А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Предполагается, что значение 0 неизвестно. Пусть при 144 и = 100 величины $ь ..., а. прннялп некоторое конкретное значе— 1 нне, так что среднее арифметическое ь = — н(аз+ ...+ь ) равно а. Пользуясь центральной предельной теоремой, найти доверительный интервал, который содер'ьит неизвестное значение О с вероятностью, прнблнженно равной 0,95. 6.149. Необходпмо сложить миллион чисел, округленных с точ- ностью до пятого десятпчного знака.
В предположении, что ошибки округления всех чисел взаимно независимы н имеют равномерное распределение в соответствующем интервале, найти пределы, в ко- торых с вероятностыо 0,95 находится суммарная ошибка округления. 6.150. Пусть и — произвольное вррацнопальное число. Рассмот- рим числа па, кратные а при и = 1, ..., У, и нх дробные части (па) =па — [па]. Доказать, что дробные долл (па) распределены в интервале [О, 1) почти равномерно в следузощем смысле: длв лю- бых сси р, 0<а< р<1, л'си, б) — Г- со, Л где )У(а, 9) — число зпачештй (иа), прн и =1, ..., дс содержащихся в интервале (а, р).
6.151. Пусть действительная случайная величина $ распределена с плотностью р(х), у которой существует абсолютно интегрируемая на всей прямой производная р (х). Рассмотрим десятичное разложение ь: «, 11) о, 09 ~. (ь) го) ~ = й) + — '+ — ':. + ... + —" + б '0Т, 1') 1оо ' ' 1ео где а„.. „а„— первые и десятичных знаков, а боо(еь) — оншбка округления. Доказап, что случайная величина Л'"' = 10" бое Д) имеет прн и асимптотически равномерное распределение в интервале [О, 1), т.
е. при п о н 0 < а с 9 < 1 Р(сс( Л~'о ( ~)- [) — а, 6.152. Пусть случайные величины ~о ..., $ прн каждом п взаимно независимы и одинаково распределены с функцией распределения Г(х). Определим для каждого действительного х случайную 1' величину Го(х)= — нро(х), где ро(х) — число ~п ..., $, удовлетворяющих неравенству $, Сх. Доказать, что прн каждом х р ро (х) - г" (х).
Будет лп эта гходпмость выполняться с вероятностью 1? р„(х) иа*ывастсн рюпиринеской функцией распределения для 10 л. в. прохоров и зр. 6.153 (продолжение). Обозначим через а, и р, соответствующие момепты распределения Вг: + а„= Е;-,з ) х"д!с(т), рн = Е (" — Е$)а = ~ (х — и))'дс (х). Рассмотрим случайпые величины » Показать, что при и — п е ) 0 Р ( ~ аг„") — а) ) ) е) — г- О, Р ( ( тз~») — р, / > е) -» О.
г») г») Случайные величины а) и тт называются, соответственно, выборочпыл) средниз) и выборочной дисперсией, а утверждаемое свойство их — состоятельностью. 6.154 (продолжение). Доказать следу)ощие утвер;ндекпк. Если а,<, то при и- ' величина а, аспмптотически нормальна с паа — аз ) 2 г раметрами сс)г Если р, ~ », то при и- «величина т асимптотически пори — )г) ! малька с параметрами р„' ' /. Если ам«, то при и " велпчпиа а„аспмптотически пора и — а»)) мальва с параметрами (ссе, К 6.155 (метогЭ Ыонге-!(орле стагисти геских испытаний).
Вычпсле- 1 пие интеграла 1 = ! 1(х) дх можно описать следу)ощим образом. » Пусть случаГщая велпчика в имеет равномерное распределение па о)резке (О, 1). Тогда 1 Е((С) = ~ гг(х) Ых =1. о Пусть со ..., $ взаимно независимы и равпомерпо распределеиы — 1 ка !О, Ц. !'ассмотрим !» = — „(!(ь)) + ° ° +1(ь )) и предположим, Р что о'=1»Э„:=С. Показать, что Е! =! и ! 1, и-»оо. Оценить Р()! — !! ( е) для произвольного е ) 0 с помощью цеитралъиой предельной теоремы. 6156 (теорема Яейерштрасса). Пусть !(х) — непрерывная функ ция на отрезке (0,1). Пусть последовательность случайных величин 146 $ соответствует схеме Всрнулли с вероятностью успеха РД, =1)=х, Осх(1, и Б„= еь, +...+$„. Введем многочлены В, (х) Е/ ( — ') =,У, / ("— ') С,",х'" (1 — х)" т.=О Доказать, что при и- о внр !1(х) — Вл(г) ) -+.О.
