А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Обозначим 9 класс множеств, для которьж утвер>кденпе задачи выполнено, т. е. для любого А ш 9 и любого поло>кительного е существу>от оп<рытое множество СшА п ааыкнутое множество г енЛ такие, что Р(С1г) < е. Покажем. что класс 9 является о-алгеброй. Пусть А>, А>, ... — множества пз 9, Выберем замкнутые множества г и открытые множества С так, чтобы /«шЛ шС, и Р(С,~Г„) <е/2«+>. Если С= () С„и если г () />«~ гдо «х« а пр выбрано так, что р~ 1/ г«~,,р)< —, то г" ~ () Л«~Сн Р(Стг) < е.
Та- «) 2 «=> кпм образом, 9 заыкнуто относительно взятия счетныт обьедпненпй. Очевидно, 9 — замкнуто относительно взятия дополнений, следовательно, 9— а-алгебра. Ио, с одной стороны, 9, как было показано выше, содержит все зачкнутые множества, а с другой стороны — содержится в а-алгебре борелевскпл иножеств. следовательно, оно совпадает с последней. 3.32. Пусть А, А П [ — с,, с]. Выберем с достаточно большим, чтобы Р(/1''1[ — с, с]) < е/2. В силу предыдущей задачи существует замкнутое ннов>ество г", такое, что Р(Л„-'тг") < е/2. Далее, г", = г" () [ — с, с] — вомпакт п Р(А,'1г,) = Р(А,~Р) = е/2, по Р(Л~Р) < Р(А.~Р) +Р((/(",[ — с, с]) тг",)-".
< е/2-1- Р(/1>~[ — с, с]) < е. 333. Мощность континуума. (Вослользуйтесь тем, >то монотонная функция полностью определяется свопмп значениями на по- Ю котоРоч счетпои множестве точек числовой нРЯмой.) 3.34. ч>', Р>Г>(х). 3.35. До- 1 статочпо сделать замену переменной у = г" (х). 3.36. Сделайте замену переменной у = Р(х). 3.37. Равномерное распределение на отрезке [О, 338. Пусть $ имеет абсолютное непрерывное распределение, т.
е. РЯ шА) О для всякого множества А нулевой лебеговой меры. Имеем Р([5[ ш А) = = Р(13[ш(А () [О, Н) = р((йшА П [О, 'Н () (йш — (4 () [О, )Н) < < Р(3 >и А () [О, со)) +Р(ба — (А П [О, о))) = О. Обратное утверждение доказывается аналогично. 3.39.
Р(т < й) = 2/г/д> — й>/д», Р(р < й) = й>/д>, /> = = 1, 2, ..., Д>, Р(« = 0) = 1/Д>, Р(Х = т) = 2(Д> — л>)/)У», « = 1, 2, ..., Д> — ! (при вычислении Х воспользуйтесь равенством п>ал(х, у) — ш!п(х, у) = е Ю вЂ” [ — у[).340. ~~1 — С('ЯАр(г)+~С(')Ар(т). 341. Р(ч„= — ")= е С~7~ (хЦ1 — г" (х))" >', 1. =- О, 1, 2, ..., «(покажите, что случайные вели*пшы ч>(х, $~), >г(х, 3>), ...
независимы и >((х, 3>) = 1 с вероятностью 222 Р(х) и Ч>(х, ь») = 0 с вероятностью 1 — Г(х)). 342 Например, равномерпое па отрезке (О, 1) распределение. ЗЛЗ. Пусть Г(х) — функция распределения, соответству>ощал плотности р(х). Тогда Г (х) = ) р (и) йи. Писем Г (х+ у)= о «ьу « «ьу «и « р (и) г!и = ) р (и) >(и + ) р (и) >(и =) р (и) >(и + ~ р (п+ х) Зп ( ) р О>)>(п + е о х и о о Ю Г гр (у) + ~ р(г) >(и=- Г(х)+Г(у). ЗЛ4, а) О < х ) ' ~ ~>(Г(у)-»0 при х->-пп, у и « « !» Г ~гЬ~ Г лрй>] Г«г (>] б) доказывается аналогично а), в) 0~(х ) — ' = х ) — ' + х ) — ( у,) у ) у « « тх ~ ~ ДГ(у)+')/ ~ (Г(у)=- С()/х) — С(-)+ ~/х(1 — С()/.))--О при « >» л — + О, г) доказываетсл апа>н>гнчио в).
