А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Аналогично доказывается, что ()!»ч(х) ( ()„(х). 32!у. Для любых сюложнтельвых хь хл и любых а, Ь имеем Р(а~(ь (а+а!)Р(Ь($ (Ь+хэ) =Р(а(ф М,:а+х, Ь(ф (Ь+х)~ (Р(а+Ь($ +$ (а+Ь+х +х)=С!+1 (х +х). В силу произвольности а и Ь это означает, что (/1 (х ) СЬ (х )(гл +1 (х + х ). 3.2!9. Для произвольной случайной велвчияы т! положим О а(Л)= вирр(т)сиЛ+а).Пусть р, н р! — распределения случайных величин Е! а Ю и 3! соответственно. Пмеем 1 — е < Р(з си А) = ) !' (А — х) л/р (х) ч» <О, (А) ( АГ (х) — — О. (А). 3220. Для любого х ил!есме(х) ~ р(х — ПИр(с), где р(с) — функцнл распределения случайной величины т). Таким образом, е(х)(энрр(х) ~ Ар(с) =аорр(х) 3.221.
В качестве вероятностного пространства (П,,зэ, Р) возьмем мяоясество П = (1, 2, 3) с о-алгеброй всех подмножеств П и мерой Р, определлемой равенствами Р((1)) = Р((3)) = 1/4, Р((2)) = 1/2. Пололкпм Р($ = О) = Р($ 2) = 1/4, Р(З = 1) = 1/2. Тогда срункция распределения случайной величины $ есть с 0 при х(0, ! 4 при 0(х(1, /'(х) = 3/4 прп 1 ( х ( 2, ! при х »2 н представима в ниде свертки Р = С а С, где 0 прп х<0, ! С()= —, пр 0«1, 1 нри х»в!, по на уназанном вероятностном пространстве вообще пе существует двух независимых иевырожденных случайных величин.
3.222. Предположим противное: "; = $л+... + З„где э!, ..., 3, — независимые одинаново распределена, 1 „Ь пые случайные величины. Тогда ЕЗ = — ЕЗ =, РЗ = — Рл» = и, следовательэо, РЗ! > ЕЗ» с ! С другой стороны, в силу задачи 3.204 Р(0 < $ ( — „ /!=1 и, аиачпт (поскольку и ) с), Р(0 < $! (1) 1, поэтому в голу задачи 366 РЗ! ( ЕЗл, что противоречит (1). З.йэйЗ. Воспользуйтесь теи, что ег.ш $ прнсшлшет целые неотрицательные значения и 3 = $, + $с, где $! и 3! — независимые невыролкденные 237 случайные величины, то существуют независимые певыроткденные случай!псе величины б и Ьз, пРнннмающие целые неотРнцательные значениЯ, такие, что $ $ +$ . 3.224.
Предположим противное: $ = $т+ $т, где $! н йт — независимые невырожденньн случайные величины. Очевидно, Ь! н Ьт дпскретны. В силу певырожденносгв существуют аь ат, Ь, н Ьт, такие, что а, ( ат, Ь, ( ° Ьт н Р(б,=а) >О, Р(й,=ат) >О, Р(йт = Ь!) > О, Р($т = Ьт) > О, (1) (2) но а!+ Ь! < а!+ бт ( ат+ Ьт и в сттлу (1) и (2) Р(Ь = а!+ Ь!) > О, Р(ь = а!+ Ьт) >'О, Р(е = ат+ Ьт) > О. Получили нроптворечие с тем, что 8 прянимает ровно два значепил. 3225. рт = 2() р! — р!), рт = 1+ р! — 2УР!.
