А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 30
Текст из файла (страница 30)
2.>а 8.1О. Доказать, что распределение с плотностью —.з>п — не 2 является безгранично делимым. 8.11. Доказать, что: а) распределение Пуассона, б) отрицательное биномиальное распределение, в) нормальное распределение, г) распределение 1(о>пи являются безгранично делимыми.
8Л2. Пусть $ и >) — независимые случайные величины, причем $ имеет равномерное па некотором отрезке распределение. Доказать, что случайнал величина $+ >) пе может иметь безгранично делимое Распределение. 8ЛЗ. Пусть Г(х) — произвольная функция распределения. Дона- зать, что ни при каком а Ф О функция распределения г (а) + К(а+ а) 2 пе может быть безгранично делимой. 8.14. Доказать, что непрерывная, линейная на каждом отрезке [и, п+ 1), и = О, ~1, ... функция пе может быть безгранично делимой функцией распределения.
8.15. Случайная величина в, определенная на некотором вероятностном пространстве, может быть названа безгранично дели иой, если при любом целом положительном и она по>нет быть представ- лена в виде сулимы и независимых, одинаково распределенных слу- чайных величин, заданных на том же вероятностном пространстве. Привести пример величины, которая не является безгранично дели- мой, но имеет безгранично делимое распределение. 8Л6. Доказать, что безгранично делимая певырожденная случай- ная величина не мо~кет быть с вероятностью единица ограниченной. 8.17. Пусть у(Ц вЂ” любая характеристическая функция п р — про- извольное положительное число. Доказать, что функция У(1) = ехр (р(юр(т) — 1)) является безгранично делимой характеристической функцией, ЗЛ8. Доказать, что любая безгранично делимая характеристиче- ская функция?(1) представима в виде 1(г) = 1пп ехр(р, (ср„(1) — 1)), а ю где р, — положительные числа, а ~р (Г) — некоторые характеристи- ческие функции.
8Л9. Пусть <р(1) — произвольная характеристическая функция. Доказать, что для любого а ) 1 функция у(с) = — ' а — <р О) есть безгранично делимая характеристическая функция. 8.20. Доказать, что геометрическое распределение безгранично делимо. 8.21. Пусть ф(1) — произвольная непрерывная неположительная четная функция, выпуклая прн й~О, ф(0)=0 Доказать, что е"'" — безгранично делимая характеристическая функция.
8.22. Доказать, что нормальное распределение и распределение 1(оши являются устойчивыми. 8.23. Мол но ли утвер кдать, что сумма независимых случайных величин, каждая пз которых имеет устойчивое распределение, также имеет устойчивое распределение? 8.24. Доказать, что любое устойчивое распределение является безгранично делимым. 8.25. Является ли устойчивым показательное распределение? 8.26. Доказать, что распределение с характеристической функцией ехр( — с~т~ ), где с) 0 и 0~ а~ 2, являетси устойчивым, 8.27. Доказать, что для устойчивой случайной величины $ е)Й)'< ю для всех г~и(0, а), где а — параметр в каноническом представлении устойчивых Распределений. 8.28. Доказать, что характеристическая функция устойчивого с параметром а распределения при 0 < а ~ 1 не дифференцируема в нуле.
8.29. Может ли бевгранично делимое распределение быть дискретным, по не решетчатым? 157 8.30. Пусть а„..., а„, с„..., с — произвольные положптельньто числа, такие, что ,2' а>, 1. Доказать, что распределение с плотностью ьч аь,"! безгранично делимо. 8.31. Пусть 1(х) — положительная измеримая <рупкцпя, 1:(х)— функция распределения.
Доказать, что распределение с плотностью 1(!О Р (к) р (х) = ) и (/е(и) + х ) безгранично делимо. 8.32. Доказать, что функция !г (г) = ~д„а! екр ( — ср, ) г) '), А=! где аа~)0, ~а! 1. г,>0, О~а,=1, является характеристической функцией безгранично делимого распределения. 8.33. Может ли производящая функция целочисленного неотрицательного безгранично делимого распределения обращаться в нуль! 8.34. Пусть ч — целочисленная случейкая величина с безгранично делпмым распределением, Доказать, что Р(с делится на два)чь чар(Ь не делится на два).
8.35. Пусть $ — целочисле!шая случайная величина с симметричным оезграпичпо делимым распределением. Доказать, что Р(ь делится на два) > Р(еь пе делится па два). 8.36. Пусть Ц вЂ” неотрицательная целочисленная случайная величина с безгранично делимым распределеш!ем, Р(е = 0)> О. Доказать, что Р(с делится на два)> Р(с не делится на !ва). 8.37.
Пусть $ — неотрицательная целочисленная случайная величина с безгранично делимым распределением. Доказать, что если Р(в=О)>0 и Р(в 1)>0, то Р(ч= 8)>0 для лзобого целого положительного !г, 8.38. Доказать, что плотность безгранично дещыщго распределения, симметричная относительно некоторой точки а, достигает в точке а своего максимума. 8.39.
