А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 50
Текст из файла (страница 50)
х ' . 3.264. Пз условия задачи следует, что Р(ь ) ц+ е] " с --2Ь,' ' и Р(Е = с! — г) - с. Из первого неравенства получаем Р(4 < «) ) гв Р(ц+ е = х) — е = Р(ц з — с) — е для:побого з. Аналопсчпо из второго— Р(5 < з) Р(ц (х -1- е) + е, т. е. С(х — е) — е < Л(з) < С(с+ с) +е, откуда !.(!', С) < е.
3265. Длп любого борслсвского плоскостна с1, применяя формулу полиод всроптностн, но.сучасм )Р(3 с= Л) — Р(ц ~ Л) ] = (Р(5 я А) 5 = ц)Р($ = ц) + Р(ьь с= Л(4 чь ц)Р(5 чо с])— 24! — Р(ц шА(6 = ц)Р(» = ц) — Р(ц ш ~)Ф чь ц)РЙ чьц)! = )Р(» ш Л !» чь ц)Р[» чь т[) — Р(г[ ш А !» чь ц) Р(» чь ц) ! = Р(с Ф ц) (Р[ь ш Л! е Ф ц) — Р(ц ш Л [ь чь ц) ! < < Р(ф ~ г[) )пах(Р[2 )= Л ! 3 Ф ц), Р(ц ш Л !» чь т[) ) < Р[3 Ф ц).
3.266. Докажем левое неравенство. Полок)пи й = апр ! Р (х) — 6 [х) !. Тогда х С(х) < Р(х) + й н Р(х) < С(х) + й п, следовательно, 6(х — й) — й < 6(х) — й < Р(х)+ А — й = Р(х) < С(х + А) < С(х+ А) + А. Докажем правое неравенство. Для любого й ) Ь(С, Р) 6(х — А) — й < Р(х) .. С(х -[- А)+ й н, следевательно, Р (х) — 6 [х) ~ 6 [х+ й) — 6 (х) + й ~ зор 6' (хтй + й. Апалогкчно Р(х) — С(х) ~ — зпр 6'(х) — й, 3.267.
Не ограничивая общности, можх но считать, что Ь(Р, С] ) О. Для любого полокгительного й < й(Р, С) существует такое хл, что верно одно из следующих двух неравенств: Р(хь) < С(хл — А) — А, Р(хл) ) С( ь+ й) + й. Пусть, например, выполнено первое неравенство. Тогда л "л ! Р (х) — С (х) ! дх ) ) (С (х) — Р (х)) )[х > ) [С (х) — Р (х),)) )[х > »» х — л л х — Л л' Л > ) (6 (*) — 6 ( „— й) + ))) йх ~ й» х -л л ою)уда следует нужнее неравенство.
3.268. Не ограничивая общности, можно считать, что математические ожидания, соответству)ощие функциям раскределевин Р,(х) и Рз(х), равны нутю. Положим й ) А = (2шах[а, о ))з)з) А = (х: ! х!) —. ы з Иа неравенства Чебышева следует, что (см. задачу 3.65) ! Рд (х) — Р (х) ! ь, шах (оз„оз) поэтому впр ! Р (х) — Р (х) ! < А.
Следовательно, при всех хыА х св А Р,(х — й) — А < Р)[х) < Рт[х + Л) + А. (2) если х фА, то, применян неравенство Чебышева, получаем 1 — Рг(а+ 1)) и; < 1 — Рт(А/2) < й, Рг(х — А) < Рт(й(2) < й. Поэтому при х ф Л Рз (х — й) — й < О ~ <Р) (х) < 1 < Рз(х + Ц + й. (3) Из (1), (2) и (3) получаем нулгпое неравенство. 3.269. Вослользуйтесь задачей 3.237. 3.270. Для любого х ил)еем » )),.а)*)-» ° )*))=! 1»,) — )~)*) — [»,) — )а)*)!х 1- ° » ) )Р ( — г) — Р [х — )Д)[6(х)С з р)Р ( )-Р (х) ! ~ )[6(х) = зпр(Р (х) — Р (х) !. -Ю х »2». » )», ) 1 )А — ) )»*) — [ )» — ° )»ыь)/ч А 232 (еор берется по всем Г>орелевскилс множествам Л) (эггр ) !у (Л вЂ” х) — у (А — х) (О (г/х) ( ! г/аг(у, у )О (г(х) = — тгаг (у, у.).
л 3,272 Положим Ь = б(Рь Р,). Имеем Рг(х — Ь) — Ь < Рг(х) < Рг(х+ Ь) -!- Ь, откуда Р (х — с) г(С (с) ( ~ (Р (х+ /г — П+ Ь) г(С (с) = )г Р (х+сг — с) НС(с)+ Л Р (« — с) г(С(с) ) ~ Р (х — Ь вЂ” с) г/СОИ вЂ” Ь 3.273. Припените индунцию н воспользуйтесь задачей 3.270. 3.274. Воспользуйтесь вадачей 3.271. 3.275.
