А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Пусть Г(х) — дискретная функция распределения, )т,(х), Г,(х), ... — некоторая последовательность ее компонент. Доказать, что существует последовательность вещественных чисел ао а„ ..., такая, что последовательность Г,(х — а~), Р,(х — а,)..., сходится в равномерной метрике к некоторой функции распределения С(х), т. е. !г'„(х — а ) — С(х)! О при и- о, Глава 6 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕИ Пусть сь $ь ...— последовательность случайных величин с конечными математическими ожиданиями ог Е$ь г = 1, 2, .... Говорят, что для отой последовательности выполняется закон бо.гожих чисел (ЗБЧ), если и ~и~~ ~с; — ~ аг -ьО п)нг п — ь оз н т. е.
для любого е > О ..:( ь)=ь и и ~~~~ сг .— ~чу~ а, г=ь ЗБЧ выполнлется при рааличвых преднолов ениях относительно последовательности $п $г, ... В частности, справодапва следующая теорема. Теорема (А. Я. Хинчин). Если $ь йг, ...— последовательность независимых одинаково распределенных случайныт величин с конечными математическими ожиданиями, то для нее выполняется ЗБЧ. Для проверки выполнимости ЗВЧ часто оказывается полеаным неравенство Чебышева.
Теор е м а, Пусть $ — случайная величина с конечной дисперсией, тогда для любого е ) О Р()ф — Е$) ) г) ( Пй/ег. Говорят, что для последовательности случайных величин $ь $з, ... выполняется усиленный закон больших чисел (УЗБЧ), осли ~~ ь. — ~~ ес. г=г г=г -ьО при и -ь со, 118 Теорема. Пусть случайные величины $ь $з..., независимы, Е$, =- О, ,~, оц тхаг ( ьо и ~ — ' < со, Тогда для послсооватсльности $п фз, ... выполня ется УЗБЧ. Теорема (Л, Б. Колмогоров). Пусть $ь Ьг, ...— последовательность не зависимых одинаково распределенных случайных величин, Для выполнения УЗ)зЧ необходимо и достаточно суагестеоваггие у величин $г конечного ма тематического ожидания. Пусть Лп Аг, ...— последовательность событий и Л вЂ” событие, состоящее в том, что наступит бесконечно иного событий Л„.
Л е и м а (Борель — Кантвлли). 1, Если ~~ Р(Л1,) (оо, то Р(Л) = О. а=1 2. Если Аи Аз, ... независимы и ~~~~ Р(Аа) = оо, то Р(А) = 1 Э 1 Пусть Еь $1, ...— последовательность независимых случайных величин, заданных ва вероятностном пространстве (П, хб, Р), У „— о-алгебра, порож денная случайными величинами $и, Еи+и .. б о-алгебра =и и=1 называется остаточкой а-алгеброй относительно последовательности $н $1... „ а любое событие А зи У вЂ” остаточным событием, Теорема (закон «0» или «1з Колмоеорова).
Любое остаточное событие имеет вероятность 0 или 1. Если $ь Ез, ... — последовательность независимых случайных величин, то в силу закона «Оз или з1» Колмогорова ряд ~ $1 либо с вероятностью 1 1=1 сходится, либо с вероятностью 1 расходится. Имеют место следующие крнтернн, позволяющие определить сходимость илн расходимость ряда из неаависииых случайных величии. Те ерем а (зо двух рядахь). Для сходимости с вероятностью 1 ряда Ю из независимых случайных величии достаточно, чтобы одноврсмсни 1 но сходились два ряда: ~ Е$ и ~~ 0$ .
и 1 и=1 Если, кроме того, эпрр(!с )) с)=0 для некоторого с) О, то зги условия яв ляются необходимыми. Пусть с — неотрицательное число, $ — случайная величина. Обозначим (э, 1~)(с, (О, ( ~ ( ) с. Теорема (зо трех рядахз; А. Н. Колмогоров). Для сходимости с ввроятнестью 1 ряда ~~' э из независимых случайных величин необходимо, и=1 чтобы длл любого с ) 0 сходились ряды С '~~~ Е$~ ~~' 0зс ~~ Р((Э ) ) с), и=1 и=1 и=1 и достаточно, чтобы зги ряды сходились ири неко~ором с ) О. Пусть $„$1, ...— последовательность случайных величин. Будем говорить, что для этой последовательности выполняется центральная иредельная теорема (ЦПТ), если последовательность распределений случайных величин з) — Ет) (п.=51+".
