А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 27
Текст из файла (страница 27)
х» 6.128. Пусть $о $ь ...— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, А„Ам ... и Во Вм (В„>0) — две последовательности вещественных чисел, причем последовательность распределений случайных величин слабо сходится при п- к некоторому распределению.
Доказать, что предельное распределение устойчиво. 140 6 Л29. Пусть случайная величина $н,гг, имеет гииергеолгегричесное распределение с параметрами гу, М, и: С,".гС".; лг/С,", шах (О, ЗХ + и — ру) < т н, пп'и (и, ЗХ), 0 в ином случао (М < гУ, и - гУ) . М Доказать, что при гу- ', М-, у-ьр, 0< р < 1, и фиггсггроваи пом и гипергеометрическое распределение сходится к бипомиальпо. му распределению с параметром р: С„"р-(1 6.136. Пусть последовательность случайных величия ь„ образует схему Пуассона, т. е. зг, ..., $ взаимно независимы и распределены так, что РДл = 1) = р„, Р($, = 0) = 1 — р„й = 1, ..., и.
Обозначим гг. = $г +... + $.. Доказать, что если р, +... + р — гг ) 0 при и-, то л нг! 1ггш Р ((г„= т) = е 6Л31 (ирода.гжение). Пусть в схеме Пуассона р = $г +... + 5, л. = рг+... + рга 6 = рг + ... + р, О < р, < 1/2. Доказать, что при и)2 Р(р„= т) — —, е ~. 26. Л -л! 6ЛЗ2. Пусть случайные величины Е, и =1, 2, „., имегот распределение, сосредоточенное па интервале 10, 1), Доказать, что если прп любом целом ЕФО Ее ' ' гг-г. О прп и-, то для любых а и р, О< а<6<1, Р(а < с„< (г) - р — а.
6ЛЗЗ. Пусть случайные величины а„5г, ..., 5 взаимно независимы и одинаково распределены, причем Р(0 < $. < 1) =-1. Пусть г1„= (с, +... + ь,„) — дробная часть суммы $, +... + $„, Коли при и ныл гамен Ее -г-О, и г оо, то при любых а и р, 0<а< 3< 1, Р (а < г1 < () ) - б — а. (Это утверждение служит аналогом центральной предельной теоремы, когда случайные величины складываются по шог(1.) 141 й 6. Применения предельных теорем 6.134.
Найти приближенное значение для вероятности того, что число «успехов» Я в схеме п =100 испытаний Бернулли с вероятностью «успеха» р — 0,5 лежит в пределах 35 и 65; 47 и 53. Прн хп каких значениях п вероятность того, что 0,35( — "~ (0,65, будет болыпе 0,998? 6135 (иродоллгение). Каково должно быть число испытаний п, за чтобы с вероятностно 1 — а частота «успех໠†„" отличалась от вероятности «успеха» р не более, чем на с ) О? Решать задачу прн а= 0,01, с =0,01.
6.136 (продолжение). Предположим, что в схеме Бернулли с вероятностью «успеха» р=р($» 1), к=1, ..., н, значение р неизвестно и нужно определить его по значениям, которые принимают случайные величины ь„..., $ . Напболео естественно в качестве х« оценки р взять частоту «успеха» р„= — „о„ьь, +... + $., порД вЂ” р) скольку Ер„= р и Р! ~ р~ — р! ( е) ) 1 — ., при любом и. л« В качестве оценки можно указать интервал (р„(зо ..., $ ), р. Дь ...
ь.)), 0< р. < р.<1, такой, что Р(р„- р < р„) ) 1 — а для любого наперед заданного 0 <а < 1. Такой интервал называется до«зрительным интервалом для р уровня 1 — а. Найти с немощью теоремы Муавра — Лапласа приближенный доверительный интервал для р. 6.137 (зксперинентальная о»(енка л). Опыт Бюффона с бросанием иглы на плоскость, расчерченную параллельными прямыми (см. задачу 1.75) использовался для вычисления числа и. В 19 и 20 веках было произведено множество зксперпментов (см.
о пнх подробнее в книге: Кендалл М. и Моран П. Геометрические вероятности: Пер. с англ.— М: Наука, 1972). В опыте Р. Вольфа из Цюриха длина иглы (= 36»~м, расстояние между прямыми а = 45 мм, игла была брошена и = 5000 раз и т = 2532 раза пересекла прямые. Бслп считать, что последовательность бросаний иглы соответствует схеме Бернулли с вероятностью «успеха» (игла пересекает прямую) 21 р = —, то мо кно оценить погрешность экспериментальной оценки л. аз' !т 1.
В опыте Вольфа отклонение ~ — „— р~ не превышает 0,0029. Найти число бросаний иглы, при котором с вероятностью, большей 0,5, имеет место подобное отклонение. 2. По результатам опыта Вольфа найти доверительный интервал для числа я, «»» 6.138. В январе 1035 г. в Швеции (но данным Г. 11рамера) из общего числа 7280 новорожденных родилось 3743 мальчика.
