А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 33
Текст из файла (страница 33)
9.67. Эргодичны ли цепи Маркова со следующими матрицами вероятностей перехода за один шаг: а) ~О 1) б) (1 О) в) ~1 О) г) ~172 172) д) (172. 1~2) О О О 9.68. Пусть цепь Маркова имеет по крайней мере два несообщакпцнхсн состояния. Доказать, что она не является зргодической. 9.69. Пусть цепь Маркова имеет два состояния. Доказать, что имеет место один из следующих трех случаев: а) цепь эргодична; б) состонния не сообщаются; в) матрица рО 11 вероятностей перехода за один шаг имеет вид ~1 О). 9.70. Эргодичная цепь Маркова с двумя состоянинми имеет предельные вероятности р и д -1 — р. Найти матрицу вероятностей перехода за один шаг. 9.7$.
Доказать, что если все существенные состояния однородной цепи Маркова с конечным числом состояний обраауют один непериодический класс, то существуют не зависящие от 1 пределы 1пп Р1чр = п1. 171 9.72. Цепь Маркова имеет следующую матрицу вероятностей перехода за один шаг: Ро Р! Ро ° Р«» Р Р»«-! Ро Р! Р! Ро Рз ' Ро «»-1 где 0 ( р» ( 1, ~г р,. = 1.
Доказать, что о Нш Р($„= х!) = 1»."»и, 1 = 1, 2, ..., т. ««» 9.73. Пусть $о» ь„... и т(„ц„... — две цепи Маркова с конечным числом состояний, одинаковой матрицей вероятностей перехода за один шаг и начальными распределениями (р„..., р ) и (у„..., д ) соответственно. Доказать, что если ш1п Р»») з) О, »,» то ~~ ~ р1~! д)~! ~» 2(1 шс)» где р;" = Р(4„1), »7;" Р(»1„= !). 9.74. Пусть конечная цепь Маркова является зргодической и пз = Нш Р»,"'. Доказать, что существуют О < р < 1 н С, такие, что ««» ~ Р',*и — и;(( Ср" для любых », 1 и п. 9.75.
Доказать, что если матрица вероятностей перехода цепи Маркова имеет два собственных значения, по модулю равных единице, то цепь неэргодвчна. 9.76. Рассмотрим цепь Маркова из задачи 9.62. Доказать, что при р, ° О, р, + р, (1,~~",йро(1 она является зргодической. Найти производящую функцию стационарного распределения. 9.77.
Найти стационарное распределение цепи Маркова из задачи 9.54 в случае сходимости ряда ~.„р!. »=! 9.78. Рассмотрим цепь Маркова со счетным числом состояний и матрицей вероятностей перехода за один шаг Ро Р» Ро 1 О О О 1 О О О 1 Доказать, что при р» ) О, 1= О, 1, ...,~', »р» (оо цепь является эргоднческой. Найти производящую функцию стационарного распределения.
172 й 4. Разные задачи 9.79. Рассмотрим цепь Маркова со счетным числом состояний (... — й, — /о+ 1, ..., — 1, О, 1,, й, ...) и вероятностями перехода за оЛин шаг р, / 1+1, РО= 1 — Р, /=1 — 1, 0 для остальных /. Н айти производящую функцию времени возвращения' в состояние О. 9.80. Пусть дана цепь Маркова с состояниями (О, ..., /(/) п матрнцей вероятностей перехода аа один шаг р, /=1+1 1 — р, /=1 — 1, 1=1, ...,/У вЂ” 1, Роо = ~ юл = 1.
Найти математическое ожидание времеви до поглощения, при условии, что начальное состояние /о. 9.81. Пусть цепь Маркова с состояниями О, 1, ..., /(/ имеет матрицу вероятностей перехода за один шаг Ьь /=1 — 1, а„ / =1+ 1, 1 — (а;+Ь;), /=1, О, (/' — 1(~1, где по= йо=ао=йа=О, а~>0, Ь|>0, 1=1, ..., У вЂ” 1. Найти вероятность поглощения в состоянии О, исходя нз состояния й. 9.82. Пусть $ь ~ь ...