Достаточво провести доказательство для случая я = 2 (далее по индукции). Воспользуемсл задачами 3.272 и 3.262. Имеем Б(Рг» Рг, Сг» Сг) ~ = ЦР, Рь С, Р,) + б(С,»Рь С, С',) ~ ЦРь С,) +'б(Рь СИ. 3.276. См. решение гледуюшеп задачи. 3277. Имеем Уаг(Р, О) = эггр ! у (А] — О (Л) !. Пусть Л вЂ” пропзвольное борелевское множество. Имеем лло Е*Н (А) — О»Н(Л) = ~ р (А — ) Н (ф ) — ~ О (Л вЂ” х) Н ( 6 ) (р(л) — о(лИ н(ух)+ ~ (у(л — «) — о(л — х))н(фт)- С»=э) <х»с) (у (А) — О (Л)) р К = 0) + ~ (у (А — х) — О (А — «]) Н (г(е), сх ес откуда [У(Л) О(А) ! ~(!У*Н (А) — О«Н (Л) !+ ~ ! У (А — х)— самос — О(Л вЂ” )! Н(А.)~!и» Н(Л) — О ° Н(Л)[+Р(~чьЕ). 3278.
а ) О, с» О, 6 — любое. 3.270. Пусть Ц (Ц„..., 2 ). По неравенству Коши — Буняковского )! 2 ЕЕ + ... + ЕЕЕ„(! ~ [/ Сз + ... + Ез ~/ [ц )е + ... + [ЕЕ )з (С ЕЕ + ... + $»ЕЕ» н, значит, !' ' с ' " "!(((!ь!(, откуда (! еэ )! [Е[[з !((Ц)з+, .+(Ц,)з/! [Е[1 Ес + „.+уэбб„)(! ((еэ(! (!ей[ (е [ <Е)!'сЕ'с+" +'эЕ~ )! ~Е(!31 (! еэ !! 3.280. Каждая функция распределения С в Я~ должна удовлетворять условию С(«ь уг) — С(хг, у,) — С(хо уг) + С(хо уг) ~» 0 при любых х, ~ хг и уг < уг.
3.282. /(х, у) = 1 в квадрате с вершинами в точках (72/2, 0), (О, 72/2), ( — 72/2, 0), (О, — )2/2) и /(х, у) 0 впе этого квадрата, Другой пример: /(х, у) = 1 в единичном круге и /(х, у) = 0 вне этого нруга; вдесь непрерывны плотности всех проекций. 3.283. Маргинальные распределения этях двумерных распределений совпадают: оба они равны равномерному распределению па отрезке [О, 1).
3.284. О. 3.285. +1 или — 1. 243 с — а — Ь Ь вЂ” а — с ! 2 т 1 2аь 2ас 3 3 з 3 3 с — а — Ь 2ьс 2аЬ 3 т 3 Ь вЂ” а — с а — Ь вЂ” с з з з хас 2Ьс 3.287. р (х, у) 2 ~2п — †, ! з)п и>, где и = агссоз х + У , при 2 х'+ ут( ч и р(х, у) 0 прн остальных х. 3288. о-алгебра, порюкдснвая случайной велнчпной (Е, е), содержится в о-алгебре, порогкденпой случайным вектором Е, и аналогично для (гь х) п т!. 3.289. Вообще говоря, пот. 3.21!О.
Р((4, е) 0) Р((й, е) = 3) = 1/б, Р(($, е) = 1) = Р(($, е) = 2) = 1/3. 3291. Распределение с плотностью р(х) = 2х+ 1 прп — 1/2 < х =-1/2 и р(х) 0 прн остальных х, 3.292. Маргинальные плотности совпадают н равны е * при х ~0 и 0 прн х (О. 3293. Нет. 3295ь Рг(х, у) = Р(пз)п(х, у)). О прн х~ (— у, у(0, 3.295. Нет. 3.296.Р (х, у) = Р(х) — Г( — у) прп — у < х( у, у)0, (р(у) — Г( — у) прп х)у, у)0.
3297. С(х, у) (Г(у))" — (Г(у) — Р(х))" прп х < у н С(х, у) = (Р(у])" 'прв х ~ у. 3.298. Пусть Тогда Ел а " —; ... +а!алйа ЕЕ= ", Л$:= ) Е$л аа„" .-!- ° ° лн а„о,-„ а Е" -,'— ... -'- а Е"„- а,, -,'— ... сра,„ Е(Ас) = а с +...+а„ А (ЕЕ) =. ., + " т аюайаи Ес 8.299. Пока!ките, что для любого не более чем счетного множостпа А <: Ио нвйдетсн едннпчклп! вектор е, такой, что проекции всех элементов Л на прял~у!гь порожденну!о вектором е, различны.
3.390. Пусть Р— распрсделенпе. 1'а!смотрим поворот пространства вокруг начала координат, при нагаром сдккичный вектор с переходит в вектор еа — — (1, О, ..., 0). Пусть /'„, — распределение, в которое при данном повороте переходит распределенно Р. Покажи- 244 те, !то (Ре())ы) = Ры)иСыь 3.301.
