А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Образует ли цепь Маркова последовательность $»+ $о $ +4, Ь+$., "? 9.25. Пусть $„зо ...— последовательность случайных величин, образующих цепь Маркова. Будет ли цепью Маркова последовательность З»+ $ь $»+ $з, $. + зи ...? 9.26. Дана цепь Маркова с конечным числом состояний. Пусть $~ — состояние цепи па ?-м шаге. Будет ли цепью Маркова последовательность ц», цо ..., где )т, если $~ = х„ Ял =10, есля $~чьхп 9.27. Пусть $„фо ...— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих значения 165 -1 и +1 с вероятпостями р и <? =1 — р соответственна.
Положим: а) т(„= $Д„+>, б) >)» = шах ь<; в) >)„= Ц ч>. <>з> <» >=о Будет ли последователы(ость т)„>)о ... цепью Маркова? 9.28. Пусть с„$о ...— последовательность независимых п(ло- чис; еппых случайных величии, причем РД„= й) = р„, й = 0, Положим т)„= $„+... + з.. Доказать, что последовательность т)ь т)„... образует цепь Маркова.
Пайти гоответствующу)о матрицу вероятностей перехода за один шаг. 9.29. Пусть $„ $„ ... и >0, ц„ ... — двг цепи Маркова. Б>улет ли цепью Маркова последовательность $ + >)„ з> + т)„ ...? 9.39. Пусть (ь>, ..., $„ ), < - 1, — последовательность пезависи/ (о (о> мых одинаково распределенных случайных векторов, $> — случай- ' <(и и» ная величина, пе зависящая от ((ь»,... ь )1, (=1, 2, Пусть з, и ь„пр<гпима<от значения 1, ..., и, Построим последова(>) т<льность случайных величин >й, >й, ...
следующим образом: т), = $ю т), = Ч(о, (') 1. ч, Доказать, что последовательность ц„ ц„ ... образует цепь Маркова. 9.31. Для цепи Маркова, определешгой в предыдущей задаче, )(айти число состояний, матрицу вероятностей перохода за один и>,<г и вектор начальных вероятностей, если Р (ь(" =?) = рп, < = О, 1... и; у = 1, 2...,, и. 9.32. Доказать, что любая пень Маркова с копсчпым числом состояний может быть представлена как последовательность случайпых величин ц„, 9„.,., определенных и задаче 9.30. 9.33. Пусть с>, $„...— независимые случайпые велпчипы с дискретпым распределением, ?„, ?„...— некоторые функции.
Дока- пать, что последовательность случайных величии >1„>)„..., ) до тй+> = )а(>)м з>»), образует цепь Маркова. 9.34. Пусть в„з„...— последовательность случайных величии, образующих цепь Маркова, )(х) — некоторая функция. Будет ли последовательность 1(~>),?(в>), ... цепью Маркова? 9.35. Пусть $м $„...— цепь Маркова со счетным лпюжествои состояяий (1, 2, ...) и матрицей вероятностей перехода за од>ш шаг Р, причем состояния 1, 2, ..., (>( возвратны. Положим т,.=>в(п(0 ",~()(), т„= >и<п(<) т„,: $>-->>), и ~ 1, >)> = $ч- ° Доказзы, что п<>следогательпость 9„>(„...
ооразует цепь Маркова. 1-!айти матрицу вероятностей перехода за один шаг. 9.36. Для всякой лп цепи Маркова $„з„... со счетпыи числил< состояип)< (1, 2, . ) можно выбрать последовательность независимых меи;ду собой и по зависящих от $<, с>, ... случайных величии >си г,„, ьь ... со значениями в множестве (1, 2, ..., й/), таких, что последовательность цп ц„ ..., где и, = / (, ( /т') $, + 1 ( Ь > д/до является цепью Маркова? 4 2. Классификация состояний 9.37. Пусть $„$ь ... — цифровая последовательность, в которой цифры появляются случайно, независимо друг от друга и равновероятно.