ЗЛ5. Нспосредствщпюй пропер. иой убедитесь, что р(х)~ О, ~ р(х)>(х = 1. ЗЛО. Покажите, что ) р(х) йг=1 — гх и воспользуйтесь предыдущей задачей. ЗЛ2 Пеобходнмость очевидна. Длл доказательства достаточности рассмотрите сначала случай, когда функция ((х) пграничеяа — в этом случае нужное неравенство доказывается >штегрировапнем но частям. Если функция ((х) не ограничена, рассмотрите последовательность (,(т), !г(х), ... ограпнченньж неубывающих функции, монотонно сходящихся и !(х).
3.48. Пусть х> ( хг — произвольные вещественные числа, Г,(х) и Г,(х) — функции раснрсделеннл, вырожденные в точках х, п т, соответственно. Тогда Г>(х) ) Гг(х) и, следовательно, ((т ) ) 1(х]>(Г (х)( 223 > (х) г(Г (х) =1 (х]. В силу нропзволыюсти х> и .т, это означает, что — ы Пх) монотонно пе убывает. ЗЛ9. Пусть (О>, Ог, ° ) —:побое счстноо семейство распределений. Легко видит>п 'ыо его доминирует, например, раснределопио 1 1 Р = 2 О, + > О, + ...
3.59. Папример, множество всех вырожденньж распределений. 3.5!. Пусть Рп Р>,... — распределения, доминирующие соответственно семейства 6п 6>, ... Легко видеть, что распределение Р = чи а,Р>, ~ а! = 1, >=»=> и> ) О, ! = 1, 2 ... доминирует объедпнепис () 6, 3.52.
Покажите, что лю>=1 Гюс распределение, домипиру>ощсе 6, будет дол>инпровать и его выпуклую оболочку. 3.53. Воспользуйтесь аадачей ЗА9. 3.54. Нет, не верно. В частности, всем функциям распредсяенил вида С.(х) = С(х + а], †( а ( пп, где С(х) — некоторая функция распрсделенпл, отвечает одна п та нге функции концентрации. 3.55. По условшо существует носледовательиость ап аь ..., такая, что Р(и, ( й ( а + х) Сг(х) при л пп. !!оследовательпость и„ аь ...
»чег>и,'>по, ограничена, следовательно, иа пес ип>кнп выделить схпллщуюсл подпоследовательиощь а>,, а>,, ... а>,, ... -«а нри л -» оп, Пе ограпичнзан общпо- Р(аз < $~ < а+ х) -ь()1(х]. Таким обРаэом, Р (а< С < а+ х) = Р~ П 1аз "а ) ' '' ~з | за ~ ($ < а+ х)) = ()1(х). 356. ()1 (пг) < 4/1(((п)+1) х) = зпр Р (а <$~(а+ а + ((и) +1) х) <,([и) + 1) зпрР (а~ (5<а+а) = Яа)+ 1) 4/1(х).
3.57. а) Да. а Например, 0 при х<О, 3/8 при 0(х<2, ~3/4 при 2(х <3, при х>3, Г(х) имеет три точки разрыва, а соответствующая функция копцентрации— четыре, б) Да. Например, 2 0 прп х(0, ,г/3 при О < г < 1, Г (х) = 2/3 прн 1(х(2, 1 при х~2, Г(х) имеет две точки разрыва, а соответствующая функция концентрации— только одну. 3.58. Да.
Например, | 0 при х(0, 01 при 0(х<1, Г (х) при 1~(х<2, Г(х) =10 2 прп 2 <х(4, 0,8 пуп 4 ( х ( 6, 0,9 при 6~ (х(8. (1 прп ~8, где Г,(х) выбрана так, чтобы Г(х) была функцией распределения и Г,(х) имеет бесконечное чисто точек разрыва.