+$.) )/0и„ 119 слабо сходится при и-нос к стандартному нормальному распределению, т. о. для любого вещественного х н й ПщР и п <х в з би гр(х) Р Рг)п ) ')тт2я Обозначим а» = Еь», о» вЂ” — Щ», Вз = ~~ оз», Р»(х) = р($» < х). 1'озарят» что »=» для последовательности $ь Ег, ... выполнено а) условие Линдеберга, если для лгобого т ) О п — Е [(С» — а,)г; ) З» — а») ) тВп) -».О п»=г при п-ьоо, где Е(($» — а»)г; )໠— а»))~тВ„) = ) (х — а )~бр»(х]; )х — о»))спп б) условие Ляпунова, если для некоторого б ) О е) з» вЂ” а» )~~ -»-О при и -ь.
оо. , чр' п» Имеет место Те о р е ма. Пусть е», сг, ... — последовательность неэависимых случай ных ееличнн с конечнылги дисперсиями. Если для этой последовательности выполнено условие Линдеберга, то для нее выполняется ЦПТ. Если для последовательности $», Къ ° глах Р В )е — О прп и- о и выполнена ЦПТ, то для нее выполняется условие Линдеберга. Из укааанпой теоремы, н качестве следствий, вытекают справедливость ЦПТ для последовательности независимых одинаково распределенных случайных величии с конечным вторым моментом и справедливость ЦПТ длл последовательности случайных величин, для которой выполняется условие Ляпунова.
Для получения оценок скорости сходимости в ЦПТ бывает полезным следулпдее неравенство. Теорема (Берри — Эссеен), Пусть 7(х) и С(х) — функции распределения, ((г) и у(Г) — соответствующие характеристические функции, зир) 6' (х) ).. к < С. Тогда для любого Т ) О и Ь ) 1/(2я) зпр) р( ) — Б(х) (<Ь ~ 1((Г) у(1) ) бг+ С и(Ь), и где и(Ь) — полохсительноя постоянная, зависящая только от Ь. Если посаедовательность случайных величин Е», Ег, ..., Ею ...
такова, что (1,— а„ в <' =ф() по го и нри некоторых а„и В» > О, то говорят, что случайная величина Еч н»геен асимптотическн ноРмальнов РаспРеделение с паРометРами (асо Вг). 120 Вероятностное распределение называется устойчивым, если для его функции расвределения Г(х) при любых вещественных а> ) О, аг ) О, Ьн Ьз имеет место равенство Е(а>х+ Ь>) ь Р(агх+ Ьг) = Р(ах+ Ь)> где а ) О и Ь вЂ” некоторые постоянные.
Для соответствующей характеристи- ческой функции 1(с) имеет место равенство прн любых а> ) О, аг ) Ог где а ) О и Ь вЂ” некоторые постоянные. Характеристическая функция симметуяи. рнчного устойчивого распределения имеет вид е (т>,' О < и < 2. Переформулируем некоторые общие теоремы для схемы испытаний Бер- нулли.
Говорят, что случайные величины $н $г, ..., Цо соответствуют схеме ис- пытаний Беркулли, если ови взаимно независимы и одинаково распределены, тан что Р(ь»=1) =р, Р(а»=О) =1 — р, 0<р<1, Событие Дь = Ц называется «успехом», а (Яз = 0) — енеудачей». Бесконечная последовательность случайных величин $„..о $ соответ"твует схеме Бернулли (с данным р), если вышеприведенные условия выполняются прн любом и.
Теор е и а Бернулли (закон больших чисел). Пусть Гн Ь„.. ч ܄— сгсл>а Бернулли и Яо = $>+... + $„, Тогда при и-> со Бп Р— -ь Р. и Теорема Бор ел я (усиленный закон больших чисел). В схеме Бери улли — и-ь р П.н. и Т е о р е м а П у а с сон а. Дана последовательность серий испытаний Бернулли; в и-й серии имеется и случайных величин аоь, Ь = 1, 2, ..., п, соответствуюи»их испытаниям с вероятностью успеха р„. Пусть Бо = $„>+... ... + $о„ вЂ” число успехов в и-й серии. Колк и- оо, р -ь О и пр„ -ь )ь, где А — действительное положительное число, то при любом тп )" ь Р(Яп = та) -ь — ( е Ь. Теорема Муавра — Лапласа. Пусть оо = $>+...+$о — число услсхов в схеме и испытоний Бернулли с вероятностью успеха р. При и — со равномерна по х (р — постоянно) 1 Яп — пр Р < х -ь Ф (х), д — 1 р.