Имеется счетчик, который в момент п показывает, сколько различных цифр встретилось среди первых п цифр последовательности ч„~„... Доказать, что показания счетчика образуют цепь Маркова. Найти матрицу вероятностей перехода за один шаг. Указать существенные и несущественные состоянии. 9.38.
Частица случайным образом блуждает па прямой по целочисленным точкам О, 1, ..., и. Из любой внутренней точки частица передвигается с вероятностью р па один шаг вправо или, с вероятностью о = 1 — р, ка один шаг влево. Попадая в точки О п и частица остается в них навсегда (поглощающие экраны). Найти матрицу вероятностей перехода за одпп шаг. Указать существенные и несущественные состояния. 9.39.
г1астица случайным образом блуждает па прямой по целочисленным точкам О, 1,, п. Из любой внутренней точки частица передвигается с вероятностью р па один шаг вправо нлп, с вероятностью о = 1 — р, на один шаг влево. Попадан в точки О п я частица в следующий момент времени с вероятностью 1 переходит соответственно в точки 1 или и — 1 (отражающие экраны). Найти матрицу вероятностей перехода зз олин шаг.
Указать существенные н несущественные состояния. 9.40. Указать суп1ествеппые и несущественные состояния цепи Маркова с матрнцеп вероятностей перехода за один шаг 1/4 1/4 О О 1/2 1/3 О 1/3 1/3 О Р = 1/2 О О О 1/2 О О О 1/2 1/2 О О О 1 О 9.41. Могут ли все состояния цепи Маркова с конечным числом состояний быть несущественными? 9.42. Могут ли все состонния цепи Маркова со счетным числом состояний быть кесуществепнымн? 9.43. Матрица вероятностей перехода за один шаг цепи Марко- ва имеет вид 1/4 1/4 1/4 1/4 р О 1/2 1/2 О ~ О 1/2 1/2 О /' 1 О О О Указать все пары сообщающихся состояний. 16$ 9.44. Цепь Маркова имеет г состояний.
Доказать, что: а) если (-е состояние достижимо из 1-го 1(чь/), то оио может быть достигнуто меньше чем за г шагов; б) если вероятность возвращения в состояние 1 положительна, то возвращение может провзойти за г или менее шагов, 9.45. Будет ли цепь Маркова с матрицей вероятностей перехода за один шаг Р периодической, если ' О 1/2 О О О О О О О О О О 1/2 О О О О О О 1/2 О 1/2 О О 1 О О О О 1 О О О О, О 1 О О 1 О О О 1/2 1/2 О О р О 1/2 1/2 О О О 1/2 1(2/' 1/2 О О 1/2 О 1/2 1/2 О О О 1 О О 1/2 1/2 О О О О О 1/2 1/2 О О О О О 1/2 1/2 ° 1/2 О О О О 1(2 О О О О 0 1 9.49. Доказать, что все состояния цепи Маркова с матрицей переходных вероятностей Р возвраткы, если 1/2 О 1/2 О /1 01 О 1/2 О 1/2 а) Р 1О 1/' б) Р =~ 1/2 О 1/2 Озу О 1/2 О 1/ 1/л О 1(в О р О 1/л О 1/и '1/2 1/2 О О 1/21/2 О О~ ~ О О 1/2 1/2/' О О 1/2 1/2 1Ез Для периодических цепей указать период.
9.46. а) Доказать, что неразложимая цепь, у матрицы переходных вероятностей которой хотя бы один диагопальпый злемепт Рл положителен, пе может быть периодической. б) Может ли неразложимая цепь, у которой все диагональные элемепты раввы нулю, быть непериодической? 9.47. Доказать, что конечная неразложимая цепь Маркова является непериодической тогда и только тогда, когда существует п такое, что рп >О для всех 1 и/.
(в) 9.48. Указать возвратпые и невозвратные состояния цепи Маркова с матрицей вероятностей перехода за один шаг р 1 — р О О О... 1 р, О ! — р, О О . . . р О О ! — рО... э з ° ! Доказать, что если ряд Дрх сходится, то все состояния этой це1=! пи возвратяы, в противном случае — невоавратны. 9.55.
