А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 43
Текст из файла (страница 43)
250. а) И, й, О, 1/4); [!/4, 3/4), [3/4, 1], [О, 3/4), [1/4, 1], й'»[1/4, 3/4), б) Ф (т. е. о-алгебра орелевскых подмыоя»еств отрезка [О, 1]), в) И, й, 2.51. Всевозл»ожные мнозкества вида () (А+ 2лй), где Л вЂ” борелевские сымметричные отыоситвиьно л начала координат подмножества отрезка [ — я, и], А+ а — сдвиг множества Л на а вправо.
2.52. а) А = () П ($и ~ т). 253. Пусть вероятностное крою=1 и -1 странство (й, Ф, Р) представляет собой отрезок [О, 1] с а-алгеброй борелев- СКИХ ПОДМНО»КЕСтн и МЕРой Лебега. Положим э = эь Поскольку каждая случаииая величина на этом вероятностном пространстве является борелевской функцией ю, а ю = 5, каждая случайнаи величина является борелевской функцией $. 214 лч 2.54. () А„= [О, 1), П А„= 10, 1/г'$) (зеспользУйтесь тем, что г~з-; ° 1 при з=! е=! а-лое и >и!п1/> я=1!') 3). 2.55. Интеграл Лебега по мпокеству нулевой з меры равен пулю, 2.56.
Если Р($ = О) = 1, то Р($>= 0) = 1 н, в силу предыдущей задачи, Е$> = ЕО = О. Пусть Е"' = 0 и предположим, что Р(2 = 0) ( 1. Тогда существуют з > 0 и б > О, такие, что Р()2( =» е) ) б. Но тогда езл.--. =- 1 6з (е>) Р(йы) ) ) 2 (ы] р(йы) ) е б) О. 2.57. Достаточно воспользоваться Я )В>е неравенством (шах ($, Л) ) ( ) $) + ) П) Ооратпое, вообще говоря, иеверпо.
2.56. Воспольауйтесь равенством $+ >! плш ($, П) + шах (взю >!) и следующим очевидиым неравенством, справедливом для любых веществеппых а и Ь: (а) ( )щах (а, Ь)(+ (тш (а, Ь)), 259. Дока>нем, например, первое веравенство. Для любого 1 ( ! ( к 2> ~ щах (2>, ..., 2,) и, значит, 6$» < ~ Е щах (2>, ..., 2 ). В силу произвольности л это означает, что !пах (Е$„..., Е$ ) ( Ежах ($„..., 2 ). 260.
$ = >! и $ имеет распределение с плотность о — з прп х ) 0 п 0 прп х ( О. 2.61. Последовательпость 1+ хз з Лз= ~ за частичных сумм удовлетворяет условиям теоремы о монотонной з-! сходимости, поэтол>у Нт Е>)я = Е Н>в пз, откуда следует нужное соотвоп>ез >> и Ф кне. 2.62. Воспользуйтесь теоремой о мовотонвой сходимости.
2.63. Поло>ням в В„=- П Аа. Тогда последовательвость Вь В>, ... пе возрастает в, следовал=! я тельпо всплуаадачи236 Р ~ П Аа~ =Р~ () Ва) =!!щ Р(В ) = Пт ПР(А ) = А=! а ! >л о з а ° з П Р (Аз). 2.64. Воспользуйтесь предыдущей задачей и тем, что для а=! абсолютпой сходимости бескопечпого произведения П (1+ а„) к иекоторо- му отличноыу от нуля пределу, пеобкодимо и достаточно, чтобы ряд ~ЯД~ а„ з=! абсолютно сходился. 2.65. Пусть М вЂ” произвольное семевство попарно веэависимых событий. Докажем, что для л>обого Ь = 2, 3, ...
и любыч Л ь >1„... Ай гп М выполняется равепство Р(А, П ... ПА!) Р(А,) ° ... ° Р(А>) (т. е. все элементы М везависимы). Поскольку А>, Ал, ... Лл пе зависят от Аь :>тип >ке свойством обладает вх пересечение (множество событяй, ве зависящих от 4„образует алгебру и, следовательно, аамкпуто относительно копечпых иересечезий), поэтому Р(Л> () ... ПА!) = Р(Л>)Р(Л>() -.. () Ал). Акал >- гиз>иле рассузсденкя показывают, что Р(А! О ...
О Лл) = Р(А>)Р(А> П .. О Лл) и т. д. В ковке кокпов приходны к (!). 2.66. Если все событяя имеют вероятности, разил>е О иля 1, то все опи, очевидно, независимы и тем более попарно независимы. Обратно. !!усть все события попарио независимы и существует тз>лл е г Г>ытзг Л, что 0 ( Р(А) < 1. Тогда О ( Р(А] ( 1, и Р(АА) = Р(Ы) = = ОФ Р(А)Р(А).
