А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Положим г, — В, (1 — й) + В.+, (й + 1 — 1), й «< й + 1„ Я -$,+...+~. Будет ли процесс Я, марковским? 10.70. Пусть $о 1 ~ О,— однородный марковский процесс со счетным числом состояний (О, 1, ...). Доказать, что если переход- 189 ные функции Рсс(1) непрерывны при 1= 0, то они равномерно пе. прерывны при $ > О. 1071. Пусть ас и о)„1~ О,— два однородных марковских процесса со счетным числом состояний, Р„(1) и с,)с,(1) — соответствующие переходные функции. Доказать, что если для некоторого го > 0 и всех 1 и / Ра(1)=()„(1) прн О < с < то то Ро(1)= с)е(Г) прн всех 1> О. 10.72. Пусть ~„1>0,— однородный марковский процесс с конечным числом состояний (О, 1, ..., /)С) и переходными функциями Ро(1).
Доказать, что определитель матрицы Р(1) с злеыентаып Р„(1), О» с, /<Ж, положителен для всех 1>0. 10.78. Пусть в„г>0,— однородный марковский процесс с конечным числом состояний (О, 1, ..., /с/) и переходными функциями Ро(1). Предположим, что Р„(1) непрерывны при всех 1> О. Доказать, что существуют конечные пределы Р.. (ь) — 6..
(1, (чь /, ан=!пп " ", бп=~ о о " ' О (Ф/с причем ~ ац = — ап. сс ес 10.74. Привести пример однородного марковского процесса со счетным числом состояний, для которого существуют конечные пре- делы Р,(с] 1!ш ", =ан, с о но,~~ ац ~ — ап. т:- ъ 10.75. Доказать, что люоая однородная цепь Маркова является строго марковской относительно семейства и-алгебр У а., и 0,1,.... 10.76. Привести пример марковского, но не строго марковского семейства.
10.77. Пусть в„1> О,— марковский случайный процесс со счетным множеством состояний (О, 1, ... ). Предположим, что в момент т = О процесс находится в состоянии с. Найти функцию распределения времени до первого изменения состояния процесса. $0.78. Найти все пнвариантные меры, соответствующие матрице вероятностей перехода Рп (с) )нп ", = ан, с~/, о ( (2+ е '«')/3 (1 — е ос)/3 ) (, (2 — 2е ')/3 (1 + 2е с)/3) $0.79. Привести пример марковского семейства с двумя пе пропорциональными друг другу конечными инварнантнымн мерами.
10.80. Показать, что не существует марковского процесса 1>0, в,=О, с двумя состояниями (О, 1) и непрерывными почти наверное траекториями, переходные вероятности которого равны Рос(1)= е Ро (1) 1 е Р с($)= 1 190 4 4. Процессы массового обслуживания !0.8!. Пусть $ и ц — независимые неотрицательные случайные в личины Р($<х) 1 — е "", Р(т~<х)=С(х).
Доказать, что Р (З < и + т( ф ) т() = 1 — е-'", и ~ О, в частности, для любого ! > 0 Р($ < и + г1з ~ !) = 1 — е '", и ~ О. (Свойство отсутствия памяти у показательного распределения.) 10.82. Доказать, что случайный поток является пуассоновским с интенсивностью Л тогда и только тогда, когда оп является рекуррептным потоком с А (г) = 1 — е ", ! ~ О.
10.83. Доказать, что случайный поток т„полученный в результате наложения й независимых пуассоновскпх потоков тЧ, ..., ч~ с интенсивностями Л„..., Л„является пуассоновским с интенсивностью Л = Л, +...+ Л,. 10.84. Пусть задан пуассоновский поток с интенсивностью Л. Каждое требование этого потока с вероятностью ре 1 1, ..., й, ~ р; = 1, отнесем к 1-му подпотоку независимо отостальных требо=! ваний. Доказать, что рй подпоток является пуассоновским с интенсивностью Лр. 10.85.
Пусть пуассоповскнй поток с интенсивностью Л подвергается следующей операции просепвания: первые й требований теряются, (к+ 1)-е — остается, затем снова й теряются, следующее остается и т. д. Доказать, что просеянный поток (он называется позоком Эрлапга порядка й) является рекуррептным потоком, онре«еляемым функцией распределения ы р ь А(!) = ) —,е *(Ух. 10.86. Обозпачпм через ч, случайное число требований пуассоновского потока, поступивших в интервале (О, !). Доказать, что при Ю(Т, й<я 10.87. Докааать, что если известно, что на отрезке !О, Тт, Т ) О, поступило )У требований пуассоновского потока, то поток требований на этом отреаке является потоком Бернулли.
10.88. Пусть задан рекуррентный поток требований, определяемый функцией распределения А(!). Каждое требование независимо от остальных либо с вероятностью р выбрасываем нз потока, либо с вероятностью 1 — р оставляем. Покааать, что поток оставленных 19! требований является рекуррентным потоком, определяемым функ- цией распределения В(С), где В(С) А(С) — р~Р(р, С вЂ” и)НА(и), о а преобрааование Лапласа функции Р(» С) равно Оо К:-"' е "Р(з, С)АСС вЂ”, а(о) ) е-оЫА(С). о о 10.89. Доказать, что для любого стационарного потока существует 1 — Р (11 о 1,о где Ро(С) — вероятность того, что за время С не поступит нн одного требования. Число СА (конечное илн бесконечное) называется параметром стационарного потока.