Пусть !е(х) — целочисленная безгранично делимая функция распределения, симметричная относительно точки гг„Доказать, что в точка Й 1'(х) имеет максимальный скачок. 840. Показать, что характерпсткческая функция /(1)='— „' ' " „(0<а~Р«) нс является безгранпчко делимой. 8.41. Может лн безгранично делимая характеристическая функ- ция быть произведением двух не безгранично делнмых характери- стпческпх функций? 8.42. Пусть ь — неотрицательная целочисленная случайная ве- личнна с безгранично делимым распределением, ро = Р(ь = /о), ро>0, р, > О. Доказать, что р~~ (2рорг. 8.48.
Пусть ь„ь п>1, 1(/о(п — последовательность случай- ных величин, причем прп каждом и случайные величины о пезавнсимы п одинаково распределены. Положим ц = 1., +...+$.. Доказать, что еслп распределения т! слабо сходятся прн л к некоторому предельному распределению, то последнео безгранич- но делимо. 8.44. Пусть ь — неотрицательная целочнсленнан случайная ве- личина, Р(о =0)> О.
Доказать, что для того, чтобы с имела без- гранпчпо делимое распределение, необходнмо н достаточно, чтобы ее производящая функция допускала представлепне Р(г) = ехр (Х((т(г) — 1) ), где Ч(г) — производящая функцпя некоторой целочисленной неот- рицательной случайной величины, а Х вЂ” положительное чнсло. 8А5. Пусть ф(1) — произвольная характсристпческая функция.
Доказать, что функция ! оо ЛО- го! — /(ФЬ)Ьо ) о о является характерпстпческой функцией безгранично делимого распределения с конечной дисперсией. 8.48. Доказать, что функция /(1) = ехр (-! Д + 1 — е-и') являотся харантерпстпческой функцией безграпнчпо делимого распределения с конечной дисперсией. 8.47. Пусть $ — целочисленная случайная велпчппа, имеющая безгранично делимое распределение. Доказать, что ее характернстическая функция ор(г) представпма в виде где лг — целое, до > О. 1йв 8.48.
Пусть в — безгранично делимая случайная величина с решетчатым распределением (л — шаг решетки). Доказать, что ь= ~Итю ь где т„т....— пезависимые случайпые величины, пмегощие распределение Пуассова. 8.49. Доказать, что для того, чтобы последовательность безграничпо делимых характеристических функций ~р,(з), <р,(з), ... сходилась к характеристической функции гр(з), необходимо п достаточно, чтобы почти для всех х С„(х)- С(х) п "(,— '( прп и где С„, С, („, у — функции п постояппые из канонического представления Леви — Хпкчипа характеристических функций ~р (з) и гр(з) 8.50. Пусть $ь $ь ...— последовательпость независимых одинаково распределенных случайпых величин, т — случайная величина, ке зависящая от й„ь„, ...
п имеющая иуассоповское распределеиие. Доказать, что случайпая величина т т)т= ~ $ю де=О~ а=1 имеет безгранично делимое распределение. 8.5г. Доказать, что для всех а) 0 функция (1+ гз)" является безграничпо делимой характеристической функцией. Найти ее представление в форме Леви — Хпачпна. 8.52. Найти представление Леви — Хипчика характеристических функций нормального и пуассоцовского расцределеяяй.
8.53. Пусть $ =-~, + $ь где $, и ь2 независимы и имеют безгранично делимые распределепия. Доказать, что: а) если ь пормальпо распределена, то В1 и $2 нормально распределены; б) если $ имеет пуассоповское распределение, то $, и $~ имеют пуассоновские распределения. Глава 9 ДИСКРЕТНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА Одним иа наиболее важных обобщений последовательностей независимых сяучайвых величав являются последовательности случайных велкчив, свяаанных в цепь Маркова. Пусть дана последовательность случайных величин йз, й„..., определенных ка одном вероятностном пространстве (П, лг, Р) и принимающих пе более чем счетное л(ноя(ество значений (к(, кь ...). Последовательность случайных величин $з, йь ... образует цель Маркова (ганзена е цель браРкзаа), если длЯ любого л и любых (з, ((, ..., (' таких, что (~., =,„,, ".
~, =;,). О, имеет место равенство (маркззскае свойство), Случанная величина йз интерпретируется как состояние цепи Маркова ка н-и шаге. Во многих аадачах, связанных с изученкем цепей Маркова, множество зваченвн случайных величин й(, ( = О, 1, ..., можно отождествить с подмножеством множества натуральных чисел (номерами состояний цепы).
Цепь Маркова йз, $(, ... называется однородной, если для любых ( и ) Р(й„кз($„( = к() = Р(( ке зависит от л. В дальнейшем, если не оговаривается противное, рассматриваются только однородные цепы Маркова. Матрица Р с злемевтамв Р(, называется матрицгй згрзятностгй нгртзада зз один и(аг. Матркца Р является стозастичгской, т. е. для любых ( и ( Р,( ) О и Р..—.
1. з й!атрица Р("( с злементами Рф(= Р(чн =1(Е = () называется матрицгй вероятностей лгрекода за л шагов. Для любых неотрицательных л и т справедливо (ураввеняе Колмогорова — Чепмена Р(к+т) Р(к(Р(т) Р"( — единичная матрица). Пусть р(н( = (р(н(, р(,"З, ...) — распределение вероятностей цепи Маркова ва л-м шаге: р(н( = Рд = з.), тогда р(н+'"( = р(">Р( ( или р'"( = р(з(рк, где (ьн () ' распределение р(з> называется начальным раслредгагнигм ценн Маркова.