А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

1=! Будет ли иметь место сходимость по вариации": 6.88. Пусть ~о ~м ...— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями. Доказать, что величины 4'+ +И )~'4;+" +4т асимптотически нормальны. 6.89. Пусть $ь $м ...— последозатвтьпость независимых случайных величин, причем $ь $п $ь ...

одинаково распределены п ~., ф» $„ ... одинаково распределены, Ц";~-, йй;'«=-, 1У~,-.0, 1Ус,-.0. По~~жни * ч„— еч„ Ч =а+" +ь- Ч= у пч„ Найти предельное (в смысле слабой сходнмости) распределение для Ч„. 6.90. Пусть 5ь $:, ...— последовательность независимых случайиых величин, имеющих одинаковое пуассоповское с параметром Х распределение. Найти предел 6.9!.

Доказать, что условие Лпндеберга выполнено для носледовательностн независимых одинаково распределенных случайных величин с конечной дисперсией. 6.92. Доказать, что если для последовательности случайных величин выполнено условие Ляпунова, то выполнено и условие Линдеберга. 6.93. Пусть фо $п ...— последовательность независимых нормально распределенных случайных величин, Е2,=0, к =1, 2, ..., 05, 1, 0~, = 2" ', й ~ 2.

Показать, что в этом случае условие Лпндеберга пе выполнено, но ЦПТ имеет место. 6.94. Пусть $„~„...— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, т„т,,...— последовательность целочисленных положительных случайных величии, таких, 134 6.99, Пусть $ь $м ...— последовательность независимых случайных величин с одинаковой функцией распределения Г(х), причем Е~, = О, Е~г, = о', Е!~,!' = ()„Г(л) симметрична, а соответствующая характеристическая функция ! (г) пеотрнцательна. Пусть зпрГ'(з)(А «оо, Доказать, что где С(А) — положительная постоянная, зависящая только от А. Е 5.

Разные задачи 6ЛОО. Пусть Ео ~ь ...— последовательность случайных величин, Ь„Ь.....— последовательность вещественных чисел, т$~ — медиана Р случайной величины $ь 1= 1,2,.„Доказать, что если ь~ — Ь„О Р при и — ~со„то $„— т$„- О. 6.101. Пусть последовательность независимых случайных величин Е„$м ... почти наверное сходится. Доказать, что существует постоянная а, такая, что Р (!пп $~ = а) = 1. п 6А02.

Пусть $~, $~, ...— последовательность случайных величин с функциями распределения Г,(х), Г~(х), ... соответственно. ДоР казать, что ь — О при п - тогда и только тогда, когда 1!т ( — ', г(Г„(х) = О. ч ~ д 1+а 6.103. Пусть $о $ь ..

— последовательность случайных величин с конечными дисперсиями. Положим а„=ЕЕ„, а = (уь ° Доказать, з у зт что если а - ° и оп = о(а ) при и —, то $. Р— 1 прп п -+- оо. еп 6.104. Пусть $о $ь ...— последовательность независимых случайных величин с конечными математическими ожиданиями, з!„ Р = $,...$.. Доказать, что если Е!~,! = Е)$а! =...

(1, то зр -> О при п ° . Верно ли обратное утверждение, если ($,) одинаково распределены? 6.105. Пусть Е, $з, ° ° . — последовательность независимых случайных величин, т) = Ц,... ~., Доказать, что если для некоторого 136 Р а)0 Е!$,!'=Е!~,~ ...(1, то л г(» О при п- для любого вещественного р. 6106. Пусть $о $ь ...— последовательность независимых одина- ково распределенных случайных величин, г) =$,... » .

Доказать, Р что если т(» и при и- (а — конечное вещественное число), то либо а = О, либо а = 1, причем в последнем случае Р($, = 1) = 1, 1 = 1, 2, ... 6.107. Пусть $о Еь ...— последовательность независимых оди- наково распределенных неотрнцательоых случайных величин с ма- тематическим ожиданием и, 5,+.. +'.„ ч» = » », Доказать, чтопоследовательностьслучайных величин Ь =у ~, ...')» почти наверное сходится к а. 6.108. Пусть $о $ь ... — последовательность случайных величин с конечными математическими ожиданиями, а $ — случайная величина с конечной дисперсией, такая, что при любом натуральном и Ь,+...+Ц и Ц вЂ” (З,+...+'„-») независимы.

