А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 46
Текст из файла (страница 46)
3 85. Имеем ) [х(о «(г (х) < ао, следовательно, ~ ) х)~«(р(х] -ьО )х)>! при 1-ь~. Но ~ )х(о«(«"'(х)>!о ~ «(г" (х) !"Р(($!>!)>О. Отсюда (х)>! !х(>! следует нужное соотношение. 3.86. Положим С(х) = 1 — г" (х) Ч- Р( — х). Ирп любом Т > 0 интегрированием по частям получаем т т — хо «(С (х) + уиС [Т) = ] «зх~ ! С (х) с(х, откуда следует равенство интегралов о о Ю вЂ” ~ х~«(С(х) и сг ~ хо 'С (х) «(х, если хотя бы одия иэ пял конечен.
о о 3.87. Воспользуйтесь предыдущей задачей. 3.88. В силу вадачи 3.75 имеем Е ш! и Я, !)) = ~~ Р (ш(в (Е, «)] )» !) = Ч~~ Р ($ )~ г, !) )~ 0 = Ч ', Р (й )~ !) Р (!) > !) . г-! «=1 «=! 389. Прежде всего заметим, что в силу существования ЕЕ х(1 — г"(х)) -«О нри .т — со (см. аадачу 3.86). Итак, имеем « о= ~ х«/Г(т) = — 1 х«)( — г (х)) = ~ х«((1 — р(х)) = — х(1 — р(х)]]е + е е о !" 1 + ) (1 — Г (х)) Н.г = ~ (1 — г" (х)] «)х. 3.90. Имеем ~ — «(г" (!] ~ о«, слелова3го о о е х ь х «" 1 1 (' тельно, ) о «/г (!) О при х-ь О. Но ), «/г' (!) ~ )) «//«(!) е о о 1 д (х) — р (с ~ х) = — )О.
Отсюда следтет нужное соотношение. 3,91. Решето .о пие полностью аналогично решению задачи 3.89. 3.92. Имеем Ез" ) хо>(г" (х) о имеем ход(х) ~ ' — ~ Р(х) (хо — а ~ха->Р(х) 1х (и! ~хо->Р(х) >)х. о е е и 3.93. Функция С(х) =П К(х+л) = Ит Пг" (х+ Ц существует кан про»=1 ии»» 1=! дел монотонно невозрастающей последовательности функций. Далее, С(х), очевидно, непрерывна справа, монотонно не убывает и Ию С (х) = О, и — » позтому достаточно доказать, что С(х) — 1 при х -»+ ии. В силу ко»» вечности математического ожидания сходится интеграл ) (1 — г (х)) >Гх е (см.
аадачу 388) и, Следовательно, при х ) О сходится ряд Ч~~~~ [с(в+ я) — 1)= и-! » — ~(1 — К(х+ л)). Выберем тз тан, чтобы р(хс) ) О. Тогда при *и хс и ! Иш = 1 и, значит, при * > хс равномерно сходится ряд )в и" (х+ и) и ° 7> (х+ и) — 1 ~~ !в г" (х+ л). Осуществляя ночленный переход к пределу, получим и-! ОО Ию 1пС(х) Ию ~ 1пг (с+ и) =О, т. е. С(х)-»1 при х-»ио. 3.94.
0» и»» х ~ (Е($! — 1)'= Е(ь(! — 29($(+1 04+1 — 2Е)з!. 395. Воспользуемся предыдущей задачей. Имеем Е ' " ц; 0 = — (О» +1).398. Е1» = 2Ртл, Г>»» 2РС(1 — 2де)и+ ЗРИ(Р— 9)>(л — 1). 3.97. а = — 73, Ь = 73. 398. Пусть и"(х) — функция распределения случайной величины $. Пе ограничивая общности, будем считать, что а ( О. Полагая еи Ь= — е, Е ! $ -(- и ! = Е ! З вЂ” Ь ! ) ! * — Ь ! >1Р (х) = ) и> (х)— ь ь ь » )и" (х) — о ~ >(г" ( )+Ь ~ >Гг" (х) ~2~ )и" (х) = Е(з!.
