А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 34
Текст из файла (страница 34)
е. такими, у которых переходвал ФУнкция Р(в, *, 1, Г) одяородва по времеви: Р(г + )г, з, 1+ Ь, Г) = Р(в, з, Г, Г) для любого )г, причем в качестве Т рассматриваются т = В = (- иг, ), т = В+ = (О, ), Т=(...,— 1,0,1,...), Т=(0,1,2,...). В случае одвородпого процесса переходную фувкцию можно задать как функ- цию трех перемеввых Р(г, з, Г) = Р(в, а, г+ д Г). Для одвородвых марковскях процессов с мвожеством состояиий Х с с (О, 1, ...) для переходвых вероятвостей будем использовать обозначение Р(г. ] (7')) = РО(1). Мера р ва фазовом вростравстве (Х, га), удовлетворяющая условию р (Г) = ) р (г(г) Р (1, з, Г), с ) О, Г ш га, х вазывается иввариавтвой мерой однородного марковского семейства с переходвой функцией Р(г, з, Г).
Пусть (й, ар, Р) — вероятвоствое простравство, Т с В, (У г, 1 ел Т) — веубывающее семейство о-алгебр:У г с Уг г~ < гь У г сзр. Случайная величина т, принимающая значения иа Т.()(+аа), называется марковским моментом отвосительво семейства (У г, г гп Т), если для любого С гв Т (т < 1) гв У г. Пусть, далее, Ущ~ — о-алгебра борелевских подмвожеств мвожестве Т П П ( — ' ° 1]„ Случайный процесс $и г гп Т, вазывается прогрессивно измеримым отвосительно семейства (Уь сгпТ), если для каждого зшТ фувкция $~и' яа множестве (Т П ( — аа, 1]) Х й измерима по (в, ю) отвосительпо а-алгебры юм~ 'г( У г.
Марковское семейство ($и Р,) с фазовым пространством (Х, 6) вазывается строго марковским, если: 1) процесс $г прогрессивка измерим; 2) для любого марковского момента т, любой функции ц = ц(ю), прпккмающей значения из Т 0 (аа) и определеввой ва й, (ак т ( аа) в измеримой относительно У г, любого лги Х я Г щ В в любого А с й,() йв прввадлежащего У'„ Р„(АД(~ „гп Г)) =) Р(ц, $, Г)Р„(кы). Пусть йг, 1 ги Т,— одвородкый марковский процесс, Х (О, 1....), Т представляет собой либо волуврямую ]О. а ), либо мвожество цеяых веотрицательвых чисел.
Ввтаащигга працвггьь Случайный процесс $г, гев Т, называется ветвлщимса, если Рв (1) = ~~ Р (1) Рй (1) ... Р, (1), 1> 1, Р„(г)=1. 1г а.,. -О;=1 176 Определение ветвящегося процесса допускает следующую паглядвую интерпретацию: пусть $т — число частиц в момент времеви С. Предположим, что за время Т, одва частица независимо от ее происхождения и величия других частиц, с вероятностью Р,„(Т,) превращается в и частиц (и = О, 1, ...). Тогда Р(ЬС„, = С)Ц = С) = Р,, (С) = ~ Р (С) ... Р,С (С). СС+,.+С;=С пусть Ез — ветвящийся процесс. тогда Р(ЕС =0),)сш Р[ьс — — 0) пазыва- С >00 ются соответственно вероятностью вырождения ва время С и вероятностью вырождения; т = пзш(С: Ет — — О) называется временем до вырождения. Пусть Е,— ветвящийся процесс с непрерывным времевем (Т [О, со)).
Положим С ш (") Ьс,ь а„= !(ш ! ь о а где Ьь ь — символ Кропекера. Числа а„аь ... ваэываются инфинитезимальными параметрами ветвящегося процесса. Производящую фуикцпю впфииятезпмальлых параметров с (з) = ~~', асзс С=Е будем иааыаать производящей функцией ветвящегося процесса. Теорема 1. Пусть $и Еь ...— ветвящийся процесс с дискретным временем, Ев = 1,стп (з) = Ез, ср (з) = Ез з. Тогда 1~ 1, и ш(з) Р0ра(з)), и ) 1, а вероятность вырождения д — наименьший неотрицательный корень уравнения ц = ср(ц). 2, Пусть Еи Ес —— 1 — ветвящийся процесс с непрерывным временем и ироигводящей функцией 7(з).
