А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 35
Текст из файла (страница 35)
промежутка времени с момента поступления в свободную систему требования до следующего нсносредствопно момента освобождения системы. Если сУществУют Нш Р(л,= (т)= лд) О, пРичем У я 1 и НщР(И' .< г ь — -е ( г) = Р'(г), где И'(г) — собственнан функция распределопвя, бу- дем говорнть, что существует стациаиарааг распределение процессов я~ в (Итк). Формулами Поллачека — Халчака длл системы М(С((1(аа называгот со- отношения (1 — 2() ) г (1 — Яб,) (г — 1) () (Х вЂ” Хг) ы(г) = г — ). + Х() (г) ' " г — () (й — Хг) Р (г)— справедливые прк Ц~ < 1, где ы (г)=) г 'ЧИ' (г), Р (г) = ~~ г"л„, 2 — питон о А=о спелость входящего потока, В(л) — функция распределсоня времени обслун'нвання, р = ~ тг!В (т), () (г) = ~ е ""аЫ (г).
о о 1ВО Врассессы с ивгависимими приращвкикми. Случайный процесс сь (а, Ь), О ( а ( Ь ( аа, называется кроцвссом с независимыми приращениями, еслк для любых Гь < эс « ... г„случайные величины $с, Ь вЂ” Ь 'о' ' 'о' '' — нсэаввсииы в совокупности. сп сп — т Процесс $с, 1) О, с независимымк приращениями называется однородным, если распределенке г,с т — $с не зависит от г, $ь О. Вииеровский процесс. Однородный случайыый ироцесс шс, 1 > О с независимыми ириращениями нааывается випвравским, если: 1) ись = О почти наверное; 2) дла любых в, 1) О ш,т,— ш. имеет поРмальное РаспРеДеление с ыатематнческым ожиданием О и дисперсией сг (в дальнейшем будут в основном рассыатриваться винеровские процессы с с = 1).
Случайный процесс шс, т ~ )О являетсн ввперовсыим тогда ы только тогда, когда он является гауссовским процессом (т. е. процессом, конечномерные распределения которого гауссовские (ыормальные]) с математическим ожиданием О и ковариациокной функцией К(1, ° ) шш(1, в). Стациопариыв процессы. Случайный процесс $с, гш Т со вначеииями в комплексной плоскости называется стационарным в узком смысле, если для любого и, любых в, гс, ..., 1ь сы Т, таких, что тс+ в, ..., с„+ в сз Т, распределенил случайных векторов ($с,..., ьс ) и с(ч+„..„Ьс «г) совпадают.
Случайный процесс Ес, 1ш Т называется стационарным в широком смысле, еслм Ейс сп сонэ!, Е$4, цс(1 — в). Процессы, стационарные в узком смысле, будем называть просто стациппарпыми. Пусть (1), эд, Р) — некоторое вероятностное пространство. Измеримое отображение Т пространства () в себн иазывается сокракюощим меру ирвобраэавакивм, если для любого' А сы лз Р(Т 'Л) = Р(Л). Множество А называется ипвариаптпым относительно преобразования Т, если Р(Л сь Т 'Л) = О, Сохраняющее меру преобразование Т называется эргодическим, если каждое инвариаытное мноясество А имеет меру О или 1. Случайная величина 4(ю) называется иивариактпай относительно Т, если $(ю) = г,(Тш) для почти всех ы сы й.
Сохраннющее меру преобразоваыне Т называется первмвшивакивм, если длн любых Л, В си лр !!ш Р(АД Т кВ) — Р(Л) Р (В). а ь Пусть $ = (эс, ..., ь„...) — последовательность случайных величин. Множество А с:— Ф называется ипвариаитпым по отиошвпию к последовательности Ь, если существует ВшЯ(В ) (о-алгебра борелевских подмножеств Н ) такое, что для любого и ) 1 А = (ю: (ьь ьь +ь ° ° ) ш В) Стацыонарвая последовательность $ назызаетсн вргодичвгкой, если мера любого инвариантного множества равна О или 1.
Пусть $с — стационарный в ши!юком смысле случайный процесс, КП)— его козарнацнопная функция. Тогда существует веубывающап функция р(Л) такая, что К (1) ) втсьс(Р (Л) р(Л) намгеается спектральной функцией процесса ьс. Если р(Л) абсолютно непрерывна, оо производная /(Л) называется спвктракьиай плотностью. 161 Для всякого ствциоваркого е шяроком смысле случайкого вроцесса $и св О, 1вие) (ген(..., — 1, О, 1...,)), существует процесс ль лщ/г (-л ~ А ~ я), с ортогокальвыкя кркращеккямк, такой, что Ег,=о, Е) г„— г,,)т =Р(Л,) — Р(Л,) е и Если потребовать Я О (л „ 0), то процесс лх определяется одноекачко о точностью до еквквалевткости.