267. Нет (например, А ке зависит от В н, следовательно, В пе зависит ат А, по А, если опо имеет вероятность отличную от нуля и едипяцы, зависит от А). 2.66. Нет. Пример; П = (1, 2, 3, 4), А = (1, 2), В (4), С = (2, 3), Р(1) = Р(2) Р(3) = Р(4) 1/4. В зависит от А, С зависит от В, ио С пе зависит от А. 2,69. Достаточность очевидна. Необходимость.
Пусть 215 отиощенве независимости транзитпвно и существует событие А такое, что О < Р(А) < 1. Тогда И не зависит от А и А не завмскт от И, но А, очевидно, зависит от А,что противоречит травзитивности. 2 70. (Р(А Д А) — Р(А)Р(Л)) = )Р(А) — Р(А)Р(А)! Р(А)(1 — Р(А)) < е.
Решая отыосительво Р(Л) полученное квадратное неравенство, получаем Р(А) < (1 - )<1 — 4е)/2, либо Р(Л) ~ (1 + 71 — 4е)/2. Остается' воспользоваться неравенствами (1 — У! — 4е)/2 < < 2е, (1+ 71 — 4е)/2 рз 1 — 2е. 2,71. Пусть Р(А) < е. Тогда Р(А)Р(В)< е н Р(ЛВ) < Р(А) ~ е и, следовательно, (Р(Л)Р(В) — Р(АВ) ! < шах(Р(Л)Р(В), Р(АВ)) ~ е. Если же Р(А) ~ 1 — е, то Р(А) < е и, следовательно, А и любое событие В е-независимы, откуда (см.
следующую задачу) получаем е-независил<ость событий А и В. 2.72. а) Имеем Р(АВ) = Р(В) — Р(АВ), Р(А)Р(В) = (1 — Р(А) )Р(В) Р(В) — Р(А) Р(В), поэтому ) Р(А) Р(В) — Р(АВ) ! = (Р(А)Р(В) — Р(АВ) ! ~ е; б) и в) доказываются аналогично. 273. Кал<дыйзлемент алгебры, порожденной полуалгеброй, представим в виде конечного объединения непересекающихся злементое полуалгебры. 2.74. Пусть ле — произвольная алгебра событий и о(Ф) — порожденнан ей о-алгебра. Покажите, что для л<обого А о(,Ф) и любого е > 0 найдется В, ш Ф, такое, что Р(А << В,)< е.
275. Нет. 2.76. Обозначим а-алгебры, фигурирующие в условнн задачи, .Ф и М. Пусть Л <и аэ и Вш М и О < Р(А) < 1, О < Р(В) < 1. Предноложим, что л4 О М вЂ” алгебра. Тогда Р(АВ) Р(А)Р(В) О влп 1 и АВ<пФ.!) М п, следовательно, либо ЛВ<и,Ф, либо АВ <и М. В перес<< случае АВ на зависит от В, во втором— от 'А и, следовательно, в первом случае Р(А) Р'(В) = Р(ЛВ) Р(В) = Р(АВ () В)— = Р(АВ) - Р(А )Р(В), 'во втором — Р<(Л)Р(В) - Р(ЛВ)Р(Л) = Р(ЛВ () В)— =- Р(А) ° Р(В).
В обоих случаях «риходнм к противоречию. 2.77. Нет. Поло<кны 1 с вероятностью 1/2, 1=<) = — 1 с вероятностью 1/2. 2.78. Нет. $ не равно с вероятностью 1 постоянной, з) 2, <р = — $. 2.79. Если случайная величина $ ве равна с вероятностью 1 постоянной, то существует борелевское множество В на прямой, такое, что О < Р($ <пВ) < 1.
Но тогда Р(э ш В, $ <и В) 0 ча Р(э <и В)Р(э ш В). Если же э равна с вероятыостью 1 постоянной, то она ве зависит от любой случайной величины, заданной ыа том же вероятностном пространстве к, в частности, от самон себя. 2.80. Когда для некотоа / < рого вещественного а событие ~ (! (э = а+ 2яй)) () ~ () (ь = — а+ 2лй)) зй= а=- имеет вероятность 1.
2.81. а) Нет, б) да, в] да. 2.82. Возьмем произвольное из к злел<ентарных событий — ыь Пусть $ и <) — произвольные случайные величины, определеныые ыа этом вероятностном пространстве и принкмающио к рааличных аначений каждан. Положим 2(ы,) = а, <)(ы,) = Ь. Тогда Р(е = а) Р((ы<)) Р(<! = Ь) (зто справедливо, так как ые существует лругих элементарных событий, ка которых й прпннв<ало бы значение а илн з! — Ь). Имеем Р($ а, <! = Ь) Р((е«)), Р(2 а)Р(<! = Ь) = Р'((ы<)), т. е. э и П зависимы.
