А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Пусть Ь, — процесс с независимыми приращениями, Доказать, что функция 0"„-< не убывает по г. 10Л59. Пусть ~„а < г» Ь,— однородный процесс с независимыми приращениями. Доказать, что В, стохасти'<ески непрерывен вск<- ду на 1а, Ь!. 10.160. Пусть ьь„!та О,— о.п<ородпып случайный процесс с невависимымп приращениями, <р<(п) — характерною<ческая функции <98 случайной величины ью — $,. Доказать, что р ( ) = (р (н))'. 10.161. Пусть $, — процесс с независимыми приращениями, т)— некоторая случайная вели щна, определенная на том же вероятностном пространстве, что и $,. Будет лн процесс ь, = $~+ ц процессом с независимыми приращениями? 10Л62.
Пусть ~о 1~0,— однородный процесс с независимыми приращениями, пе равный почти наверное постоянной. Доказать, что $, пе является стохастическн ограниченным. 10Л63. Пусть фь 1~0,— процесс с независимыми приращениями. Доказать, что если при некотором 8, Р($~ = сопзь) = 1, ь то РД~ = сопзС)= 1 для всех 1 » С,. 10Л64. Пусть во а < Е ~ Ь,— симметричный процесс с независимыми приращениями. Доказать, что если для некоторой последовательности 1о 1м ..., такой, тто 1„- Ь при п - и 1„( Ь, Р и=1, 2, ..., $~„— ~$ь, гь-~со, то Р Ь- $ь, т- Ь.
10.165 (лродоллеение). Можно лн отказаться от условия симметричности? 10Л66. Пусть $„а < г < Ь,— процесс с независимыми приращениями. Будет лн процесс ц, = 9-о -Ь ( ь ( -а, процессом с независимыми приращениями? 10.167. Доказать, что если $, — однородный процесс с независимыми приращениями, то существует положительная постоянная с (е может равняться + ), такая, что 09, =ей 10Л68.
Пусть в„а(Г(д, О<а~ Ь,— процесс с пезависнмымн приращениями. Можно ли его доопределить па отрезках (О, а) н (Ь, ) так, чтобы полученный (на (О, )) процесс также был процессом с пезависнмымп приращениями? 10Л69. Пусть $, — процесс с независимымп приращениями.
Доказать, что если фУпкциЯ (дь, непРеРывпа по 6 то Ц, стохастнческн непрерывен. 10.170. Пусть $ь 1ем О,— однородный невырождеппый процесс с пезависпмымп приращениями. Доказать, что для любого 1) 0 и любого А )0 Р(!$Л ~А)) О. 10Л71. Пусть $о 8)О,— случайный процесс, причем Ц, равномерно распределена на отрезке [О, 11, а $~ь, ть)0, имеет показате.тьпое распределение. Доказать, что $~ не может быть процессом с незавпсимымп приращениями. 10Л72.
Доказать, что гауссовский случайный процесс с некоррелнрованными приращениями является процессом с незавпсимымн приращениями. 1ОЛ73. Доказать, что любой процесс с пекоррелированнымн приращениями и нулевым математическим ожиданием имеет пределы в среднем квадратическом слева н справа в любой точке 1ы Т. 199 1ОЛ74. Пусть ф, — случайный процесс о некоррелированными приращениями, 1 са В, Доказать, что существует неубывающая функция К(г), такая, что при любых т и з случайная величина $~ — $, имеет дисперсию, равную Р(г) — г'(г). 0 7.
Стационарные процессы 10.175. Пусть А, ц и у — случайные величины, причем А, ц не- отрицательны п имеют произвольное совместное распределение, а у не зависит от них и имеет равномерное распределение ка (О, 2я). Доказать, что случайный процесс $, А соз(цГ+ ф), гы В, является стационарным. 10.176. Пусть $, и $, — независимые одинаково распределенные случайные величины, принимающие значение +1 и -1 с вероятностями 1/2. Доказать, что случайный процесс ц, = $, сов М+ $, в1п М, Г ы Н, не является стационарным, но является стационарным в широком смысле. 10Л77.
Пусть $~ — действительный гауссовский стационарный процесс с пулевым математическим ожиданием и непрерывной корреляционной функцией К(Г), Найти корреляционную функцию процесса ц, = Е~-~.$*. 10.178. Пусть л„1> О,— пуассоновскнй процесс с параметром Х. Доказать, что процесс ~~ я,+, — яо Г - "1, является стационарным в широком смысле. 10.179. Доказать, что если ф~ — стапионарпый процесс и существует предел $, прп 1 — по вероятности, то для любых го Г, Р (~,, Ь,) — 1.
10.180. Пусть Т вЂ” сохраняющее меру преобразование и $ = $(го) — случайная величина с кокечныи математическим ожиданием. Доказать, что Е$(го) Е$(Тге). 10.181. Пусть П =(гоь ..., ы„) — тгпо>кество, состоящее из конечного числа точек, я ~ 2, лФ вЂ” множество всех подмножеств, Тю~ ыы„1 ~ 1 ~ л — 1, и Тю„юь Доказать, что если Р(ю,) 1/и, то Т вЂ” сохраняющее меру преобразование. 10Л82. Пусть (П, Я, Р) — вероятностное пространство, где П [О, 1), М вЂ” и-алгебра борелевских множеств, Р— мера Лебега. Пусть Л ю (О, 1) и а) Т(х)-(х+Х)щой1; б) Т(х)=2хшоб1, Доказать, что Т является сохраняющим меру преобразованием. 10Л83. Пусть й-'10, 1), ят — множество борелевских подмнон:еств 10, 1), Р— некоторая мера с непрерывной функцией распре- 200 деления. Показать, что преобразования Тх Лх, 0 ( Х ( 1, и Тх = х* не являются преобразованннмн, сохраняющими меру.