Гипотезу о конкретном значении ееронтности р рождения мальчика мод«но проверить следующим образом. Допустим, что мои«но использовать схему Бернулли. По приведенным данным при определенном О ( а ( 1 нужно построить доверительный интервал !р., р ] длн р уровня 1 — а, а затем сравнить пшотетическое значение р, с границами доверительного интервала: если р, ш(р, р.), то считать гипотезу о том, что р= р, совместимой с данными, а в случае р«(р„ иди р,) р„— отказываться от гипотезы, имея в виду, что вероятность ошиоочного заключения не превосходит а. Проверить гипотезы р, = 0.5; р, =0,515; р„= 0,55.
6.139. В урне паходятея шары белого и черного цвета. 0 составе урны известно лшпь то, что доля оелых шаров равна лиоо 0,5, либо (61. Из урны извлечено с возвращением 100 шаров и обнару«кено, что белые шары составлян>т большую часть выборки. На почве этого наблюдения сделан шлвгнь что доля белых шаров в урне равна 0,5. '1сму равна вероятность того, что нриняго ошибочное заклоченнс? 6.146. Пусть произведено и испытаний Бернулли с вероятностгяо успеха р. Допустим, что число успехов Я оказалось равным т, О(гп(п, и нужно проверить, согласуется ли это с какой-либо пшотезей относительно неизвестного значения р.
5(оншо воспользоваться следующим критерисм. Зададим число а, 0< а<1, и в пред- поло'пении, что верна гипотеза р = р, вычислим вероятность Р(Я„ ) т). Если эта вероятность мепыпе а, то отказываемся от гипотезы. В противоположном случао считаем, что гипотеза согласуется со статистическими дапнымп. Прн 1000 независимых бросаниях монеты герб выпал в 540 случаях.
Пронерить гипотезу о том, что монета симметрична нри а=005. 6.141 (продолжение). Пусть а задано. В предположении, что некоторая гипотеза р = р. верна, найдем наименьшее целое т„, такое, что Р(Я. ~ т ) = а. !(ритерий проверки гипотезы р = р, может быть таким: если 8. ~ т„, то отказываемся от гипотезы р =-р,; если же О.
( т„, то считаем, что гипотеза согласуетсн с данными. Вероятность ошибочного отказа от гипотезы ио превосходит а. Проверить гипотезу о вероятности рождения мальчиков из задачи 6.138. 6.142. Предполонгим, что в схеме испытаний Бернулли есть две гипотезы о вероятности «успеха» р, и р„ 0 < р, ( р, < 1. Для различения этих гипотез произведено и испытаний и в результате получено (Я„= т).
Пусть заданы числа а п й, 0 < а, р (1, и пусть и таково, что существует целое положительное число т«, такое, что О, Рз,,(Я„)т")<а, О, = Р„,(5„<т~)<р„ где первая вероятность вычислена в предположении, что р = р„ а вторая — в предположении р=р, Тогда критерий проверки гипотез строится так: если т > т*, то гипотеза р = р, отбрасывается, а гипотеза р = р, считается приемлемой; если же лт < тч, то наоборот, гипотеза р = р, принимается, а р = рз — отбрасывается. Указалные выше вероятности О, и О, интерпретируются как вероятности ошибочных заключений. Применить предложенную процедуру проверни к задаче де Мере (см. задачу 1.26), а именно ответить на вопрос: сколько нужно провести испытаний, чтобы различить две веролтности успеха /Зз~ы ' /бх рт = 1 — у~ и р, = 1 — ~ — „, ~ при заданных а = р =0,05.
ОЛ43. Доказать, что гппергеометрическое распределение при пМ Х-, М вЂ”, я —, ~ -+ ),) 0 сходится к распределению Пуассона с параметром Х. 6.144. Доказать, что гппергеометрическое распределение при пМ й-, лу-, и- °, — ', -~-оо сходится к нормальному раси рс дел с н и ю. 6.14э.
Случайная величина Хт имеет хп-квадрат распределение с и стенеплмп свободы (так называется распределение с плотностью см. задачу ЗЛ67). Доказать, что распределение нормированной слух'. — нх.' чайной величины . г —, асимптотическн нормально с парамет)/ и/2 рами (О, 1). 6.146.
Случайная величина $~ имеет распределение Пуассона с параметром Х ) О. Доказать, что при Х вЂ” случайная величина й; — х = асимптотическп нормальна с параметрами (0,1). ')/х 6.147. Пусть случайные величины $, ..., 5 взаимно независимы и имеют одинаковое распределенно Пуассона с параметром ).. Обозначим ь л = — „Йт + ° .. + ъ~и).
Р 1. Доказать, что ь»- Х при и 2. Построить доверительный интервал для Х, т. с. указать такие Х,(ф„) и Ц(ч„), чтобы при заданном 0 ( а ( 1 Р(Х,(й„)<).:б).,($„))) 1 — сг. 6.148. Случайные величины $о ..., ь взаимно независимы и нмеют одинаковое равномерное распределение на отрезке [Π— 1/2, О+ 1/2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
