А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Пусть ф, — стохастически непрерывный случайный процесс. Доказать, что для всякой непрерывной ограниченной функции Р(х) функция Е<рД~) непрерывна по 1. 1020. Привести пример случайного процесса $о 1ж (а, Ь1 такого, что для любой непрерывной ограниченной функции я(х) функция Ед($,) непрерывна на 1а, Ь~; но ~~ не является стохастически непрерывным. 10.21. Пусть $~ — стохастически непрерывный случайный процесс, а д(х) — непрерывная функция. Доказать, что если при некотором сс ) 1 апрЕ!а(Ы! ( то функция Ед($,) непрерывна по г. 10.22.
Покааать, что стохастически зквивалентные процессы имеют одинаковые конечномерные распределения. 10.23. Доказать, что процесс, стохастически эквивалентный стохастически непрерывному процессу, стохастически непрерывен, 10.24. Рассмотрим на вероятностном пространстве (П, .Ф, Р), представляющем собой отрезок [О, 1) с о-алгеброй борелевских подмножеств и мерой Лебега, случайный процесс $,(ю), определенный следующим образом: 1, если прямая, проходящая через точку (г, ю) параллельно прямой Ф = ю, пересекает ось 1 в рациональной точке„ О в остальных случаях.
$( )- Показать, что $,(ю) стохастически непрерывен, но все его траектории разрывны в каждой точке. 10.25. Пусть ~, — случайный процесс, определенный на вероятностном пространстве (й, Ф, Р). Доказать, что если й счетно и все одноточечные множества имеют положительную вероятность, то стохастическая непрерывность процесса $, эквивалентна непрерывности всех его траекторий. 10.26. Доказать, что если множество значений параметра г случайного процесса $, счетно, то процесс измерим. 1М 10.27, Пусть $, — случайный процесс, все траектории которого непрерывны, а множество значений параметра Ф представляет собой отреаок прямой. Доказать, что $, измерим. 10.28. Доказать, что все траектории измеримого случайного процесса измеримы.
Обязан ли случайный процесс быть измеримым, если все его траектории измеримы7 10.29. Пусть ~„а~1~ Ь,— случайный процесс. Доказать, что для его измеримости достаточно, чтобы все его траектории были непрерывны справа (или слева). 10.30. Пусть ф„а<1< Ь,— стохастическв непрерывный процесс. о Доказать, что на [а, Ь) существует измеримый процесс $~, сгохасткчески зквивалентвый $ь 10.31. Пусть $, — стохастически непрерывный яа [а, Ь| (за исключением не болев чем счетного числа точек отрезка [а, Ь1) случайный процесс.
Доказать, что на [а, Ь] существует иамеримый процесс ~~, стохастически эквивалентный Вь 10.32. Пусть ф„бы Т,— случайный процесс, У=(г„...,б„,...)— счетное всюду плотное в Т множество. Процесс называется Ж-сепарабельным, если для любого г ов Т 1(ш зпр $~„-» $о )» Пш (п1 $~„. б о (~-г„)~б " б о (1„-Цгб Пусть Т = [а, Ь). Доказать, что если $, стохастически непрерывен на [а, Ь1, то для всякого счетного всюду плотного в [а, Ь) множества У существует процесс $о стохастически эквивалентный ~~ и У-сепарабельный.
10.33. Пусть все траектории пуассоновского процесса непрерывны справа. Доказать, что тогда почти все траектории — неубывагощке целочисленные функции, возрастающие только скачками величины 1. 10.34. Доказать, что для того, чтобы случайный процесс $, был непрерывен в среднем квадратическом на множестве Т, необходимо в достаточно, чтобы функция Е,(1, г)= Е~Д, была непрерывна на множестве Т Х Т по совокупности аргументов.
10.35. Доказать, что для того, чтобы случайный процесс $, был непрерывно дифференцируем в среднем квадратическом на интервале (а, Ь), необходимо и достаточно, чтобы функция Х (г, г) Е~Д, обладала на множестве (а, Ь)Х(а, Ь) непрерывной смешанной производной второго порядка по г и г. 10.36. Доказать, что пуассоновский процесс дифференцнруем по вероятности, но не дифференцируем в смысле сходямостн в среднем любого порядка р > 1. 10.37.