Понюхом Р(С, з) = Езь'. Тогда а) Р(С, з) удовлетворяет функциональному уравнению р(С+ т, з) = Р(с, Р(т, з)), Р(0, з) = з; б) Р(С, з) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению дР'(С, з) =С(Р(С,з)), Р(О,гС=з; в) Р(С, з) удовлетворяет уравнению в частныя проигводныя дР (С, з) др (С, з) дз ~() дг г) вероятность вырождения процесса ривна наименьшему неотрицательному корню уравнения )(ц) = О. Процессы массового обслухивания, Случайным потоком событий вазывается любой случайный процесс чн С ~ О, удовлетворяющив следующим условиям: 1) чг = 0; 2) ч, для каждого с ) 0 принимает лишь целые неотрицательные значения я зпачевие +со; 3) траекторви процесса тз ве убывают и непрерывны справа.
Поток тг считается аадавлым, если для каждого целого и )1 и неотрицательных действительных ть ..., т„задало совместяое распределение случайкых величин ч, „ч, . Олучайвая величина ч, имеет смысл числа событий, наступивших в интервале [О, с). 177 12 я. в. прозоров и зр. Можно дать следующее аквывалеыткое определение случайыого потока. ПУсть»ь»ь ...— последовательные моменты кастУплевиЯ событии; »в )»А, при А =- 1, », = О. Полол»ым за = П вЂ” »з ь А ) 1. Говорят, что задав случайпый поток событий, если для каждого целого л ) 1 задано совместыоо распределение случайных величия з»„..., * . Случайный поток, у которого зн зь ... независимы в совокупвостя и »ь з», ...
одвваково распределевы, взвивается рвкуррвнтным котикам с занаэдыванивм. Для задания такого потока достаточно аадать две фуккции распределения: А»(») = р (з, < »), А (») = Р (зд < »), А ) 2. Рекуррелтыый поток с запаздыванием, у которого А»(») = А(»), называется рвкуррвнтним. Поток Ш называется потоком йвв нававдвйвтвик (с отсутствием последвйггвик), если для любого целого л ) 1 и для любых декствителькых 0 = = тв < т» « ...
т„случайвые велвчивы т» — т», А = 1,..., н, пезавн- »А»А-1 симы в совокупыости. Поток ч» называется стационарным, если для любого целого к ) 1 и для любых веотрицательвых чвсел тн ..., т„распределеипе случайного вектора ( и — и, А = 1, ..., н) ые зависит от выбора с ) )О. Часто поток вааыеают се»А в стациопарвым, если последнее условяе выполняется хотя бы прк к = 1. Поток е» казывается ординарным, если цля любого» ) 0 Р(к».н — и» ~ >2(т»«л — т» ) 1) — «О ири Ь ) О. Стациоварвый ордвварвый поток без последействия называется красгвйи»им. Для задания такого потока достаточво для любого» ) 0 и целого А ) 0 задать вероятиости Рл(») = Р(к» й).
Если дополвителько потребовать выволыевие двух условий: 1) Р(ч» < + ао) 1 для каждого» ) О( 2) существуют», и»», такие, что Р(т =0))0, Р(т» =0)(1, то существует Л ) О, такое, что , (),»)А РА(») =в Н Простейшый поток будем пааывать также пуассововским (иногда под куассояовским попимают более широкий класс потоков).
Для простейшего патока Еч» = Л». Чысло Л имеет смысл среднего числа событий, поступивших в единицу, времени, и ыазывается иктевсивкостью. Пусть тн ..., т„— ыезависимые случайкые величины, равномерно распределеввые па отрезке (О, Т), Т ) О. Положим (Ю )»О, еглы тк)», (1, если та <», У»«ы» + ...+1»» (11 (К») Случаввый поток и» называется потоком Бернулли. Пусть заданы к ) 1 случайвых потоков т», ..., т» . Говорят, что слу(ш (ш чайный поток ,(1) ( ( (к) получается накамвнивм (сунерлаэиуией) потоков т(»11, ., „т(»и», Пусть (зк)ьм» вЂ” последовательиость.веотрицательвых случайных аеличкв.