ох. ~1 (Многочлены В„(х) называются многочленаьчи Бернштейна.) 6.157. Рассмотрим двоичное разложение числа вы [О, 1) й й„ вЂ”., + — +...+,—,+... (с бесконечным числом нулей). Тогда по отношению к лебеговой мере знаки двоичного разложения $„см .... $ — независимые одинаково распределенные случайные величины с Р($;=1)=Р(~< =О) = 1/2. Доказать, что для почти всех чисел с ю (О, 1) доля единиц н нулей в двоичном разложении ч с вероятностью 1 стремится к 1/2: а 1 ~ — /(,,) -Ф. й=-1 Глава 7 УСЛОВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И УСЛОВНЫЕ МАТЕМАТИч1ЕСКИЕ ОЖ11ДАНИЯ Пусть ((), Ф, Р) — вероятностное пространство, 1 — онределснная на пем случайная величина, Я вЂ” а-алгебра, содержащаяся в Ж Если 1 неотрпцательва н Е)1! ( аа, то вв услоиаав матвиативвсков ожидание атласитвльяо а-алгебры Я определяется как случайная величина Е(1(Я), удовлетворяющая следующим условиям: () Е(1)Я) измерима откос~тельно Я; 2) для любого А щ Я ! 1 (ы) Р (йы) = ~ Е (1$В) Р (аю).
Длн пропзвольпой случайной величины 1 условное математическое аткидаиив пткоситвлька Я определяется как Е(1$Я) = Е(1'$Я) — Е(1 )Я) прп условии, что пип(Е(1ь)Я), Е(1 — $Я)) ( аа, где '+ = твал (1, 0), ф — пт! и (1, О). Условным математическим омидаиивм случайной величины 1 атиаситвлько случайной величины т) называется условное математическое откпданне 1 относнтельно с-алгебры, поронтдепной ть Пусть  — пропавольное событие (В тн ль). Условной всрвлткпстью события В относительно а-алгебры Я называется условное математнческое ожидание индякатора этого событня )е: Р(В)Я) = Е()в(Я). Таким образом, для любого А тп Я Р (АВ) = ~ Р (В $ Я) Р (йте).
Имеют место следующпе свойства условного математического онтпдапня. Е Если с — постонпнан и 1 = с почти наверное (п. н.), то Е(1$Я) с п. и. ". Стая с ( й п. н., то Е(1!Я) '-" Е(т) (Я) п. н. 3, $Е(1!Я) $ ( Е($1$ $Я) п. н. 4. Если а и Ь вЂ” постонняые н существует аЕЕ+ ЬЕть то Е(а1+ Ьт))Я) = аЕ(1)Я) + ЬЕ(т)$Я). 5. Если Я = (8, ()) — тривиальная о-алгебра, то Е (ьь ! Я) = Е1 п. н. 6. е(1(лг) = 1 п. я. т. е(е(1$я)) = е1. Ы. );сап 1 ие зависят от Я, то Е(1$Я) = Е1 и. н. 44Ы 9.
Если >1 Я-измерима и Е(Е! С с, Е(>1! С ао, то Е(ЦЧ!Я) = ЧЕ(Е(Я) н. н. 10. Пусть фо Ег, ... — последовательность случайных величин. Если (й,! -- Ч, ЕЧ ( ог п Е -ь Е п. в., то Е(во[Я)- Е(е(Я) п, н., Е()ео — 1)[Я)-ьо и. н. Пусть (О, зе, Р) — вероятностяое пространство, Я вЂ” о-алгебра, содержал(аяся в Ж Семейство условных вероятностей Р(Л(М), Л >иле называется регулярным, сслн существует функция р(<о, Л), такая, что: 1) нрн >(н>ксироваяном <о д(ы, А) является вероятностью на лт; 2] Р(Л!Я) = р(ю, А) п. и. нрн побом фиксированном А. Пусть Яо Мг н Я вЂ” о-алгебры, содер>кащиесн в Ж Буде>> говорить, что Я, и Я, условно кггевисокы кри данном Я, если для любых М»иЯ> н Яг >и Яг Р(В,В,)Я) = Р(В,(Я)Р(В>!Я).