— независимые, одинаково распределенные случайные величины, Р($, = 1) = Р(~, = — 1) =1/2, го О, г„= г,, + зь /г = 1, 2, ... Положим то = ш(п (п > 1: ~г„( И. Найти Ет„. 9.83. Матрица вероятностей перехода за один шаг цепи Маркова с множеством состояний (О, 1, ..., Л) имеет вид /0 1 0 О ... О 0 О 1/2 0 1/2 0 ... 0 О 0 0 1/2 0 1/2 ...
0 0 0 О 0 0 0 ... 1/2 0 1/2 О 0 0 0 ... 0 1 0 Нанти матрицу вероятностей перехода за п шагов. 9.84. Пусть ~„$о ... — неразложимая возвратная положительнан цепь Маркова, Р(ьо 1)-1, /У„(1) — число возвращений в сои (/т„(1)) стояние 1 за первые п шагов. Доказать, что Нш " —, где о рч р< — среднее время возвращения в состояние й 9.85. Пусть для неразложимой марковской цепи с состояниями (О, 1, 2, .) существует а >О, такое, что /<о >а для всех 1Ф О. Доказать, что все состояния цепи воавратпы.
173 Глава 10 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ Оеяаааые лалягил. Пусть ((], М, Р) — нсяотороо вероятностное пространство. Функция двух переменных $>(«>), определенная при с ш Т, ю щ (], принимающая значения в пространстве Х, лг-измеримая как функция ы при каждом с щ Т, незынается случай»ай фу»к>сией, а Х вЂ” ее аул»стью значений.
В том случае, когда Т предстаедя<т собои подмножество числовой прямой, случайную функцию чаще называют случайным яра»сагам. Прп фнксвровапвом ы $<(ы) называют реализацией (траекторией) случайного процесса. два случайных процесса $> н зс, сщТ, заданных па одном п том же веронтностпом пространстве, называются ггалаегичегки элеиеалеигиыми, если ддя любого С щ Т (ь ~$) Случайный процесс 3„с ш Т, н»зьн>ае>ся сел»рай> ль»ым, если сущгсгву<от в 1' счетное вгь>ду плотное мно>кесг»о (с,), и, и» 1] м<кпкесгно д вор<и>тногти и такие, что для л»юого о>крытого лниж,естеа С щ Т и з»мкнугого множества Р ~ Х два мн<окестаа (ы: ч<, (<д) <и 1>, ус ° <и б), > (ы: й (<а] <в р, ус <ы О~ от>пи>а<отея только на подмножггтао СС !]ус>ь (П, зй, Р) — еероятна<нное прости»петю>, й>(е>], с <н Т,— заданный и» иси случайный прож<с го значении>п> е ищричггкои пространство (Х, р), Пусть на Т определена о-алгебра Я, <одержан<»я борсдевсьие множества, в иа Я вЂ” иююторан познан иер» и.
ОГолн»чим черо» а(Я Х лу] о-алгебру, порожлгнпу»> в Т Х П произ»сдснисм о-алгебр Я Х Ю, и через о(Я Х лй) — ее поколи< пие относительно иеры И Х Р, Счучайный процесс $<(ы) называется измеримым, если функция (с, ы) 2<(е>) измерима относительно. а (Я Х,Ф). Всюду в дальнейшем в случае Т <= И в качестве а-алгебры Я будем вы- Г>ирать о-алгебру борелевских множеств, в качестве меры р — меру Лебега. В случае Т ~ (О, 1, 2, ...) в качестве Я будам выбирать множество всех подмножеств Т.