[ )~пру Для вычислений используется приближенная формула Р(т (Ю я,ш) Ф вЂ” — Ф или более точная формула Р(ю (Ян~(тз)вФ,— — Ф 1о! Оценка скорости сходкмости в теореме Муавра — Лапласа (нераеенстео Ь'ерри — Эссеенн): екр Р,— < х .— Ф(х) (~ . /— й 1. Закон больших чисел 6.1. Проводятся испытания Бернулли с постоянной вероятностью успеха. Пусть 1 , если (-е и (1 + 1)-е испытания закончились успехом, О в остальных случаях.
Выполняется ли для последовательности $о $„... ЗБЧ? 6.2. Пусть $о ф„...— последовательность независимых случайных величин, причем $„принимает значения Уп, О и -Уя с вероятностями 1/(2п), 1 — 1/и, 1/(2п) соответственно. Выполняется лн для этой последовательности ЗБЧ? 6,3. Пусть $о $„...— последовательность независимых случайных величии, причем й„принимает значения -я, О и и с вероятностями 1/(2пе), 1 — 1/и', и 1/(2пе) соответственно.
Применим лн к втой последовательности ЗБЧ? 64. Пусть во $е, ...— последовательность независимых случайных величин, Р(й ~2е) 2-(ее+11 Р(й О) 1 2-ее Применим ли к этой последовательности ЗБЧ? 6.5. Пусть $о $„...— последовательность независимых случайных величин, причем $„принимает значения 2' и -2" с вероятностями 1/2. Применим ли к этой последовательности ЗБЧ? 6.6. Пусть вь в„...— последовательность независимых случайных величин, причем $ принимает значения -2", — 1, 1, 2" с вероятностями 2, 2, 2, 2 соответственно.
Применим ли к этой последовательности ЗБЧ? 6.7. Пусть $о $е, ...— последовательность независимых случайных величин, причем $„принимает значения — п, О, и с вероятностями 1/4, 1/2, 1/4 соответственно. Применим ли к этой последовательности ЗБЧ? 6.8. Пусть Цо з„...— последовательность пеаависимых случай ных величин, причем в„принимает значения -я, О, п с вероятностями 2 ", 1 — 2 "+', 2 " соответственно.
Применим ли к этой по следовательности ЗБЧ? 6.9. Пусть зо $е, ...— последовательность независимых случай ных величин, причем й принимает значения — ф(п), О, ф(п) о вероятностями 1/ф(п), 1 — 2/ф(и), 1/ф(п) соответственно, где ф(п? (22 и ~? (я) таковы, что (р (и) ) О„ф (и) ) 2, ™вЂ” (С (С вЂ” постоянная). Применим ли к этой последовательности ЗБЧ? 6.10. Пусть ~~о $м ...— последовательность независимых случайных величин. В случае, когда и — точный квадрат, $„принимает значения -?и, Уя с вероятностью 1/2 каждое, при остальных п з„ принимает значения -2, 2 с вероятностью 1/2 каждое.
Применим ли к этой последовательности ЗБЧ? 6Л1. Пусть $о ~„...— последовательноств независимых случайных величин, причем $ принимает значения — ул и Чп с вероятностью 1!2 каждое. Применим ли к этой последовательности ЗБг[? 6.12. При каких значениях а) 0 к последовательности независимых случайных величин ф„$ь ..., таких, что Р Я„= л') = Р(?,„= -я') 1/2, прямепим ЗБЧ? 6.13 (теорема Чебышева). Доказать, что 3БЧ выполняется для последовательности независимых случайных величин, имеющих равномерно ограниченные дисперсии.
6Л4. Пусть $о ~м — последовательность независимых случайных величин с конечными дисперсиями о~. Доказать, что если — о; — ~0 при и-+ со, ~=1 то к последовательности $о $э, применим ЗБЧ. 6Л5. Пусть ~о $м ...— последовательность случайных величин с дисперсиями оо Доказать, что если ковариация ?.; и $, неположительна прп ?Ф[ и — г о;-~-0 при и — 3 ° ао, 1=1 то для последовательности $„$„... выполняется ЗБЧ. 6.16. Пусть $о ~ь ...— последовательность случайных величин с равномерно ограниченными дисперсиями, причем Ь зависит только от $, и $„+ь но не зависит от остальных ~ь Доказать, что для этой последовательности выполняется ЗБЧ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