10.90. Пусть СА — параметр, а Х вЂ” интенсивность (т. е. среднее число требований, поступивших в единицу времени) стационарного потока. Доказать, что если параметр является конечным положительным числом, то условия: а) ординарность потока; б) Х = СА равносильны. 10.91. Для каждого п > 1 рассмотрим суммарный поток получающийся наложением и независимых потоков, где Й-й поток (й = 1, ..., и) является рекуррентным потоком с аапаздываннем, определяемым функциями распределении А„(С) и А„(С): 1 А,А (С) ао ~ (1 — АА (и)) Ни, аз ' ~ (1 — АА (И)) 1)и. о о Предположим, что прн и 1) а, +...
+ а„= а = сопИ; 2) шах (ао) - 0; 1сосо 3) при каждом фиксированном С Снах (АА (С)) -~ О. 1САСо Доказать, что при и- ° поток ~ равномерно сходится к пуассоновскому с параметром а. 10.92. Поток пассажиров на остановку — пуассоновский с интенсивностью Х. Через случайные интервалы времени $о $ь ... на остановку прибывают автобусы. Случайные величины ~ь с„ независимы в совокупности и одинаково распределены с нерешетчатой функцией распределения С(х), р ' = ~ хсСС(х) ~ со. Автобус о Сев забирает всех пассаягпров, находящихся на остановке в момент его прибытия.
Пусть пл — время ожидания до приход» автобуса начиная с момента й Найти 1ип Р(!р! ( у). В задачах 10.93 — 10.95 рассматривается та же система обслуживания, что я в задаче 10.92, 10.93. Пусть а! — время, прошел!нее с момента последнего прихода автобуса до момента д Найти Нп! р(а! (у). ! 10.90!. Найти Нт Р(грг(и, а,(п). ! 10.95. Пусть ч, — число пассангиров на остановке в момент времени Г.
Найти Не Р(р! = й), к = О, 1, 2, „, ! 10.96. Найти вероятность Р,Я свободного состояния в момент 1 системы М!М(1!О, если интенсивность входящего потока равна )г, среднее время оослужпвания — 1г ' и: а) в момент г = О система была свободна; б) в момент 1 = О система была занята. 10.97. Найти вероятность д того, что в стационарном режиме в системе М!М!и! все приборы запяты, если интенсивность входящего потока равна Х, среднее время обслуживания — р ', причем Л( пр. 10.98. Рассмотрны систему обслуживания М!М(1!, Предположим дополнительно, что длительность пребывания и-го требования !нумерация требований производится в порядке их поступления в систему) в очереди ограничено случайной величиной ф„.
Случайные величины й„в„... независимы в совокупности и одинаково распределены с функцией распределения 1 — е '*, х ~ О. Пусть Х— интенсивность входящего потока, 1! ' — среднее время обслуживания. Найти веронтность Р, того, что в стационарном режиме систеыа свободна. 10.99.
Рассматривается та же система обслуживания, что и в предыдущей задаче. Найти математическое ожидание й числа требований в системе в стационарном режиме. 10.100. Найти стационарную вероятность того, что в системе М!М!п!пг: а) заняты все приборы (Р„); б) аапяты все места для ожидания (Р„„). !0.101. Рассматривается та же система обслуживания, что и в предыдущей задаче. Найти математическое ожидание У числа приборов, запятых обслуживанием в стационарном режиме, 10 102.
Рассматривается та же система обслуживания, что я в предыдущей задаче. Найти математическое ожидание числа треоовапии: аг в очереди г1; б) в системе й в стационарном рея!яме. 10 103. Рассмотрим систему М!С1!1!», Пусть Х вЂ” интенсивность входящего потока, Ь'(т) — функция распределения длительности об- 13 л. в. проророо и рр. зги служивания, пг — вероятность нахо'кдепия в системе 1 требований в стационарном ре'киче. Доказать, что прн О, .т<а, В(х) = -(,'.;.. и, = 1 — Ха, п,=(е"' — 1) (1 — Хи), Г(ьл М' ь ~ью' " '1 ь- — 1 +(1 — Ха)е'"гх, 1 «2. 10Л04.
Рассматриваетсн та нге система обслуживания, что и в предыдущей задаче. Пусть 1, — вероятность того, что за период занятости обслужено 1 требований. Показать, что прп (О, х(и, е «~"г В (т) = $ Л = ' —. () аУ '. (1, х)а, ' Д 10.105. Рассмотрим систему М~С1111 . Пусть Иг(х) — функция распределения времени ожидании в стационарном режиме, Л вЂ” интенсивность входящего потока, В(х) — функция распределения времени обслуживания. Доказать, что И'(х) — безгранично делимая функции распределения. 10.106.
Рассматривается та же система обслуживания, что и в предыдущей задаче. Найти функцию распределения интервалов времени хгенгду уходом из системы требований в стационарном режиме. 10Л07. Рассмотрим систему М~С1!1~ . Пусть после окончания обслун<нвапия каждого требования с вероятностью р оно покидает систему и с вероятностно 1 — р возвращается в очередь для повторного обслуживании независимо от остальных требований п числа предыдущих поступлений на прибор данного требования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