Указанное представление процесса $г взвивается его спектральным представлением. Мартинеалы. Пусть (й, .Ф, Р) — векотороо вероятностное простракство. Т вЂ” подмножество либо числовой прямой, либо множества целых чисел, геи Т, — случайный процесс. Пусть далее, (У Н вЂ” поток о-алгебр, У~с лв для любого Ц У'с ~ У с, 1~ ( 1в, бе — измеРима отиосителько У ь 1 $' Случайный процесс ($ь У и 1 си Т) кааыеаотся мартинсвлвм (српермартингалам, србмартинеа*см), если Е/$Н < вс, С щ Т, Е(1!(У,) = Св (ЕДс~У в) ~ $„Е($~(згв) ~~ $в) при в < 1, в, ген Т.
Когда ве будет указан явно поток о-алгебр У ь предполагается, что и ~ о(В., * < О. е 1. Основные понятия 10.1. Пусть случайный процесс Е, (ю) аадан на вероятностном пространстве ((с, Ф, Р), где (с = (1, 2), Ф вЂ” множество всех подмножеств (с, а Р приписывает вероятности 1/2 множествам (1) и (2). Пусть множество значений параметра Ф есть отреаок [О, 1) и Е, (ю) юй Найти: а) все реализации процесса $,(ю); б) все двумерные, трехмерные, я-мерные распределения процесса $,(ю).
10.2. Пусть случайный процесс $,(ю) определен на вероятностном пространстве ((с, Ф, Р», (с = [О, 11, дй — О-алгебра борелевских подмножеств, Р— мера Лебега, 1еи [О, 1) и 1 при 1~~а, Ь(ю) = 0 при 1) ю. Найти: а) все реализации процесса $,(ю); б) двумерные распределения процесса $с (ю ) . 10.3. Пусть ц — случайная величина с функцией распределения Г(х), 1щ В. Найти все конечномерные распределения случайного процесса Ь = т) + 1.
1ОА. Пусть т) и ь — неаависимые случайные величины, имеющие одинаковое нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и дисперсией 1/2, 1) О. Найти все конечномерные раонродспвпня СЛуЧайНОГО ПрОцЕССа Се = (т) + Ь)/1. 1ВЗ 10.5. Пусть э и ц — случайные величины, причем ц имеет симмегрпчное относительно нуля распределение н Р(ч =0) О.
Найти вероятность того, что реализации случайного процесса ь,=$+с(0+с), с~О, возрастают. 10,6. Пусть т1, и н, — независимые случайные величины, имеющие одинаковое равномерное па отрезке [-1, 1] распределение, С =(Сь С,)~Б СС'. Найти значения а, прн которых почти все реализации случайной функции С,(гп+ С,(т~, + 2а)), монотонно возрастают оо С, при С,=а. 10.7.
Привестн пример случайного процесса $о такого, что множество элементарных событий, которым отвечают непрерывные реализации процесса сь пе является событием. 10.8. Доказать, что если случайный процесс ~о Сю В, стохастически непрерывен на компактном множестве А ~ Л, то он равномерно стохастически непрерывен на этом множестве. 10.9. Доказать, что если случайный процесс стохастнчески непрерывен на компактном множестве А ~ Н, то на этом .множестве он ограничен па вероятности.
10ЛО. Пусть $, — стохастически непрерывный процесс, а я(з)— непрерывная функция. Доказать, что процесс я(Э~) также стохастически непрерывен. 10.11. Привести пример стохастическн некрерывпого на отрезке случайного процесса, все траектории которого разрывны. 10.12. Пусть со Сж(0, 11,— случайный процесс, такой, что все $, независимы в совокупности и имеют одинаковое невырождеиное распределение. Доказать, что этот процесс не является стохастическн непрерывным нн в какой точке. 10.13. Пусть случайный процесс $, непрерывен в среднем порядка р ) О на компактном множестве А. Доказать, что в, равномерно непрерывен в среднем порядка р на множестве Л. !ОЛ4.
Пусть случайный процесс $, непрерывен в среднем порядка р ) О на компактном множестве А. Доказать, что существует такое положительное число С ( , что Е1Ц !' ( С при Сю А. 10Л5. Доказать, что для того, чтобы случайный процесс ф~ был стохастическн непрерывным на множестве Т, необходимо и достаточно, чтобы для любых См г„ж Т Р(В, (~м 1,(~,) = Р(Д, (~„~, ( ~,), 'о' *о для всех хо х„для которых Р(~~,(х„$,,(х,) непрерывна. 10.16.
Нусть фь а ~ С ~ Ь вЂ” стохастнчески непрерывный процесс, 1(С) — неслучайная функция, определенная на (а, Ь1. Доказать, гто случайный процесс т1 =5~+с(С) стохастически непреры- свз вен в тех и только тех точках отрезка (а, Ь], где непрерывна функция 1(1). 10.17.
Пусть З,(ю), 0 ~1< 1,— измеримый случайный процесс, заданный на вероятностном пространстве (1), .вз, Р), а т(ю) — случайная величина, заданная на том же вероятностном пространстве, причем Р(0 ~ т ~ 1)= 1. Доказать, что З, $ч >(ю) — случайная величина. 10.18. Случайный процесс $„— ьо ( г < с», и случайная величина т заданы на одном вероятностном пространстве. Всегда ли является случайной величиной функция З„если: а) т принимает конечное число значений; б) т принимает счетяое число значений; в) т — произвольная случайная величина? 10.19.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