Пусть 2<, с <н Т,— случайный процесс, па Т задана метрика >; Случайный процесс й> со аначениямв в >и называется егазасгичегки иеарерыеиым (иелрерыеиым е средиел> наряд»а р > 0) а точке се, если для любого е > О Р0$ — $ )>е)-< О (Е)ь — ь> )Р-ьО) иРи г(С, Се) - О.
174 Случайный пропттс Цн зги Т, со значениями а Я" называется стохастически озраничвнны.ч, селя вирр(()ч()Л)- О прл В- сит Случайный процесс $н ссиТ, со значениями в И" называется равномерно стохастичгсни нвнрерывным па множестве К ш Т, если для любого ь ) 0 существует б > О, такое, что Р () $с — 4с, ( > е) е для всех С, С' ш К, т(с, с') ( 6. ФУнкЦиЯ К(С, з) = Е$Дз — ЕЦ~Еф, называетсЯ коРРглаЦионной фУнкЦией случайного вроцесса Ез (Х = Я вЂ” мпожество компдексвых чисел). Жарковские процессы.
Пусть Ен с си Т, — случайный вроцесс, Х вЂ” область его зпачевий, М вЂ” некоторая о-алгебра ва Х, содержащая все одпоточечпые множества. Обозпачвм У ни У он в У, — о-алгебры, порвждеввые сл>чайными величинами Укс ой„з ( с), У -. о(Ен з ~ с), У, = о(Е,). Случайный процесс Еи зги Т, называется марковским процессом с фазовым прострапстеом (Х, М), если для любых А си У,аи В ж У -„почти пазгриоо Р(АВ~У ~) =Р(А~У с)Р(В)У ~). В случае Т = (О, 1, ...) марковский процесс называют цевью Маркова (марковской кослгдовотельностью). Функция Р(з, х, с, Г), определевпая для з, с ж Т, з < с, х зи Х, Г ш М является нергходной фунацией марковского нроцвсса $ь С си Т, если: а) прв фиксированных з, с, х функция Р(з, х, с, Г) является вероятпоствой мерой ва М; б) прв фвксировапвых ь, с, Г фувкция Р(з, х, с, Г) взме- (1, хсиГ, рима отпосвтельпо о-алгебры М; в) Р(з, х, в, Г) г) для любых хчнГ; з~(с хезХ 1 шМ Р($у ж Г)5 ° ) = Р(в, Ег, с, Г) п.
и. Последвюю формулу можно переписать в виде Р(з, х, С, Г) РД|вв Г!бг х)- Если Х вЂ” ве более чем счетно, переходная функция полностью определяется аадапием вероятностей перехода р(з,х, с, у) = Р(з,х, с, (у)). Переходпые функции марковских процессов удовлетворяют соотношению Р(г, х, и, Г) = ~ Р (г, х, с, ду) Р(с, у, и, Г), Х яааываемому уравнением Колмогорова — сувнмгна. Пусть фиксировано некоторое множество Т ва прямой и фазовое пространство (Х, М). Пусть функции Р(з, х, с, Г) удовлетворяет условиям а) — в), П вЂ” множество алемептарвых событий, $с(ю) — функция, определенная па Т >( С> со аиачепиями е Х.
Полоясим У т — — о (Ц, с ш Т), У 1, с) — — и (сй г < и < с), й'лс = о((. з < с) У эс = и (е. г ~ С). Предположим, что для каждого з ш Т и каждого х~в Х па о-алгебре х в определена вероятностная мера Р,,н Пара ($~(ю), Р,,„) вазыееется марковским семейством с нервходной функцией Р(з, х, С, Г), если для любых з, х: Иб 1) случайный процесс $г(ю), сев Т П (в, аа) па вероятвоством простравстве (й, У м„р,,,) — марковский; 2) этот марковский процесс облалает переходной функцией Р(в, *, 1, Г); 3) Р...(фг = з) = 1. Наиболее часто в дальнейшем мы будем иметь дело с ад»вредными мар»еве»ими пранвгсами и семействами, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
