А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Но это невозможно, так как вероятности событий А, В и С по условию отличны от нуля н единицы. 1.14гЗ. Нет, пе обянаны. Возьмем вероятностное пространство предыдущей задачи и положим Л = [О, 1/2], В = [!/4, 3/4], С [3/8, 7/8]. Тогда Р(А) Р(В) = Р(С) = 1/2, Р(АВ) = 1/4 (и, следоватезыю, А и В независимы), Р(ЛВС) = 1/8, Р(С(А (/ В)) = 3/8, Р(Л (/ В) = 3/4 н, таким образом, С ке зависит от ЛВ и Л (/ В, ио, очевидно, С зависит от А и от В, так как Р(АС) = 1/8 чь Р(Л)Р(С), Р(ВС) = 3/8 чь Р(В)Р(С).
! !бг4. Р((Л Ц В) П(С (! В) ) = Р(АС (/ АВ (/ ВС (! /ВВ) = Р(АС)+ Р(АО) + Р(ВС) + Р(В//) = Р(А)Р(С) + Р(А)Р(В) + Р(В)Р(С) + -1- Р(В)Р(Р) Р(Л)(Р(С) + Р(В)) + Р(В) (Р(С) + Р(О)) = (Р(Л) +Р(//)) )С 14гл 2!1 )4 (Р(с) +Р(В)) = Р(Л () В)Р(с() В) !А45. Нме.м Р(АВС) = Р(В)Р(АС), (1) Р(АВС) = Р(С)Р(АВ), (2) Р (Л ВС ) = Р (Л ) Р (ВС), (') Р(А) (Р(В) + Р(С) — Р(ВС)) = Р(А)Р(В (/ С) = = Р(А (В () С)) = Р(АВ () ЛС) = Р(ЛВ) + Р(АС) — Р(ЛВС), Подставляя в погледиее равенство вырз;кение для Р(ЛВС) яз (3), получаем Р(А)Р(В) + Р(А)Р(С) — Р(А)Р(ВС) = Р(ЛВ) + Р(ЛС) — Р(А)Р(ВС) Р(А)Р(В) + Р(А)Р(С) = Р(АВ) + Р(АС).
Запишем зто в виде Р(АВ) — Р(А)Р(В) = Р(А)Р(С) — Р(ЛС). (4) Приравнивая правые части (!) и (2), получим Р(г1В) = Р(В)Р(ЛС)/Р(С). Подставим это выра;кение в (4): ГР (АС) Г Р (Лс)! Р(В) ~ Р С Р(А)~ Р (А) Р(С) Р(АС) Р(с) ~Р (А) Р '[ Р (С> Р (ЛС) откуда Р(Л) — р, =О нли Р(ЛС) = Р(А)Р(С). Отсюда и из (!) получаем Р (С) Р(АВС) = Р(А)Р(В)Р(С).
Используя это равенство, из (2) и (3) получаем утверждение. 1.!46. Пусть И = (ыь ыт, юз, ыз), Р(ы~) = 1/4, А~ = (ыь ы~), Аэ = (ыь огз), Лз = (ыъ ыг). Тогда Р(Аг) = !/2, Р(А~Аз) = Р(ы,) = 1/4, 1чь /, Р(А1АтАз) Р(ыг) = 1/4. 1.!46. Пусть Аь Аь Аз — события, введенные в ответе к задаче 1.146. Тогда А = Аь В = Аь С = Аз удовлетворяют условию данной задачи. 1.149. В силу независимости А и В, А и С, А и ВС имеем Р(АВ) + Р(АС) — Р(АВС) = Р(Л) [Р(В) + Р(С) — Р(ВС)], о~куда следует независимость А к В () С; В и С могут быть завискмы.
1.!56. Найдите Р(А,Аз ... А,). 1.151, Пусть в урне М белых н М черных шаров Покажите, что Р[АА) (' ), Р[4)=Р[А)=Х/(М+М). 1 э (/У+М)(М+ 11 Ц' 1 1Л53. Р ( 0 А|) 1 — Р ( 0 Аг) =-1 — Р ( Г) .4г) = 1 — и Р(А„). 1= 1Л54. Воспользуйтесь методом математической индукции.
Глава 2 2.1. В качестве пространства элементарных событий возьмем множество всех конечных цепочек длины не меньшей 2 ва символов Г н Р, в которых сочетание ГГ содержится только в конце цепочки, а также множество бесконечных цепочек из Г к Р, не содержащих сочетания ГГ. В качестве а-алгебры событяй возьмем множество всех подмножеств этого пространства, э вероятности определим следующим образом: каждому событию, определевйому цепочкои длины я пряпишем вероятность 1/2", а событию, определенному цепочкой бесконечной длины — вероятность О. Разыскиваемая в задаче вероятность равна 19/32.