Имеем 65,"„= ~ х,.х ИР = ~ хзх ОР -(- ~ х.х ур. ки (хомо, х/эе! /х )е, х)<е! )х;<о, х <в/ (хг<е, хт)е/ Последние два щпеграла имеют противоположные знаки и равны но абсолютной величине. 3.302. Среди этих и+ 1 векторов найдвтсн по крайней мере олин такой, что проекции всех и точек на него различны.
3303. Пусть 5' н 5" — независимые одномерные случапные величины, имеющие одинаковое нормальное распределение. Ыонсно полонсить $ = (5', О), т! = (О, $"). 3.301. Нет. ( 3.305. Да. 3.306. Легко проверитгч что ) ! /(х, у) Их с/у = 1 и в силу ус- 1 ловля ! и (х) ! ( = функвгя /(х, у) всюду неотрицательна. Найдем марги(/' 2ле иальпые распределения /(х, у): е х чи /'1 — —, ~,ы= ( \к* ' + ° ~ч и>)е- т ы 3 1 ==с,— ) е Йу+и(х) ~ и(у)йу — (У2 '-Р:2и,) (в силу иечетпостн функции и(у)) ха (,гдл д, логично / (у) =- — е т .3307. Е(4, е) = О, гз(4, с) = 1. ЗЛ08.
г'(х, у) = = С(х) В(у), где В(х) — функции распределения случайной величины, принимающей значения 1 и — 1 с вероятностью 1/2 каждое, С(х) = 2Ф(е") — 1, Ф(х) — стандартная нормальная функция распределения. 3.310. Распределение инвариантно относптелыю поворотов вокруг начала координат. З.ЗРЕ у(и, и) = /(и)/(и)/( — и — и). 3.312. Для доказательства достаточности рассмотрите многомерное нориальное распределение; ло поводу необходииостн си. задачу 3.147. 3.313.
Воспользуеися задачей 3.150. Имеем Р(! "— Е" 1) е ~IОЗ плл ! г! — ЕО ! ) з (/(ЗО) = — Р((у — Рс)т ) стп"; илн (г) — Ег))~) зЪО) = =- Р (шах ~( — — ), ~ =) ) ) в ) ( 3.314. Обратное, вообще говоря, неверно. Если элементы матрицы имеют различные матоматичсские ожидания, то утверждение задачи, вообще говоря, неверно.
3.315. Зд ". 3316. /!егко видеть, что Р(О делится иа л) ) ) Р(2, = Зт = ... = $,). Отсюда, иснольэун результат предыдущей задачи, получаем нужное неравенство. 3.317. а) 1/2, б) 1/2 (случайная величина /(х) имеет симмсзричиое распределение при любом х), в) Н2, г) 1/2. 3318. Если и =-. О, то упирждеиис очевидно. Егдн п ) О, то 1г(ой им 5) = Р(5 ) в~5) х) м1/', Р(ий (~ ию5) = Р(к <<!лй) ) 1/2. 17 л. н, прохоров в лв 245 Если а О, то Р(а$ з ат$) Р($( т$) ~ 1/2, Р(а$ (ат$) = Р($ в т$) > 1/2.
З.ЗПЕ Следует из вадачи 3304. 3.320. Достаточпо доказать для случая л = 2 (в общем случае докааывается по индукции). !1мссм е ($ + $ )з е($з+ 3$з$ + 3$ $з+ $з) е$з+ зе$теа + зез езз ! е$з = Еез + Е$з 3.321. Обозначим Р(х), Р,(х) и Р,(х) фупнпии распределсивн случайпых величаи $, $, и $, соотвстствеппо. Имсеы Хтз о 1/4 ~ Р (Л + О) Р (!, + О) < ) Р (Л + Л, — з+ О) Н' (з) < Р (Л + Л + О) Х 1/4 ~(1 — Р (Л)) (1 — Рз (Л)) ~ (~ (1 — Р (Л + Лз — х)) УРз (г)(1 — Р(Л +Л ).
), 3322. о'. 3323. Воспользуйтесь неравепством '!ебьппева. 3324. Воспользуйтесь обобщепяым перавепствоы '!ебышсва (задача 3.235). 3.323. Воспользуйтесь неравенством Чебташезва. 3320. Проднфферепцпруйте выражепие Е( — а$ — 6)з (1) под вваком математического ожидания по а и а, приравняйте производпые пулю и из получсппых уравнении найдите аа и Ьа, при которых (!) достигает мипымальиого зиачепия. 3.327. Писем т т а!зйххй = т; ~ у!ейаР(у) хх„=. ~ ~ у'хуйхйдР (у) 1,й=о бй=е з,й=о ) (х+ ту+ ° "+ у ) ЫР(у)>О (строгое неравенство следует из пспрерывпости Р(х)).
3.328. Ет= е, 3.329. $ = ($) ьйяп $ и случайпые величины )$) и з!яв $ независимы (см, решеппе аадвчк 3.146). Нсвырозкдсниость распределнппг ) $) и з!Еи $ следует из того, что $ принимает пс менее трех зпачепый. 3.330. Приблизьте зпздззкаториузо функцию отрезка последовательностьзо непрерывных ограничевпых функций, (о+ 1! й 3.331.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
