А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Пусть 5„ ~„ ... — последовательность независимых случайных величин, удовлетворяющих условию ~ ~„~ - с (, а = 1, 2, ... Доказать, что ряд 2зц„почти наверное сходится, если сходится ряд ~ Е! й — Е»„, (. Верно ли обратное? 6.5К Пусть $о ~„...— последовательность независимых случайных вели щи, имеющих одинаковое распределение Коши с плотностью л(г+ ) Доказать, что ряд ~с„з„, где с„ с,, ... — последовательность вещественных чисел, почти наверное сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд ~!с (. 6.52.
Пусть $„ $г, ... — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с плотностью распределения $ — соз т с„с„...— последовательность вещественных чисел. Доказать, что ряд ~ сД„почти наверное сходится тогда п только тогда, когда сходится ряд Х~с ~. 6.53. Пусть 5о 5г, ...— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих симметричпое устойчивое с показателем а) О распределение. Доказать, что ряд ~с,,ь„, где с„с„...— последовательность вещественных чисел, почти паверпоа сходится тогда и только тогда, когда Х )с„) ( оо. 6.54. Пусть $„ $м ... — последовательность независимых случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями п конечными третьими моментами.
Положим а; = 0$» ();=Е) з;)'. Доказать, что если величины();!о"," равномерно ограничены: (3;/о';(с, ~ = т,2, .. ч~ и ряд .~~ з почти наверное сходится, то сходится ряд ~п„. 6.55. Пусть 4о $„...— последовательность независимых случайных величин с конечными третьими моментами. Положим п~ = ызо )ч Е(ь;)з. Доказать, что если величины р;~п'; равномерно огра- $23 ничены, то для сходвмости почти наверное ряда ~ь необходимо н достаточно, чтобы сходились ряды ~Е,";„и ~п';. 6.56.
Пусть ььь ~ь ...— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, с„с., — последовательность вещественных чисел. Доказать, что если ряд ~с»ь» поч~и наверное сходится, то ~',с„ ( со. 6.57. Пусть 5„ ф,, ... — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих конечное математическое ожидание, с„с,, ...— последовательность вещественных чисел. Доказать, что если ~~~~(с„~(со, то ряд ~с»(«» — а ) почти наверное сходится прп некотором выборе вещественных чисел а«и»....
6.58. Привести пример последовательности независимых случайных величин сь Еь ..., имеющих нулевые математические ожидания, такой, что ряд ~$„почти наверное сходится, а ряд ~0$» расходится. 6.59. Пусть Еь $ь ... — последовательность независимых целочпслеяпых случайных величин. Доказать, что если ряд ~ Ь» почти наверное сходится, то 1 1 рв ) О, где р„ — максимальный скачок 4=1 функпии распределения случайноп величины $ь 6.60.
Доказать, что радиус сходимости П степенного ряда Б»з, где Ц ) — независимые случайные величины, есть почти «=о наверное постоянная. 6.61. Пусть $ь $м ...— последовательность независимых случайных величин. Доказать, что ряд Х$» почти наверное сходится тогда я только тогда, когда тз ~Š— '" »' оо. 1+ $~ 6.62. Пусть Ео $»....— последовательность независимых случайных величин с пулевыми математическими о'кпдапиямн. Доказать, что если то ряп „»»» Е„ почти наверное сходится. 6.63. Последовательность случайных величин т1о т)м называется ограниченной по вероятности, если Пятзпрр() т1„))с) = О.
«» Доказать, что если $ь фм ...— независимые симметричные случай- 9», в. Прохор«» м лр. 129 пые величины, а случайные величины т!„2~ ь; ограничены по «=1 вероятности, то ряд ~ ~„ почти наверное сходится. Можно ли отказаться от условия симметричности? й 3. Усиленный закон больших чисел 6.64. Пусть т„— число успехов в и испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р. Доказать, что ч„««п- р п н. пря и- «. 6.65. Пусть $„$„...— последовательность независимых одппаново распределенных случайных величин.
Доказать, что если $,+ ..+$„ -«. с п. н. прп и -«- со, где с — некоторое вещественное число, то Е!$,! и Ес« =с. 6.66. Пусть $„$„...— последовательность независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, Ь„Ь„...— неубывающая последовательность вещественных чксел, такая, что Ь„ при п -, т! = $«+... + $ . Доказать, что если " пз„ Х вЂ”," с-, Ь2 то ч„— еч -«-0 п. н.
при и- оо. «« 6.67. Пусть ф«, ф„ ... — последовательность независимых случайных величин, таких, что !$«! (С, С)0, 1=1, 2, ... Полол<им т!. = ь«+ ° .. + $.. Доказать, что ч вч -~0 п н п-«. со !/««!оп п 6.68. Пусть ь„й«, ...— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, 0(г(2. Доказать, что если «« чП вЂ” г,бь — аь) О п. н., А=1 то Е!4«!'(, где а„О прн г( 1 и ад Еь«при г- 1. 6.69.