Доказать, что в этом случае все $„имеют конечные дисперсии и ряд Х (ь — Еь») » — г ночтн наверное сходится. 6.109. Пусть $о $в ...— последовательность одинаково распределенных случайных величин с конечным абсолютным моментом порядка р ) О. Положим Доказать, что 6.1!О. Пусть $о $п ... — последовательность одинаково распределенных случайных величин с конечныи абсолютным моментом порядка р) О. Положим Доказать, что Х РК.ФО») <Е! т»г!'< «=1 6.1!1. Пусть 5,, Ць ...— последовательность случайных величин, а а ) б > О. Следует лн нз сходимости ряда Х Е ~ ь» ) сходпмость ряда Х Е ( ь»!а1 137 6.112.

Пусть ~„»ьь — равномерно интегрируемая последовательность случайных всличин.,(оказать, что Е ( — а»р (;;,„() -~-0 1~ з» прн п 6.113. Пусть $ь Еь ... и ~!о т)ь ... — две последовательности случайных величин, причем с„ асизп!тотическн нормальна с пар»- метрами (а, Ьг'Уп), а г) асимптотически нормальна с параметрами (Ь, Ь/Ул), Ь зь О. Доказать, что случайная величина ~.= У вЂ”" ч.

аснмптотическн нормальна с параметрами (О, ЬЯ). 6Л14. Пусть 1(х) — непрерывная ограничении!я па 1О, ) функция. Доказать, что прн Ь ) О (»1ОП 1ип лг„)(х+ — ) —,е =1(х+ Ь). »=О 6Л 15. Доказать, что случайная величина, измеримая относительно остаточной а-алгебры, имеет вырожденное распределение.

6.116. Привести пример остаточиои о-алгеоры, содеря ащей больше двух событий. 6Л17. Пусть $о ~ь .,,— последовательность независимых случайных величин. Доказать, что случайные величины 1пп еир в„и 11гп 1п1 с„япляготся вырожденными. 6.118. Пусть ~ь $ь — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих стандартное нормальное распределение, и пусть собьыие А.

заключается в том, что $, +... + ~„) а(2п 1и и) ""-, где а — фиксированная постоянная. Доказать, что при а) 1 с вероятностью 1 осуществится только конечное число событий Л . 6.119. Пусть ~ьь ~м ...— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих стандартпоо нормальное распределение. Доказать, что Р !ниы!р =1 =1. ~/ь!»» 6Л20. Пусть й„йз....— последовательность ггезавпсимых одинаково распределенных случайных величии, имеющих пуассоио»- скос распределение. Доказать, что "»1п1п» Р(1(пз пир '" = 1) = 1. 1»» 13Ы 6.!21.

Пусть $„91, ...— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с характеристической функцией С(С) = ехр1 — !С! ), 0 < а < 2. Доказать, что 6.122. Пусть $о $1, ...— последовательность независимых случайных величин, Е~А=тА)О; т ть=оо, „" (со. п1А т,.

1==1 Доказать, что с вероятностью 1 Па " ' 1 а Д„О~„ А=1 6.123. Пусть $„ 31, ... — последовательность независимых одина ково распределенных случайных величин, В„ В„ ... — последовательность вещественных чисел, Пусть последовательность распре делений случайных величии $1+".+$ В„ слабо сходится прп п — к некоторому невырон1депному распре делению Р.

Доказать, что в этом случае 1!п1 В„= оо и 1!от — ' 1. и и л 6.124. Пусть $„91, ...— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с конечным математическим ожиданием, В, В1, ...— последовательность положительных чисел. Доказать, что если последовательность распределений случайных величин слабо сходится прп л- ' к некоторому невырождепному распределению, то Е5;= О. 6.125. Пусть 9„$„...— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих характеристи- 139 ческую функцию Подобрать последовательность вещественных чисел В„Вм ...

так, чтобы последовательность распределений случайных величин слабо сходилась при и — ~ к некоторому предельному невыроя1депному распределению. Найти предельный закон. 6.126. Пусть $о $ь ...— последовательность неаавнсимых одинаково распределенных случайных величин с плотностью распределения 1 — с»з х $1+ "+$» Ч = „, Г (х) — функция распределения т~ .

Доказать, что существует функция распределения Р(х), такая, что Р„слабо сходится к Р прн и- . Найти функцию распределения Г(х). 6.127. Пусть $о $ь ...— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, В,, В„...— последовательность полои<ительных чисел, причем последовательность распределений случайных величин $,+" +$„ В„ слабо сходится при п — ' к распределению с характеристической функцией е 'щ, с)0, 0<а<2. Доказать, что В„= и"'л(п), причем 11щ л(1х)/й (х) = 1 при 1) О.

Характеристики

Список файлов книги