Имеем 06, если 0<с<2, 0,7, если 2 ( с ( 4, 0,8, сслн 4~(| <6, 0 9, сели 6 (|(8, если з) 8. ()г(з) = 3.59. Используйте следующий факт: если хе ) 0 — точка разрыва 4/г(х) и а таково, что Г/г(х,) = Р(а ( з ( а+ хе), где $ — случайная величина с функцией распределения Г(х), то точки а и а+ х, явллются точками разрыва Г(х). 3.60.
При любых положительных а и ! множество Аь „очевидно, ограничено, поэтому достаточно доказать сто замкяутость. Пусть х, т н х,|иЛ|,„т. е. Р(х ( й < х„+ !) ) а. Не ограничивая общности, можно считать, что последовательность хь х|, ... мотононна. Для определенности будем считать, что опанопотонпо возрастает. Имеем Р(х(~ з(х+!) = Р~ й (хя< з <х+!)~). гя=г Но мпо|кества (х, ( $ ( х+ !) монотонно убн|вают н дли каждого а Р(х ( й (х+!) ) а. Отсюда окончательно получаем Р(х<5(х+!) == = )|ю Р(х„~$(~ х+ !) аа.
ЗЯ1, а) 1/3, 4Д5; б) О, 1/!2; в) 2/л, 1/2л, г) О, —. 1 в| ' 2л 224 сти, можно считать, что последовательность ая, аь, ... монотонна, например, ма'|' "е' ' потояно возрастает, тогда нножества [аз к,з <а+ а) монотонно убывают н "а и а к т Ь вЂ” а з ! в в 3.62. —. (а + аЬ+ Ь ), —, 1 — ( ) . 3.63. 7. 3.64. Полон!им е = 12 '16 (5(Ь вЂ” е) Ю = Ей, А„=~) $ — Ейх] х — !, и =1, 2, ...Тогда (Ьчьс) (/ Аи. Но в силУ и/ и=1 пеРавенства т(ебышбва Р(А„) < иттй = О, откУДа Р(5 час) = Р( () Аи) =О !и=! (см. ташне задачу 2.72). 3.65. Необходимость очевидна. Докажем достаточность. Пусть $ — Ч и (5] — ) Ч] одинаково распределены. Тогда (У(й — тт) = О(]$] — ]т!() п, следовательно, Гтй = Гт]$(, илп Ей! — (Ей)! ЕЕт — (Е]й])тт то есть ]Ей] = Е]Е].
Но зто, как легко видеть, и означает, что случайная величина $ с вероятностью единипа прппямает значения одного знака. 3.66, Имеем Р(йт < й) = 1 п, следовательно, Ой = Е(5 — Ей)! Ей! — (ЕЕ)! < Ейт < ЕЕ. 367. а) 18, б) 22. 368. Имеем 0($+ т!) = Е(й — Ее+ Ч вЂ” ЕЧ)'= Щ+ОЧ+ +26($ — Ей)(Ч вЂ” ЕЧ). Теперь нужные неравенства следуют из неравенства Коши — Буняковского: ] 6 (5 — Ей) (Ч вЂ” ЕЧ) ) < )Е($ Ей)'Е (Ч вЂ” ЕЧ) 1= УОТЧ.
3.69. Воспользуйтесь неравенством а! < 1 + а", а > О, О < 5 < ш 3.76. Распределение с плотностью р(х), равной 1/х1п'х на отрезках (О, 1/е') и (е', ее) и путно прп всех остальных ж 3.71. Нет. Рассмотрим, например вероятностное пространство (Н, лх, Р), где Н = (1, 2, 3), л! — множество всех подмнонтеств 1), Р((Ц) = Р((2)) = Р((З)) = 1/3, и почожнм Е(1) 2, $(2) 1, 5 — Ч ' 5(3) = О, т!(1) = О, т)(2) = 2, т!(3) = 1. Тогда Š— = — 1/ЗчьО, $+Ч т. е, Š— ~ Š—. 3.72.