Положим 1 = з»+...+ з, л ) )1, »в = 0; т» = п»ах(к: »„<»), 1) О. ПРо- 178 песо чс называется процессом восстановления. Так как чь полностью определяется последовательностью (гь) (и наоборот), ее также будем пааывать процессом восстаковлевия.
Процесс зосствиовлевия (гь) везывается рекуррвнтным с гапагдывание», если гь г„... независимы в совокупвостп и гг, гг, ... одинаково распределевы, Если г), гь ... независимы и одинаково распределены, процесс восставовлекия (гь) вазывается рекуррвнтным. Циклам длительности г назовем упорядочеввую пару (г, $ь), где г — веотрицательная случайная величина, а $, — случайный процесс, определевкый прп О(с< в, причем Р(г=О) <1, Р(г <+ав) =1. Рассмотрим последовательвость циклов[[за, сс )[а>, в которой циклы (а)' пезависимы и, начиная со второго, стокастичесви аквивалевтвы.
Положим А1(х) = Р(г, < х), А(х) = Р(гь < х), й > 2. Случайный процесс $и С > О, определяемый соотпоше)сивик ц11) при О <С < С, Цз)с прп с, ( с ( с,, 1 Сс с ПРИ С), 1(~с ( СА, (г) — Ь-1 'ч пазывается рггвнерируюпсим процессом. Случайвьте веппчппьт Си С..., пазы ВаЮтСя моментами регенерации. Положив( Рв(с)=Р(~~~)(иВ, г >С)=Р( сщВ, г >С), Рл(с) = Р(Ц '(и В, гь > с) = Р(цз ес ьп В, гз > с), Уь) 2. Т ео р е лс а.
Пусть А (х) — нвреюетчетпа функция распределения; суп;ест грет целое и ) О, тпкпг, что функция с () И) = 3 Рп (С вЂ” х) др (х], С >О, с а где Р(х) = Авв(х), является непосредственно интегрируемой пп Ричпну на [О, ео). Тогда (пи РД(мВ)=а) рл(х)дх, с е где а 1=) хбА(х). о Сл ед с та и е. Пусть А(х) — нереюетчптая Сбункция расяределени* и еьы пплнено хотя бы одно иг условий; 1) уьуякция рв(с) не возрастает и интегрируема; 2) Рз(С) имеет ограниченную вариацию на любом конечное интервавв времени и а = ) хдА (х) (+ е !2в 3) для кгкоторога целого и ) 1 Аа" (г) яалягтгя абсолютно ягярерыа- иай и хЫА (.г) < + аа. о Тогда )(щ Р (ь1 щ В) =- а ~ рн (г) дг.
1 о Для обоаначеиия систем обслуживания используются четыре символа нлк комбинации символов, разделенные вертпкальнымн чертами; а(6(с(д, где ив характсрнаует входящий поток, Ь вЂ” длктельпость обслуживания, с — число об- служивающих приборов, д — чнсло мест длл ожидания. Если на первом мес- те стоит символ М, то входящий поток пуассоповскнй, Ег — зрлангоискнй по- рядка й (т.
е. рекуррентный поток, у которого ах г и А(л) = З((й 1 ~ г ча~), о 2г — регулярный (т. е. требования постуна1от через фпкснрованные (неслу- чайные) интервалы времени), С! — рекуррентнын, С вЂ” произвольный. Если па втором месте стоит буква С, то длителыгости обслужнвапнл тре- бований нмеют произвольное распределение п могут быть завпсниылгп.
Еслн стоит символ, отлячный от С, то длительности обслуживания независимы в совокупности и одинаково распределены, причем если стает буква М, то — но покааательному закону, если сочетапне С! — яо нронзвольному. Например, М(С))2(10 означает, что в снстему обслучкпвапня, состоящую нз 2 приборов н имеющую 10 мест для ожидания, поступает пуассоновскнй поток требова- ний. Длительности обслуживания независимы в совокупности и одинаково рас- пределены по пронзвольному закону.
В качестве характеристик функционирования свстсмы обслужнвання ча- ще веста рассматрвваютсн следующие случайные процессга и велвчпны: я~ — общее число требований в системе в момент времени В И'л — вреыя ожидания до начала обслуживания Дчго трсбованнн (нуме- рация требований производятся в порндке пт поступления в систему); Н вЂ” длительность периода занятостк, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