Пусть ь„$«, ...— последовательность независимых случайных величин, т!„= Ь«+...+ $ . Доказать, что есчи при некотором г>1 в!1 ° ! ««=1 130 то Ъ! — "-~-О п. и., и- сю. к 6.70. Показать, что, какова бы пп была последовательность неотрнцательных чпсел о',, о...,, такая, что л !!=! существует последовательность независимых случайных величин ь„с„..., такая, что Е„-„= О, и и последовательность ц„ц!,, где ~, = и $! пе сходится -! ~! 1=! почти наверное и нулю. 6.71. Пусть Е!, ф!, ...— последовательность незавпсиных случайных величин, такая, что Ес„=О, ~ — '"~(С, п=1,2,..., где С вЂ” некоторая постоянная, и пусть —,~, ~! — ь О п. н., п -~ со.
Доказать, что для любого е ) О у п'„-„ и=! 6.72. Пусть 5ь $!, ...— последовательность пезавпснных случайных величин, пмекнцпх нормальное распределение. Доказать, что если последовательность $„ ~„ ... удовлетворяет условию 1и и 1пп !п1 — зз"„)О, то УЗБЧ для нее пе выполняется. !! 6.73. Пусть $о й!, ...— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, Е!в,!" <», 1< с< 2.
Доказать, что и п " ~ (Ь; — Е$;)-ьО п. н. прн п-! оо, 6.7й!. Пусть ф„$„...— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, Е)$!~'< ~, 0 <г< 1. $Э гзг Доказать, что г» п ' ~~~~~ ~;-«О п. н. при л-«оо. з 1 6.75. Пусть ф„зз....— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Доказать, что если Е~~Ц,~»= для некоторого О(р~2, то для любого вещественного а. 6.76.
Пусть $о $„...— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с математическим он;идапием а, т~„=($, +...+$ )/и, Доказать, что к последовательности ц ц., ° .. применим УЗБЧ. 5 4. Центральная предельная теорема 6.77. Пусть $„ $ь ... — последовательность независимых одинаково распределенных невырожденных случайных величин с конечными дисперсиями, 0 =$, +...+$„. Доказать, что для любых конечных вещественных чисел а и Ь Пшр(а(т~„<Ь) = О. »» 6.78. Пусть фь $п .. — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с копечнымп положительными дисперсиями.
Доказать, что для любого вещественного числа х предел !пи Р($, + ... -)- $„х) » равен либо О, либо 1, либо 1/2. Указать условия, прп которых имеет место каждая пз указанных ситуаций. 6.79. Пусть $„$п ...— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевыми математическими о~видениями и конечными дисперсиями. Доказать, что для любого положительного х предел равен 0 прп а < 1/2 и 1 при а > 1/2. 6.80. Пусть Р„= шах Р(т» = /г), где т„— число успехов в схеме о»»».» Бернулли с вероятностью успеха р, Найти 1пв т-, Ул, $32 6.81. Пусть ь„ь„...— последовательность яезависимых одинаково распределенных случайных величии с нулевыми математическими ожиданиями и конечными дисперсиями, ь)„= $, +...
+ ~„. Найти )3$„ если )пп Р = )1 = 1/3. / ч, ьь )/к 6.82. Пусть з„ з„ ... — последовательность независимых случайных величии, ь)„= $, +... + $„. Найти ь!„ )пп Р~ 0< —" <1 ь щ ),/ьь если ~„равномерно распределена на отрезке !а„— 1, а„+ 1] (а„а., — последовательность вещественных чисел, ~ а,= ь ( оо). 6.83. Пусть з„$„...— последовательность независимых случайных величин, имеьощих равномерное иа отрезке !О, 1) распределение, ь). = $ь+...
+ $ . Найти последовательность вещественных чисел а„а„..., удовлетворяющую условьпо Ньпр(ь)„(а„У л) = р, 0(р(1. 6.84. Пусть фо ~ь, ...— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величии с конечной дисперсией п 0 НюР ' " <а =Ъ<1. Найти )йпр '' ' ''' " (2а . 6.85. Пусть ~„$о ...— последовательность независимых одинаково распределенных случаииых величин с единичными дисперсиями, Е!Д,! = 0 ([х) — целая часть х) и пусть НвьР~ ' " )О = 1/2. / Ъь+ ...+$„ ьь 1/ьь Найти Е($,) ((х) — дробная часть х).
6.86. Пусть Еь ьь, — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величии, принимающих значения О, + 1, ~2, ..., РД, = О)) О, Р(ь, = 1)) О. Найти предел (в смысле слабой сходимости) последовательпости распределений случайных ьь величии (т)„/2+ 1/2) (0„= ~~ь, (х) — дробная часть х). Будет ли ь=1 иметь место сходимость по варььаыни? 6.87.
Пусть $о $ь, ...— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевыми мвтематиче- !33 скими ожиданиями и едпнпчнымп дисперсиями. На!и п предел (в смысле слабой сходимостп) последовательности распределений и -у-и . --- [п.1~'! (ъ-ХЬ Ы вЂ” ~ -* *).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