3228. Пусть г(х), С(х) н Н(х) — функции раснредевення случайных величин $, П и 2+ !с соотвегствентю. Для любых х! > х, функция 1(с) = г"(х! — с)— Г'(хт — С) строго положительна, поэтому П(х ) — Н(х ) = ~ (Г(х — С) т Р (х, - с)) 3С (с) = 1 У (с) нС (с) > О. 3.227. Р ($ + т) )тт2 = О) та а — «т — Р(2+ и )/2=0, т) = Ь) = Р(Ь = О, т)=0]) ~ Р(2+ т) )тт2= О, т) = Ь), а л,-'о Каждое слагаемое в последней сумме равно нулю, так как при Ь чь 0 Р(2+ !))2 = О, Ч = Ь) = Р($ = — ЙУ2, Ч = Ь) -':Р(2 = — Ь)с2) = О, следовательне, Р(2+ т)У2 = 0) Р(2 =О, т) = 0) = Р(2 = 0)Р(т) = 0). 3228. ( н н Р ~ ~~ а!в! =0) = ~ П Р($, = ь!), где суммирование ведется по всем набат=т с-! а рам Ьт, ..., Й„таким, что ~ а,.а! = О.
Но в силу рациональной независимости т=! чисел аь ..., а„последнее равенство может выполняться только при Ь, = ... а з т„й О, следовательно, Р~ ~ЧР~ а 2! = 0)=ПР(ь! = 0). Но, очевидно, для нюбыт вещественных Ь|, ..., Ь Р ( Ч!', Ьт2! = 0~ > П Р(2! = 0). 3.229. Нера/ п л венстве вир Р ( ~ч0~ асс! = х) ~)п вирр(е! = ь,.) очевидно.
Докажем, что )-с=, с а а зир Р( ~~3 ~асс! = х) (~ Ц вирр(2! = Ь!). Для этого достаточно покааать, что а для любеге х, такого, что р ( ~ ас$! = х >О,сутцествует только один набор с=! и Ьт, ..., Ь„такой, что Р(2! = Ьт) > 0 и х = ~чр„асй!. Действительно, пусть \ =! существует второй такой набор: т„..., т„(существует по крайней мере ода а а но с, такое, что Ь! чь тат). Имеем ~к~', а! ЬС = ~ЧР~а! гас в:ти ~ас(Ь! — л';)=0' что противоречит рациональной везависимостп чисел ао ..., а». 3.230.
а) 1'(4) = ~З~ ) Р Д = й -(- И вЂ” Р Я =- й) ( ( ~~(Р (4 = й ~- 1) + Р Я = й)) = ~~ Р Я=-й+1) ) а а а -)- ,'~~~Р(4 = й) = 2. 6) Илгеем Р(З+ц= lг) = ~Ч~~ Р($= й — и) Р(т) =а), л » позтому уа+ц)=~)Р(3+В=4)-Ра+ц=й+1))- (Р(с»=й — а)Р(л)=п) — Р(4й-й+1 — а]Р(ц=л)) < а 1»=-т < ~ Ч,' ( Р Д = й — « ) Р (4 = й + 1 — а) ) Р (ц = л)- а» Ч' ,'~~( Р Д = й — а) — Р ($ = й+ 1 — а) ) Р (ц = л) =- У (Ц ~' Р(т)=л) = У ф).
Апалогичпо доказывается, что у(4+ ц) ( у(ц). 3.231. Примепите задачу 388. 3.232. Покажем, что т$ — Е$ ( )204. Действительво, событие (тй — ЕЕ ( ~ 3204) ииеет, очевидно, веролтпость 0 пли 1. Имеем тй — Е4 = тй — 3 + + 3 — Е$. По Р(тй — 4 ( 0) ~ 1/2, Р(4 — 6$ «'-) 2Щ) " 1/2 (в силу иеравеяства Чебышева), следовательно, Р(т3 — ЕЕ (у20|) ~) Р((т$ — $ (О) П (з (4 Ей (~120И) ) О, и поэтому Р(т$ — Е$ ( 720$) = 1. Апалогичпо доказывается, что тй — Ей ) — 720$. 3.233.