В силу независимости и одинаковой распреде- $+ ч 5-(- т!' пенности Ет, ..., Е, случайные величины Й!+ ... +5!( одинаково распределены, следовательно, Е ! ! = Е 1 + ' ~5,+...+5.) 5,+...+ь„ ьа ьт + ... + 65 + + 5 — — ЬЕ1 + +5 для любого Ь 1, 2, 1, н. Полон!ив й = л, получим Е „, +, — — —, откуда следует нужное соотношение. аи 3.73. а) Щ = Е$(Етй+ 1), б) Р($ = и) =-. „, и = О, 1,2..., 3.74. Пусть (1+ а)ие' х! = шах(хт, ..., хх) н рт = Р($ = х!), ! = 1, ..., г. Тогда и+! и+1 т! /! Р, + ...+х„р„х"р +...+х„р Все свагаемые, начиная со второго, стремятся к нулю при и-!. оо, первое слагаемое стремится к *,.
Аналогич!то докевывается второе соотношение. 375. Имеем Ей = Р($ = 1) + 2Р($ = 2) + ЗР(й = 3) +... Р(Е 1) + -1- Р($ = 2) + РЯ = 2) + Р($ = 3) + Р(а = 3) + Р(5 = 3) +... Рад абсолютно сходитсл, следовательно, можно перегруппировать его члены: 6$ = ~ Р ($ = !) + ~ Р ($ = /) + ... = Р ($ ~ >1) + Р (5 ~ >2) + ...
377. Ой т" т=т т= — т < е]Е]т < се]$]. 378. Воспользуйтесь неравенствами (х] < х < !х] + 1 и тем, 225 15 л. в прохоров а лв, что есяи Е не является целочясленной, то Р(Е > Щ) > О. 3.79. 1/2, — 1/2. Действительяо, обозначим $+ = шах(0, Е), $- = — шш(0, Е). Тогда Е ф+ — ф-, (э( = $++ $ я, следовательно, ЕЕ+ — ЕЕ- = О, ЕЕе+ Е$- 1, откуда ЕЗ+ 1/2, ЕЕ П2. 3.80, Ь > ]а]. 381.
В силу выпуклости /(х) для каждого хо найдется число ь(х!), такое, что для всех х /(х) > /(х,) + (х — х!)Х(х,). Отсюда, полагая х = Е и х! ЕЕ, получаем /Я) > /Щ) + (4 — ЕЕ]ь(ЕЗ) н, следовательно, Е/(Е) > Е(/(Ей) + (Ц вЂ” ЕЗ)Х(ЕЕ)) = /(ЕФ) +7«(Еэ)Е($ — ЕЕ) /(Еф). 382. Имеем )Эф«! = ЕЗ«ЕО! — (ЕЦ)«(Е«!)«; (Зьзэ«) Еф'Е«)' (Еь)'ЕЦ~— — Еь«(ЕО) «+ (Ей) «(Ег!)!.
Теперь достаточно воспользоваться элементарным неравенством ЕЕ! > (ЕЕ), справедливом для л«обой случайной величины в силу того, что 0 «- -ГЭК = ЕЕ! — (Е$)'. 383. Долгкно выполняться хотя бы одно иэ условии; ЕЕ Е«1 = 0 или ОЕ тэ«) О. 3.8г!. Обозначим Р«(х), г"г(х), функции распределения случайных величин Е«, Еэ, ... Тогда х'(х] ~~~~ р,.)гг(х). г=! Отсюда следует, что ЕЬ~ = ~Э ~ргйээ и ЕС = ~Чэ~ ргЕЬ!«поэтому Оь! = Е$— «=! «! О / « «,з ю Ф «« — (Е$) = ~~~ ргДз — ~ ~~ ргЕ$,. ~ ~ ргЕ$~ — ~~ р.(Е$,.)з+ ч««рг(Е$,)!в !=! !=! — «=! г=! / « те «« «Ю / « 1з ю — р Е$,.) ~Р~ рг(Е$З вЂ” (Е$,.)з/+ ~Ч~~ ртМ! — ~~~ ргМ1~ ~я~~~ р ОЕ.+ ! ! «=! ! «=! «=! + Ор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