Найти корреляционную функцию случайного процесса $, 7,),(б)+...+7 1„(1), где ),(г), ..., )„(г) — неслучайные функции, а 7о ..., 7 — некоРРелиРованные слУчайные величины с дисперсиями Ы„..., о(. соответственно. твв 1 0.38. Пусть фь Е ю Т,— случайный процесс с корреляционной функциеи К(Е,«). Доказать, что К(Е, г) неотрицательно определена.
10.39. Пусть $~,..., Ц~ — независимые случайные процессы, та- (Ц Ея) кие, чтоЕ~сп О, Е 1, ..., и; К,(Е, г), ..., Х„(Е, г) — соответствующие корреляционные функции. Найти коррелнцпонную функцию процесса~)" + ... + Ц"'. 10АО. Доказать положительную определенность следукнцпх функций: К,(Е, г) пнн (Е, г), Е, г )~ О; 1 — (Š— г), )Š— «)(1 К,(Е, г) = О, (Š— «!)1, Е, зев: .ЕЕ; К,(Е, г) = щ(п (Е, г) — Ег, Е, «г= (О, 1); К,(Е, г) = е-к-ч, Е, «~Л. 10.41. Пусть К(Е, г), Е, «юТ,— корреляционная функция некоторого случайного процесса, Ч(г) — колином с положнтельнымн коэффициентами.
Доказать, что функция К,(Е, г)= 0(К(Е, г)) также является корреляционной функцией некоторого случайного процесса. 10.42. Найти спектральную плотность случайного процесса корреляционная функция которого равна К(Е) = се "", с, п ) О, Е~В. 10.43. Пусть $ь Е щ В,— случайный процесс с пулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией К(Е, г)= е". Доказать, что оп оесконечно дифференцнруем в среднем квадратическом. 10.44. Пусть ~ — случайная величина, имеющая нормальное распределение с математическим ожиданием л«п дисперсией о, Ь— вещественное число.
Найти корреляционную функцшо процесса с, =- ЬЕ+ Ь, Е ~ О. 10.45. Пусть А, ц и ~р — случайные величины, ~р не зависит от А и т(, А ~ О, ц ~ О, ~р равномерно распределена па отрезке [О, 2лЕ. Найти математическое ожидание и корреляционную функцию процесса ~, = А сов(т)Е + ~р), Е~и К. 10.46. Пусть <р,(Е), ..., ср„(Е) — произвольные вещественные функции, с„..., с — неотрицательные числа. Доказать, что функция и К (Ет Ег) Х сНр~ (Ез) ф~ (ЕВ) является корреляцяонной функцией некоторого случайного процесса.
186 10.47. Пусть Ь, и $~ — два независимых случайных процесса с (О (г) корреляционными функциями К,(г, г) и Кг(С, а) соответственно. Найти корреляционную функцию процесса тп=ы ы и 2. Ветвящиеся процессы 10.48. Найти производящую функцию числа частиц в п-и поколении, если пронзводящая функция непосредственных потомков одной частицы равна: а) рг+ 1 — р; б) (1 — р)/(1 — рг); в) 1 — р(1 — г), 0 < р < 1, О < и < 1. 10.49. Найти вероятности вырождения для ветвящихся процессов с производящей функцией числа потомков одной частнцы: а) (1 — р)/(1 — рг); б) 1 — р(1 — г)", 0<а<1; в) (1+а+а'+ + г')/4.
10.50. Найти распределение времени вырождения Т для ветвящихся процессов с производящей функцией числа потомков одной частицы: а) рг+ 1 — р; б) 1 — р(1 — г)', 0 < и < 1. 10.51. Пусть Х„Х„... — ветвящийся процесс, Хт = 1. Доказать, что Р(Х„>Ю прв некотором 1<и< т — 1(Х„=О)<[Р(Х = 0)) . 10.52.
Найти производящую функцию общего числа частиц в первых и поколениях, если производящая функция числа потомков одной частицы равна рг+ 1 — р. 10.53. Рассмотрим ветвящийся процесс Хз, Хо ... с производящей функцией <р(г) = +— 1 — (Ь+ ) Ьг О < с < Ь+ с < 1, (1 — Ь вЂ” с)/[с(1 — с)] > 1, Найти 1~ш Р (Х„= й( Хп > 0). И 10.54. Пусть в ветвящемся процессе Х„Х„... из задачи 10.53 1 — Ь вЂ” с = с (1 — с). Найти Нш Р (Х„< пх !Х„) 0).