Воспользуйтесь тем, что $ ( ( шах(0, Ц). 3,234. Используйте схему доказательства неравенства Чебышева. 3.235. См. указание к предыдущей задаче. 3.236. Пусть Р(х) — функция распределения случайной величины $. Имеем т а а Е/ (4) = ) /(х) ау (х) ~ ) / (х)»Р (х) ~ )/ (а) ~ ал (х) = / (а) Р (ь (а), откуда следует яу>кное неравенство. 3.237. Не ограяячивая общяости, будеы считать, что 0$ = В Пусть г(х) — функция распределения случайной величины 4. Фиксируем х ) О. Дзя любого Ь ) О имеем 1+ Ь в ~ (у — Ь) аг" (у) л ) (у — Ь) а/г (у) ~(х+ Ь) г ( — х) или г"( — х) ( (1+ Ь') (х+ Ь)-'.
Полагая Ь = 1/х, получим /г( — х) < — з. 1+х Аяалогичво доказывается второе неравенство. 3.241. а) Очевидно, тй, =, = а4». Имеем (с — $ )е)»» ((с — т$ ) — (К, — т$ ) ) с) ~Р(ь — тс )е, а — т$ (0) 1 Р($ — та >е) Р(С вЂ” т3 (0) в 2 Р(4 — тз )е). 1 б) Замепяя в перавепстве а) $г па — $и 1 1, 2, получим 2 Р(4 — ть ~ (— е)<Р(4 — 4 ~ — е), отсюда и иа веравепства а) получаем яужпое соотпошеяие. 3242. Р()3~ — $л(> е) = Р(((4~ — а) — (йт — а) ) ) е)( Р()4, — а)) е/2)+ + Р() $л — а) ~) е/2) = 2Р(($, — а( ) е/2).
3243. Имеем Р($+ ц ) а) 3в 239 1 > Р $>а, т) »0)=Р($)а) Р(т)>О)> — Р(2>а). Второе перавекство следует из первого. 3244. Р((5!( «(х!)Р()2г( (х!) = Р()$! (х!, (Ц (х!) ( » (Р() 4!! + (св!» х!+ хл) ~ Р() $!+ $л) ( х! + хв). 3245. Имеем Р Г плах (Дд (> е) = Р(((т) (> е) 0 ... 0 ((т)» ! >е)) = !лада» -Р(((ал(>е) 0 ((5!+Ба(>е) 0 ." 0 ((сл+."+$»(>е))» (Р() з )+ ...+(2„/>е), откуда, применяя перавеиство Чебьппева, получаем е(($,(+ ".
+(7 () Е) а!)+ ". + Е) е„( Р( !пах ) т) (>е) ~ ! лада» 3.246. Положим Чв = 0 к рассмотрим события Сд = рзир (т). (<е, (т) ) > е~, д . 1 ' д а с = (зир (г)д(>в). тогда е(т)»("вс — — ~е(т)»("Уо„. По в силу задачи 3029 (да» / д ! » е)т)»)" ~ ~е)л)л)", поэтому е(т)»)'ус~ )~л е ! т)д ')' 10 )~с Р [с), откуда следует д ! кужяое неравенство. 3.247. Это авраввнггвв Леви для случайяых еечичии о сямметричпыми распределениями (обобщепие см.
в следующей аадаче). 3248. а) Положим т)в — — О, л)» = !пах(г) — т(т).— л)„)) я расслготрил! события д Мд ! 7 Ад = (т)~, «е, л)д — т(т)д — т)а) > е), Вл, =(т)» — т)д — ли(ч» — т)д) >О). » » События Ал пе пересекаются и(г)„>е) = 0 Ад, 0 АдВд<=(ит>е) Кроме д=! "' д=! того, очевидпо, Р(В») > 1/2 для ллобого 5.
Учитывая, что при каждом Е событяя Ад и Вд независимы (первое зависит только от 2ь ..» $л, а вто» рос — от 3л+!, ..., 2»), окоичательио получаем Р(г)»-в е) > ~~~~~ Р (АдВд) = д=! Р(Ад) Р(Вд) > г Р(Ад) = Р(л)»>е), что доказывает нерад д=! д=.! вепство а). Пзмевяя знаки всех случайных величии в неравенстве а) и комбинируя получеппые перавепства, получил! перавеиство б). 3.249. В силу задачи 3.232 (т(г)л — г) )( » 721!(т)» — т)л) » )200». Применяя неравенство а) задачи 3.248 и заменяя е па е — 720т~, получим нужное неравенство.