2.2. Пространство элементарных событий — множество всех цепочек конечной длины (не менее 2) и бесконечной длины, в которых гербы п решки строго чередуются. а-алгебра событий — множество всех подмножеств, Вероятность события, состоящего яз одиав цепочка длины в, равна 1/2". Искомая веровтиость равна 2/Х 2.3. В качества пространства элементарных событий возьмем все конечные цепочки длины г, г+1, ..., содержащие ровно г букв Г в оканчивающиеся буквой Г, а также бесконечные цепочки, содержащие ие более г — 1 букв Г.
Указанное в задаче событие насчитывает С„' ', элементарных событвй. 2.4. Первое событие означает, что вмбранная точка не равна 1, второе событяе совпадает с /!/. 2.5. Пусть зэ — произвольная алгебра. Покажите, что если А, В ш Ф, то А'1В шве, 2.6. Например, множество всех отрезков вида (а, Ь] па отревке (О, 1] (О(а( Ь<1). 2.7. Например, множество всех конечных подмножеств отрезна [О, !] и их дополнения. 2.8.
Единственный 212 пример — мпожсство всех подмножеств О. 2.9. а) И, [О, Ц, [О, 1/3), [!/3, 2/3], (2/3, Ц, [О, 2/3), [!/3, Ц, [О, !/3) Ц (2/3, Ц; б) И', [О, Ц, [О, 1/2], [!/2, Ц .' [О, 1/2), (!/2, Ц, (1/2), [и, Ц '1(1/2); в) И, [О, Ц, (О), (1), (О, Ц, [1, 0), (О, 1), (О, Ц; г) И, [О, Ц, [О, 1/3), [1/3, 1/2], (!/2, Ц, [О, !/2), [1,/3, Ц, [О, !/3) Ц (!/2, Ц; д) И, [О, Ц; е) И, [О, Ц; ж) И, [О, Ц, множество всех риииоыальвых точен отрезка [О, 1], множество всех иррациональных точек отрпзка [О, Ц.
2.!О. а) Все не более чеы счетные подмножества О н все подмнооьества !1, отличающиеся от О но более чем в счетном числе точек; б) то же саоыич и) множество всех подмножеств О; г) то же самое. 2Л2. а) да, б) вообще оп поря, ыгт, в) заведомо ыет, г) заведочо нет. 2ЛЗ. Мощность континуума. 2.!4. Очсввдпо, что И знво и О ш л!. 1!усть А она. Тогда существует твкы ио, что Аавйи ы, следовательно, А!и.ми с ай,т.е. лг замкнуто отпоснтсль ио ие по взятия дополнений.
Остается доказать, что за замкнуто относительно вэя тпя конечных объединений, Пусть Аь ..., А он ив. Тогда существуют талые ии, ..., ео, что Авш л/ . Положим ш = шах тв Тогда А!евой 1С!Си 1, 2, ..., и, и, следовательно, Ц А!св Ф,„~ вй. 2.15. Нет; нет; да. '"а 2Л7. Воспользуйтесь задачами 2ЛЗ и 2.16. 2Л8. Может. 2.19.
а) Нет, б) да. 2.20. 2 и 2". 2.21. В обоих случаях это множество всех событий вероятности 0 или 1. 2.22. Вообще говори, нет. 2.23. Воспользуйтесь формулами двойственности. о о 2.24. Имеем 1!швирАиои П Ц Ай. При ка1кдом и Ц Ай привадлежито-али=1 й=и йи а гебре, порожденной Аь Аь ... (как счетное объедяыение элементов о-алгебры), в, следовательно, вх счетов пересечение также нринадлежыт этой о-ал. о гебре. 2.25. 1!швир(Ли Ц В„) = П Ц (Ай Ц В!,) = П Я Ц Ай~0~ Ц Вй~).— п !й=и и=! й=п й=и -(-- "-= оо оо 1 / о оо П 0 Ай~ Ц ( П Ц В ~ 1!швирАи Ц ПшвирВи. 2.26, 2.27. Воспольп=гй=и и=1й=и ауйтесь о-адднтивностью вероятностной меры.
Докааанное соотношение хв. рактеризует непрерывыость вероятности (вообще, о-аддитпвной меры). 2.28. Рассмотрим мыожества В! А!А! „, Ао,А!. Онн не пересекаются н Ц Аи— и=г оо Ц Ви. 2,30. Докажите, чтомыожествоэначеыийфУпкднир(А) плотно на отп=! резке [О, Ц, и воспользуйтесь предыдущей задачей. 2.32. кал!дый алемепт лс пред ставим в виде счетного объединения или ыересечеыия элементов М.