Сзучайвыс величины Е и Ч будем называть услееко независимо>л>г кди даю>лм М, ес:ш ус>окно независимы порождаемые имп о-алгебры. Пусть Š— случайная всзнчнна на вероятностном пространстве (11, Ф, Р), Я с А — некоторая а-алгебра. Фун>гния О(ю, В), ю щ (2,  — борелсвское множество на прямой, называется регуляукыл углогкым распределением случайной велячикы Е относительно а-алгебры М, если: 1) нрв фиксированном В (>(<е, В) Я-измерима; 2> для почти всех <е О(ю, В) является вероятностной мерой; 3) прв каждан В О(ю, В) = Р(Е щ В(Я) н.
н. 7А. На вероятностном прострапстве ((), Ф, Р), где 0=[0,1), .нй — о-алгебра борелевских подмио>кеств, Р— мера Лебега, задана случайная величина $. Пусть Я вЂ” о-алгебра, порожденная миожествамн [О, 1/3), (1/3) и (1/3, 1/2). Найти Е(й(Я), если а) Ц=ю; б) Ц=з(пяоз; в) $=ю', г) Ц=1 — о>; [1, свеи (О, 1/3), (2, го е= (1,'3, Ц. 7.2.
В успениях предыдущей задачи найти фупкци>о распределения случайной вслпчппы Е(е(Я). 7.3. На вероятностном пространстве ((), .сФ, Р), где 0=[0, 1), .Ф вЂ” о-алгебра борелевских подмножеств, Р— мера Лебега, задана случайная величина Ь = ю. Найти Е(Ь!Я), осли: а) Я вЂ” о-алгебра всех оорелевскпх подмножеств отрезка [О, 11, симметричных относительно точки 1/2; б) Я вЂ” о-алгебра, порождепиан мяо>кествамп [О, 1/3), [1/3, 2/3); в) Я вЂ” п-алгебра, порожденная случайной величиной т( = п>(п(2ю, 1).
7А. Пусть с и т! — независимые случайные велпчяпы. Найти (гЕ(9>)($), если: а) 2 равномерно распределена на отрезке [О,!), а т( имеет нормальное распределение с парамстрамп а и о'( б) е и т( имеют показательное распределение с параметрами Х п р соответственно. 7.5. Пусть случайная величина ь принимает пе более п аиачеиий. Верно лп, что Е(9(Я) также принимает не более и значепийр 7.6. Доказать, что если все события о-алгебры Я имеют вероятпость 0 илп 1, то с вероятностью 1 Е(2!Я)- Ев. 119 7.7. Пусть $ — случайная величина и ~р(х) — борелевская функция, такая, что Е~р($) существует. Доказать, что Е(гр($)!Ц) = гр(ф). 7.8. Доказать, что если о-алгебры Я, н Я, независимы, то для любых $ и т! случайные велячипы Е(ь!Я,) и Е(т)!Я,) независимы, 7.9. Пусть Я, и Я,— независимые а-алгебрьь Доказать, что для любой случайной величины ю имеющей математическое ожидание, с вероятностью 1 Е($|Я, !! Я,) = Ес.
7ЛО. Пусть на вероятностном пространстве (Р,,Ф, Р), где П— отрезок 10, 1], .Ф вЂ” о-алгебра борелевских подмножеств 11, Р— мера Дебега, задана случайная величина д = ю, Доказать, что для любой случайной величины ~ с вероятностью 1 Е(~!г!)=с. 7Л1.
Обязана ли случайная величина Е($!д) быть измеримой относительно о-алгебры„порожденной случайной величиной ь~? 7Л2. Пусть $ и д — случайные величины с конечным математическим ожиданием. Доказать, что если существует случайная величина ь такая, что Е($|ь) = т!, то Е; = Ет!, Верно лп обратное, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