3.250. Пусть )т,,,(х) и С»,,(х) — фуикции распределения случайных величин зир (т)д)' и лад в» соответствепно. Исиользуя аадачи 3.89 и 3.248, получим Е ( зир ( Чд (") !лада» = ) (1 — Г» „(х]) в)хи,2) (1 — С„„(х)) в)х = 2Е(Ч» ('.3251. рассмотрите симе в метриаовапиые случайньле величины и воспольауйтесь предыдущей аадачеиь 3252. Заметим, что Еалй) = ЕЧл(~$)) я Елр(!)) = Едл0т))). Положим В(х) = = Р(~а( < х) — Р()л)( с х). Очевидно, Н(х) ЪО. Имеем Егр(а) — ЕР(д) 240 Еср(1 т ) ] — еср() с]) ) =- ~ ср (л] НЛ (с) =- — ~ Л (г) осу (х)Но в силу исотрица- тглыюсти Л(з) и убьпсакип ср(х] ~ Л(г)с(ср(х)(О, слеловатсльно, Еср(ь)— — Еср(ц) ) О.
3253. Длн лсобсн о борслевского нноснсства А нмсеьс (Р(Л) — О(А) ( = ]Р(А) — Р( 1)+ Р(А) — О(Л) с <(р(Л) — Р(Л) ( + (Р(с!) — О(А]) ( Ъаг(Р, Р)+ -1- тхаг (Р, О), В силу иронснюльногтп А ото!ода следует иугкпоо неравенство. Для рзвсюисрнсяо ]ыссгоспгвя доказательство аналогично. 3.254. Обозначим В = (сп р(х) сз д(х) ). Иию и )Р(Л) — О(А]( = )Р(ЛЛ) — О(ЛВ]+Р(ЛД) — О(ЛВ](. (1) .'!листик, что Р(АВ) — О(1В) ти О, а Р(ЛЛ] — О(ЛВ) ( О. Пусть для опретслснноств (Р(ЛВ) — О(ЛЛ) ( .=.
(Р(.1В) — О(ЛВ) (. Тогда пз (1) следует, что ( Р (Л) — 0(Л]((Р (ЛВ] — О (сАВ1-= ~ (Р(з] — с((сИ Лх ( ) (Р(х) — У(г)) с(г— лн Д 1 à — — ') ) р (г) — у (.г] ) с!с. 3.255. См. рсшснпс прслмлугисй задачи. 2 ~Ы- -' Ь а'; — ас з 1 х 1 ) 'тг сгассдартпая нормальпал функция раснрс деления, 3,25?. р. 3.256. —. ~ 1 — — !. а,, (з — е ) з (х-е,] 3 со'- е зос 3.259. Распределение с плотностьк> †., 1 е г + ,- -' Ь'2" )Г 2ла ]:, (з) + !'„(з] 3,266. и" (г) =. ' " ".
3.261. Равномерное распределение на отрсзко [ — )ай, ]еЬ]. 3262. Из определенна мотрнки Певи следует, что длл лсобого й ) й(Р, Л) и лсобого х В(х — й) — !с ( У(х) "Н(х+ й) + й, (1) а для лсобого й' ) ь(С, В) н снобого у С(у — !с') — й' < В(у) -" С(у+ й') + й', (2] Пополним в (2) у = з — й.
Из леиых неравенств (1) и (2) получаем С (х — (й + !с ) ) — (]с + !с') = С (х — 1с — !с ) — й — й' ( Л (х — !с) — й ( Л (с ) . Аналогично. полсикив в (2) и = з+ й, получим г"(х) . С(х+ й+ й') + й+ й'. Из последних двух неравенств слсдуот нугкнос соотг!осте!с!се. )с' 3.(а — а,) 3263.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