и ю 10.55. Пусть Х., Х„...— ветвящийся процесс, Х~ = 1, ЕХ, = т. Доказать, что Е(Х„+,!Х„) = лт"Х„. 10.56, Пусть Хь Хо ...— ветвящийся процесс, Х, = 1, ~р(г) = = Егхц ср„(г) = Егх", ~р' (1) ) 1. Обозначим через У„число всех частиц в п-и поколении, имеющих бесконечное число поколений 187 потомков. Доказать, что ЭВ ч„( (1 — ч)+ч) — ч ~*Ч ();-й)Г,-Х,-1)- " а=о где сс — вероятность вырождения. 10.57. Найти производящую функцию числа частиц в момент г для ветвящегося процесса с непрерывным временем и производяп(ей функцией инфинитеаимальных параметров: а) 1(х) а,х'+ а,г — (а, + а,), ас ~ О; б) ) (х) - х' — х, сс ) 2; в) 1(х) 1 — х — 71 — х; г) 1(х) а(1 — г)[1+1п(1 — г)1, Х)0„ 10.58.
Найти вероятности вырождения ветвящихся процессов из задачи 10.57. 10.59. Пусть Хс — ветввщийся процесс с производящей функцией инфинитезимальных паРаметРов 1(х) а,х'+ а,х — (а, + ас), гДе а,) О, а, + 2а, < О. Доказать, что в Исае ('с+'"сРР(Хс) О) 1+ — ~ с-+а а +а' 10.60. Доказать, что для ветвящегося процесса Х, с производящей функцией 1(х) = 3 — 5г+ х'+ х' Н 1-ср(Хс~о)= —. 1 с-~а 10.61. Пусть Х, — ветвящийся процесс с производящей функцией 1(г)= х' — х. Доказать, что Х,е ' сходится ври 1- ~е в среднем квадратическом к случаиной величине $, имеющей покааательное распределение с параметром 1.
10.62. Пусть Х, — ветвящийся процесс с производящей функцией 1(х) = г' — 2х+ 1. Докааать, что х х о ~х(Х,)О 1 — е-*. Хс Е(Х,~Хс>0) $3. Марковские процессы 10.63. Доказать, что следующие определения марковского процесса $, зкеввалентны." а) для любого х и любых А си У".хс, Вы У ьс Р(АВ(У с)=Р(А(У',)Р(В(У:,) и, н,; б) для любого 1 и любого В си У ьс Р(В!У,хс)=Р(В!У с) п. н.; 188 в) для любого Г п любого А ~и Зг~~ Р(А]бг«,)= Р(А]У,) и.
н. 10.64. Докажите, что случайный процесс фо г<в Т, со значениями в фазовом пространстве (Х, й)) является марковским, тогда и только тогда, когда для любых г, 4а,4...(г еь 141,4...*= 1„, гь 1, 0 и Т, и любых А„..., А, В„..., В ~из) / т в р ~ (] ]Ь,ен А;] () (] ]Бр Вт] ] $, / т в - р ~ (] ]Ь;ен А] ] Ь~ р ~ (] ]ВО ен Вт] ] $с ° 1-1 ' а 1 10.65. Для того чтобы случайный процесс $о 1~и Т, со значениями в фазовом пространстве (Х, 1)) был марковским, необходимо и достаточно, чтобы для любых г, < зт ~» ° ° «» зт ~ Г ~ 1, ~Я ° ° ° » ~1» гь 1, Ож Т, и любых ограниченных й)-измеримых функций Гь ...
° ° ° ?и бо ° ° ° Ю т и р т Г в е [П л ~е ) П к~ щ 1 е ) - ~ [П ь (ь ) ~ а ] ° [П е Ое) я ] ' 10.66. Пусть $о 1~0,— марковский процесс. Доказать, что $, и О, 1, ...— марковский процесс с дискретным временем. 10.67. Пусть $о $~0,— марковский процесс. Будет ли последовательность где [х~ — целая часть х, цепью Маркова? 10.68. Пусть (в.) — последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковую плотность распределения р(х), р(х)) О, -а» х» «. Будет ли последовательность (ц„) марковской, если: а) т)„=$„,и=0,1,...;б) 0„=$,+...+$„,и=0,1,...; в) ц„шах (О, $ь ..., й„). Для цепей Маркова найти переходные вероятности за один шаг. 10.69. Пусть ($.) — последовательность независимых случайяых величин, имеющих одинаковую плотность распределения р(х), р(х)) О, — » х» а .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