2.83. Пусть й — число различных событий из М, вероятноотп которых отличны от 0 и 1. Очевидно, й < а — 2. Предположим, что пн одна из случайных велычин $„..., $ < пе равна с вероятностью 1 постоянной. Тогда существуют вещественные чысла аь ..., а, „такие, что 0 < Р(э< а<) < < 1,2, ..., в — 1. Обозначим А< (й< = а<). Имеем и — 1 событие, вероятности которых отличны от 0 н 1, следовательно, по крайней мере деа из нпх совпадают: А< А<, 1чь/. Но тогда Р(Л<) = Р(А<А<) Р($< а<, й< = ай = Р(3< а<)Р(8< а<) Р(А<)Р(А<) Р<(А<).
Противоречие. 2.84. Воспользуйтесь тем, что на етом вероятностном пространстве нет двух независимых событий, каждое из которых отлично от И и О. 2.85. Напрямер, й(1) $(2) О, э(З) $(4) 1, П(1) П(4) О, <)(2) П(3) 1. 2ВО. Нет. (а-алгебра, порожденная случайной велвчнной $, совпадает с Ф и, следовательно, содержи< о-алгебру,пороя<денную любой другой случайной величиной). 2.87. Воспользуйтесь тем, что а-алгебра, порожденнан случайной велвчиыой шш (1, й) содержится в о-алгебре, порожденной й, и то же самое для П.
2.88. Воспользуйтесь тем, что (ы< шш (а, $) ~ а) (ы: 2 ~ а), (ы: ш!и (Ь, <!) ~ Ь) (ок <! ) Ь) 2!П для любых а в Ь. 2.89. о-алгебры, порожденные случайными величинами /(6) н х(т«) кривадлежат соответственно о-алгебрам, порожденным случайными величяпзми $ и тг 2.90.
Могут; ответ не вэменитсп. 2.91. Да. Пусть вероятностное пространство (П, Ф, Р) представляет собой отрезок (О, 11 с о-алгеброй борелеэских подмножеств и мерой Лебега. Положим $ ьь /(з) 1 при з>1«2 и /(з) 0 при х < 1/2, 6(з) 1 при 1/4»«; з < 3/4 и 6(з) 0 прв остальных аваченнях аргумента. тогда /(2) /(оз) и 6($) х(м) и легко вндетг» чт» й(ы) н 6(ы) независимы. 2.92. Р($ > О, П > 0) < Р($+ т« > 0) 1/2 < 9/16 Р(2 > 0)Р(т«> 0). 293.
рт Р($ > 0)Р(т«> 0) Р(2 > О, д > 0) < < Р(ф + т«> О) < Р(($ > О, т«> 0) (/ ($ > О, ъ) < 0) (/ Ц и, О, «) > 0)) Р(6 > О, «1 > 0)+ Р(ф > О, т« ~ 0)+ Р($ <О, т«> 0) Р(ф > 0)Р(т«> 0)+ + Р(2 > 0)Р(т«< 0) + Р($ < 0)Р(П > 0) рэ+ рд+ рд рэ+ 2рэ 1 — 1«. 2.94. Нет. Рассмотрим вероятностное пространство (П, зй, Р), где П (1, 2, 3, 4), зз — множество всех подмножеств Р., вероятности задаются следую«цим образом; Р((1)) = Р((2)) Р((З)) Р((4)) 1/4.
И положим 2(Ц= $(3) О, 2(2) ф(4) 1, т«(1) т«(2) 1, т«(3) р(4) О, ~р(1] «р(4)= О, т«(2) 4«(3) 1. Очевидно, $, тв з«попарно независимы, по Р($1, т«+ 4«2) 1/4 чь Р($1)Р(«) + Е 2). 295. Да; вообще говоря мзменвтся. 2.96. Для любых з» ..., з„события ($, < зь ... 2л < ль) я (2»+~ к. за+» ..., $» < з») неааввсимы, т. е. независимы о-алгебры, порожденные соответственно случавными величинами $» ..., $» и 2»+» ..., $,. Но о-алгебра, порожденная 1«(Е» ..» 2»)(4«(2»+«, ..., 2„)), првнадлежит о-алгебре, порожденной 6» ..., Еь (фзьь ..., Е ).
2.97. Положите $ж «/Ь при«/Ь < $, < < «+1/Ь. 2.98, з) Да (т« = — $), б) да (т«1/$), в) да ($ принимает аначенпя — 1 и +1, П вЂ” $; тогда $ + т«0, $0 — 1). 2.99. Положим П = (1, 2, 3, 4), зэ — множество всех подмножеств И, Р((1)) Р((2)) Р((3)) = Р((4)) 1/4, и рассмотрим па вероятностном пространстве (П, л«, Р) случайные неличяны ф п ж определенные следующим образов«. Ъ(1) 1, В(2) — 1, 2(3) = $(4) О, п(1) т«(2) О, т«(з) 1, п(4) = -1. Вти величавы зависимы, так как Р(2 = 1, и — 1) = 0 «ь 1/16 = = Р($1)Р(т« = — 1), но тем не менее е$«) = 0 е$еп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