Пусть все состояния цепей Маркова с матрицами вероятиостей перехода за одни шаг А и В возвратны. Доказать, что возвратны все состояния цепи Маркова с матрицей вероятностей перехода: а) ~ ); б) ( ). 9.56. Доказать, что для любого состояния 1 цепи Маркова вероятность чв возвращения в него бесконечное число раз равна О или 1, причем в первом случае состояние невозвратно, а во втором возвратно. 9.57. Пусть цепь Маркова имеет т( состояний и пусть й-е состояние возвратно. Доказать, что существует положительное число д ( $, такое, что при п > т вероятность того, что время возвращения в й-е состояние превысит п, меньше, чем д". 9.58.
Доказать, что для того, чтобы неразложимая цепь со счетным числом состояний была невозвратной, необходимо и достаточно, чтобы система уравнений и! = ~ч~~ и!Р!1, юче ! = $, 2, ..., имела огранвченное решение, такое, что и, чь сопе1, 1= 0, 4, ... 9.59. Доказать, что для того, чтобы неразложимая цепь со счетным числом состояний была возвратной, достаточно существования таков последовательности и„н„..., что и~ — ~ при 1 — о и для 166 9.50. Доказать, что если 1-е состояние невозвратно, то для всех 1 Ю ~ч~~ Р<д! ю=! 9.51.
Доказать, что любая цепь Маркова с конечным числом состояний имеет по крайней мере одно возвратное состояние. 9.52. Могут ли все состояния цепи Маркова со счетным числом состояний быть невозвратными7 9.53. Доказать, что для конечной цепи Маркова состояние возвратно тогда и только тогда, когда оно существенно. Показать, что это неверно для цепей со счетным числом состояний.
9.54. Имеется, цепь Маркова со счетным числом состояний и матрицей вероятностей перехода за один шаг всех уФО и;) ~» и,Ри. у=-о 9.60. Доказать, что для того, чтобы неразложимая цепь со счетным числом состояний была возвратной и иоложителышй, неооходимо и достаточно, чтобы система уравиеиий из='~„и«Ри, у=:0,1, ... о=о имела пе равное тон«дественно пулю решение, для которого ~~ ) и,) т„со. » — -О Р,~О, г;~0, «у«~О, 0 у=«, у=у — 1, Рп = в остальных случаях. Пусть о, ... о Ро= Р л» ° ° ° лт Доказать справедливость следующих утверя«лений: а) цепь возвратна тогда и только тогда, когда Х Рт=ос', т=о б) цепь невозвратна тогда н только тогда, когда о„о Рт ( оо1 в) цепь положительна тогда и только тогда, когда ХР = ° .
Х)ртр)'(» г) цепь нулевая тогда и только тогда, когда Х Рт = оо 21 !Ро«Рт) 9.62. Пусть $т $о ... — цепь Маркова, $»+» = шах (О, $» — 1) + т~ц.„У«> О„ где ц„ц», ... — последовательность независимых одинаково рас- ото 9.61. Имеется цепь Маркова со счетным числом состояний и переходными вероятностями Р„= г„рт = р, ) 0 « у=у+1, пределенных случайных величаи с Р(~1„=!) = р„) = О, 1, ... Найти матрицу вероятностей перехода за один шаг и доказать, что если р, ) О, р, + р~ = 1, то цепь возвратна тогда и только тогда, когда ~бр„~ 1.
й 3. Стационарные и предельные распределения 9.63. Доказать, что если цепь Маркова имеет по крайней мере одно несущественное состояние, то она не является зргодической. 9.64. Показать, что у незргоднческой марковской цепи может существовать стационарное распределение, причем единственное. 9.65. Доказать, что для конечной цепи Маркова всегда существует стационарное распределение. 9.66. Матрица вероятностей перехода за один шаг цепи Маркова имеет внд: О 1!2 О О 112 а) М 1~2 112 О б) О О 1 О О Об 1 З 1Д 1Л 172 1(4 1," О 1гх 112 О О 1/2 О 1~2 О 1!2 ~ О 1/2 1!2 О О 11айтя стационарное распределение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