3.99. Пусть -Ю Ь вЂ” » е случайная вслнчнва т) с вероятностью 1 равна пулю, а $ принимает значения -(-1 н — 1 с вероятностями 1>2 каждое. Тогда Е(>)+а(=)а!- 1 )и — 1! )и-)-1! 1 ! а — 1+ а+1 ! ~ 2 + 2 =Е(в+а!. ЗЛОО. Пусть)г(х) — функция распределения ь. Тогда Е(!+с)И= ~ Е($+х(хйР(х) ~ Е(ц+х!"сд(х) Е ! !) + ~ (о.
ЗЛО(. Пусть Р (х) — функция раснределения Ь. Тогда Е ! з + ь (~ 15» 227 ~ е)2+а)~яг(х) < ~ е) >!+х)хкр(х) = е) >]+ь)". 3 102. Вслучаеа) зос« « пользуйтесь задачей 3.91, а в случае б) — 3 эх, ЗЛОЗ. Коли х < э>, то >пах(х, а>) э> ЕЗ <Е шах(х, 5), если х)~ т, то шах(х, т) х Ех ~ Е шах(х, Ц.
3.104. Функция распреде>>экий случайной велвчвны п>ах(х, 2>) равна 0 при с <х, Р(>пах(х, ь>) <с) =(р>(г) при ! ~х « и, следовательно, в силу аадачи Х89 Е шах(х, Ц = х+ ) (1 — рг(г)) А>, отсю- да следует нужное утверждение. 3.105. Используйте предыду>цую задачу. ЗЛ06. Воспользуйтесь аадачами ЗЛ04 и 3.105. ЗЛ07. Существует А, такое, что 1 1 и 1 Р(й,м А) ~ 1/2, Тогда Е ( 4+ а )а ~ —. Е ! А + а ] > ) 2 Е ) а — ) А ))и = —. ) з— — ( А)(з-ь««при а- ««.
ЗЛОЗ. Пока>ките, что функция /(а) = Е(5 — а)'" ' моно- тонно убывает по а (можяо, например, нродифферевцяровать (5 — а)г« ' по а прв каждом фнксиронанном элементарном событии). ЗЛО9. Воспользуйтесь не- равенствами (а+ Ь) < а«+ Ь", а, Ь ) О, О < а <1, (а + Ь]« ~ < 2«-'(а + Ь ), а, Ь ~ О, и ~ 1. 3.110. Длн любого ееществепк >го а имеем Е(З вЂ” а)> 08 6$> Займ+ а> — Е$>+ (ЕЗ)> а> — 2«Е$+ (ЕЕ)> = — (а — ЕЗ)> > О. 3.!1!. Продифференцируем по х функцию /(х) = Е($ — х)>" под знаком математического ожидания; получим /'(х) = -2лЕ($ — х)'"-'. Ис- пользуя аадачу ЗЛ08, видим, что Е(5 — х)" достигает минимального зэаче- »вя в единственной точке, а именно там, где 6($ — х)'"-' = О.
ЗЛ!2. ЕЗ вЂ” Е>! = Ю « х/ (х) Ах ~ ха (х) Ах = Г х (/ (х) — я (х]) дх + ~ х (/ (х) — Л (.г)) Ах ~ М « а -ы 4« а <а ) (/(х) — 8(х)) >)х+ з ~ (/(х) — я (х)) да = а ) (/(х) — Е(х))»х. Вторая з « часть доказывается аналогично. 3.113. См. задачу 347.
3.1!4. пз ~~ оз. ЗЛ15. Нет. ЗЛ16. Для любого вещественного х Е(хй+ ц)> =«О. Но Е(х$ + >)>) х'ЕЗ>+ 2хййц+ Ец'. Таням образом, дискримивант квадратного трекчлена, стонщего в правой части последнего равевства, неположвтелев: 4(Е««ц]>— — 4ЕЗ'Е>!з < 0 ичи (Е$>!)> < ЕЗ>Ец>. 3!17. Воспользу»тесь элемептарныы вера)х(" (ЬР 1 1 !' 5 вевством )аЬ) ~ — „+ —, г) 1, — + — =1 пололште а = (Е ) з (г)> 1 > Ь= ). 3.118. Пока>кем, что если 0 < з < г, то (Е) З)")" '~(Е («ь)')' ° (Е ) >>)>)' >( ! Положим г= —,ц = ($( ° я применим веравепство Иенсена к фупкции д(х) (х('.