233. В качестве О воаьмем окружность едвничвой длины. А! — дуга длины 1/2 с произволь- 1 ыым началом,кая!доеА (и = 2,3, ...) — дугадлпны 1 —,—, сначаломвкони.+ 1 це дуги Л„! (дуги берутсл в одном направлении, скажем, против часовой стрел/ о оо ки). 234. Р(1!ш!и!Ап) =Р ~ Ц П Ай~ 1пп Р ~ й Ай) <1!ш!и! Р(Ли)- и 1й и и й и /оо 1 Гоп оо ~(1!ш вирр(Аи) = 1!ш Р ~ Ц Лй~ Р~ й Ц Ай) = Р(1!ш вирА„ ), 2 35. Дв. п оо й=и и 1й=и 2.36.
Р(1!ш вир Ап) = Р ~ й Ц Ай) 1!ш Р] Ц Ай~], но Р~ Ц Лй) = \и 1й и / и- йй и / '1 а=и 4 Пнг ~ ~Чр~ Р(А„Ай+ )+Р(Аи+ )) К ~ Р(А„А,+ )+1ыпр(Аи ) = й и й и - Я Р(Лйлй,,) О й и 213 » при и еи. 237. Не обязательно, например, Аз, = А, Лз = А, Р(Л) = 2 2,38. !!ю Р(Аи) =- !!»и (Р(А,В»~)+ Р(ЛиВи)) = !!ю Р(АиВи)+ и »» -!- !пп Р(А Ви) ( Нп Р(Ви)+ Ню Р(АиВи) = !!ю Р(ЛиВи) Обратное и и и и Р (А„) ыераеепство очевидно. 2.39. Воспол! зуйтесь соотпошепэязпз Р(ЛиВз) "' =1+ ' " "' От условии (!) отказаться, вообще го- Р (ЛлВи] Р (Л„В„) ' варя, нельзя. Например, возыште э качестве вероятностного пространства отрезок [О, 1) с о-алгеброй борелевских подлзыожеств и ыерой Лебега и Л„ = [О, 1/и], В = [1/(2и), 1].
2ЛО. Легко видеть, что А = ц Я(ю) < а) Д !1! (ю) > аНи В = й'~,!А () ( Ц (Й(ю) > а) П (1! (ю) <и)))), и и С А () В, где () озыачает объедиыоыпе по всем рациональным а. Множества и ($(ю) > а) и (0(ы) ( а) являются событиями по определению. 2.41. Нет, ые обязана. Например, й — отрезок [О, 1], А — о-алгебра счетных подина песте и пх дополнений, Р— мера Лебега, й = оз. 2.42.
е) (пып (5, 1!) ~ х) = ($ ( х) () (П ( з) — событие. Таким образом, все подмножества вида (ш!и (й, П) ( х) принадлежат о-алгебре событий, следовательно, ей принадлежит о-алгебра, порождевная классом л»ыожеств такого вида, т. е. о-алгебра, порожденная функцией отш (5, и). это по оыределенкю оавачает, что ш1п (э, и) — случайная величина.
Аналогично проводптсн доказательство в других случаях. 2АЗ. а] Нет, б) нет, в) пег, г) да, д) да, е) нет. 2Л4. Воспользуйтесь соотношениями (ех !п1$и( з) = () (ии 5 < х) и эпр во = — !п1( — йи), и и и и 2Л5. Нет. 2.46. Пусть (й, Ф, Р) — вероятностное пространство, иа котором задана случайная величина 2 и ,Я вЂ” о-алгебра борелевсиях множеств прямой. Пусть В ш Я.
Так как /(з) — борелевская функция, /-'(В) = В»ш М. Но Ч-1(В) = э-»(В») ш,Ф и, следовательно, 0 — случайная величина. 2А7. Воспользуйтесь определением борелевской функции. 243 (/А»в) =»А 27А»в+»в=ТА+»в 2»лув=»Алв+»Ля+уолл + /АВ 2~А/В 7Алв+ /Въ А+ 7А~В+ ~А/В Аун ~ллв+~въ А ~А»лв 2.49. й — множество всевозможных последовательностей пз пяти букв, две из которых — буквы Ч, а три — буквы Б, лт — множество ясеч подмыожеств 11 Р приписывает равные вероятыостп всем одноточечным событиям. о-алгебры, порожденные случайыой величиной $: а) о-алгебра, порожденная событиями Аь Ли Лз, Аз, где Лз — множество всех элементарных события, начинающихся буквой '!, Л» — начинающихся комбинацией БЧ, Аз — комбинацией ББЧ, Л,— ББВЧ, б) триввальыан о-алгебра; И, й, в) о-алгебра, порождеыная гобытиямп Вь В,, Вз Вь Вз, где В, — множество всех элементарных событий, начинающихся комбинацией БЧ, Вз — ЧБ, Вз — ББЧ, В» — ЧЧБ, Вз — БББЧ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
