) О существует компакт К такой, что епр Р„((к"1 К) ( е.
а яд 10ч Последовательность случайных величин Ьь Зг, ..., называется раглсмер но иггтегрируемсй, если звр ) ( $„( Р (ггге) О Озс)>с) при с-» сс. Последовательность функций распределения рг(х), Гг(х), ... слабо стоднтси к функции распределения р(х) тогда и только тогда, когда )ггл Р„(х) =)г (х) и»с для каждой точки х, в которой функция Е(х) непрерывна, Р Р 5.1. Пусть ь — ь и $в-»т). Доказать, что Р($ т)) 1. Р Р 5.2. Доказать, что если $с — а„- 0 и ь„— Ьс 'Ог где а„а,,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