Получим )Е>))" < Е(ц(', т. е. (Е) З)г)'~(Е) 5)'. 3119. Воскользуй тесь неравенством Иенсена. ЗЛ20. Используйте элементарное неравенстве (а+ Ь) и, (а)" + (Ь(', О < а < 1. 3.12!. Прв г 1 неравенство оченкдло Пусть г чь 1. Имеем Е) 3 + >!) "<Е(($(($ + >)(' ')+ Е()>!(($+ц)' >~я (Е(2)')»'(Е)Я+я)"-»')» ° + + (Е(ц)]» (Е)5+ 8(> -» ° )> = ((Е(8)г) > + (Е)ц( )'>")(Е)5-). >)) 228 Исключал тривиальный случай Е)2 + ц!' = 0 и заиечая, что (г — 1) з г, рззделттзт обе части иа (Е)$+ т!!')ц' и получим доказыэаелтое неравенство. 3.122. Пусть г'< г, По неравенству Ношп — Бупкковского Е]$!' — г+г' ! ° Е ! ~ ! 1 ь ! з (~ (Е ! 2 )г " Е ! э ]г г )з Взяв логарифм от обеих частей, получим 1«К Е ! 3! < 2!од Е11! ' + 2 !одЕ ! $! т ', что и означает выпук- 1 1 г.т-г' ность функции !оЕЕ[Ц' по г.
ЗЛ23. Сзт, рещение задачи ЗЛ22. ЗЛ24. В силу задачи 3.!22 !одЕ)Ь!' выпукла как функция г, т. е. 1оЕЕ)ц«*+ц «)г н, л — га сй а!о9 Е! э[*+ (1 — а) !о9 Е[2]г, х, у ) О, 0 < а < 1. Положим а = —, и — лт лт — ! т=!, у=л. Получим !оЗЕ)$)~~ (— „! )оЕЕ)~]~+ — „1!оЗЕ)$!" или !лЕ (Е)1) )" ' < !о3 (Е[ 2!')"-'" -1- !од (Е[$!«) ', откуда вытекает нужное неравенство. ЗЛ2л. Докаигем вначале правое неравенство. Используя неравенство задачи 3 120, получим Е! Ц вЂ” 2т]" = Е! (Ц вЂ” а) — (ьт — а) !' ~ (Е! Ц вЂ” а!'+ + Е[ст — а!" = 2Е]Ц вЂ” а!'. Докажем теперь левое неравенство. Положим г(т) = Р([Ц вЂ” тЦ! ) 1) и р(т) = Р()1, — Ьт! ) т).
Тогда в силу аадачи 3121 з(т) = 2у(г), Отсюда, применил интегрирование по частям, залучаем Е ! Я вЂ” глт [г = — ~ гтт(Е(1) < ~ д (т) т(11 <2 ) РОВт)1"= — 2 ~ тт(р(1)=2Е]ф— о о о е -С !'. 3.126. Доказательство левого неравенства в точности такое же, как и в т ' предыдущей задаче. Для доказательства правого неравенства используем эадзту 3!!9 (при л = 2), Получим Е]$т — Ет]г Е)(Ц вЂ” а) — (Зт — а) !'< г" 2'-'Е)Ц вЂ” а!" +2" — 'Е]зз — а!" =2Е[Ц вЂ” а!". 3127.
Воспользуйтесь элементарным неравенством ]х+ у!'+ ]х — у!'<2(]х!" + ]у!'), 1 <г~ 2, и одинаковой распределенностью случайных величин Е + ц и Š— гь яз КОтОрОй, В ЧаетНОСтп, СЛЕдуот, Чта Е! э+ т)]г = ~ (Е!";+ т) )в+Е)Ь вЂ” Ч!'). 3.128. Используйте предыдущую задачу. ЗЛ29. Из неравенства Иепсепа следует. что длк лтобого х и г) 1 Е[х+ ц!') 1Е(х+ ц)!' = [х!".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