10.184. Доказать, что класс множеств, инвариантных относительно сохраняющего меру преобразования, образует о-алгебру. 10Л85. Рассмотрим то нщ вероятностное пространство, что и в задаче 10Л82. Доказать, что преобразование Тго=(го+? )шоб1 ар~эдичке в том н только том случае, когда Л иррационально. 10.186. Показать, что случайная величина является инвариантпой относительно некоторого сохраняющего меру преобразования тогда и только тогда, когда она измерима относительно о-алгебры ннварнантных событий.
10Л87. Показать, что событие А является инвариаптным относительно Т тогда н только тогда, когда Р(Т-'А'~А) 0 илн Р(А~Т-'А) О. 10.188. Обладает ли преобразование, рассмотренное в задаче 10.185, свойством перемешпванпя? 10.189. Доказать, что преобразование Т есть перемешпвание в том и только в том случае, когда дчя люоых двух случайных величин $ и тн имеющих коне шые дисперсии, Ес(Т"ю)ц(ю)- Е5(ю)Ец(го), и— 10Л90. Является ли стационарной последовательность попарно независимых одинаково распределенных случайных величин? 10.191.
Пусть ~о 5..... — последовательность одинаково распречеленных случайных величин, причем $< не зависит от $; †, и Является ли зта последовательность стационарной? 10.192. Пусть с = Яо 5.....) — гауссовская стационарная последовательность с Е~„ = 0 и ковариационной функцией В(и) = Е5,~До Показать, что условие В(н)- 0 является достаточным для эргодпчпостн с. 10.193. Доказать, что всякая последовательность, состоящая из независимых одинаково распределенных случайных величин, является зргодической.
10Л94. Показать, что стационарная последовательность (зо Ьь ,. ) эргоднчна в том и только том случае, когда длн любого В ~и Я(В"), й 1, 2, ..., и 10.195. Указать условия, при которых однородная цепь Маркова является стационарной последовательностью. 10.196. Пусть 1(хе ..., л„) — измеримая вещественная функция, определенная в В +', н (з„) — стационарная последовательность случайных величин. Доказать, что последовательность (д„), где Ч )й,..., $„+ ), также стационарна. 201 10.197. Доказать, что для того, чтобы последовательность случайных величин (ьи) была стационарной, необходимо н достаточно, чтобы для любого т > О н для любой ограпнченной измеримой функцнн Дх„..., х„,) Е/(Е„, ..., $.~и) не зависело от п.
10.198. Доказать, что пз эргоднчностн последовательпостн Ц„ й > О) вытекает эргодпчность последовательностн (Ч„, й > О), гдо Чи = )йь ..., «~~.,), а )(х„ ..., х ) — пронзвольпая измеримая Функция. 10.199. Пусть (й„) — стацпонарная последовательность, а 1„(хь ..., х„) такая последователькосгь функцнй, что ) ($о ..., "„) сходится по вероятности к некоторой случайной велпчнне Ч,. ПолоР жнм Чь = )нп )„($„, ..., ~ььи). Доказать, что (Ч„) — стационар- и нал последовательность н опа зргодпчна, сслн эргоднчпа ($и).
10.200. Доказать, что последовательность (з,) эргоднчна тогда и только тогда, когда для каждой измеримой ограниченной функцнп )(хь...,х ) и — 1 Ппт —,~~ 1%ы ..., $ ь ) = Е1 К„..., 1 ) 1 в=о 10.201. Пусть Ц,) — стационарная последовательность, Е$Ą— — (ЕЬ)'- О прн и- . Доказать, что и-т 1 'ьл П вЂ”,~ Ь вЂ” Е$,. л 10,202. Пусть ($„)„ь, — гауссовская последовательность. Доказать, что для стацнонарностн этой последовательностн необходнмо н достаточно вынолненне равенств Ефи Ефа, я>О, Е~Д„=Е~„фд,и, й>О, н>О.
10.203. Пусть $, — однородный процесс с пезавнснмымн прнрагценнямн. Доказать, что прп Ь > О процесс ~~ 1~+а — ги стацкооо нарев. 10.204. Пусть у(1) — непрерывная периодическая функция с нернолом Т, $ — случайная велнчнна, равномерно распределенная на отрезке 10, Т]. Показать, что процесс $, 0(1 + З) является стацнонарным. 10.205. Доказать, что сумма независимых стацнонаркых случайных процелсов является стацпопарным слуЧайным процессом.
10.206. Пусть ~~о ..., Е„, 8„..., Ои — независимые случайные величины, 8,, ..., 8„равномерно распределены на отрезке [О, 2л,'. Доказать, что процесс и ~, = ~З~ Зь сов (й(0„+ 1)) ь=г является стацнонарным. 202 10.207. Пусть Цо г ~ Π— гауссовский процесс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
