А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Доказать, что существует распределение О, такое, что й = Р ~ О. 5.52. Являются ли относительно компактными следующие семейства вероятностных распределений: а) множество всех равномерных распределений на отрезках, симметричных относительно нуля; б) мнон<ество всех нормальных распределений; в) множество всех равномерных распределений на отрезках, содержащихся в отрезке [О, 11; г) множество всех нормальных распределений с фиксированным математическим ожиданием.
н равномерно ограниченными дисперсиями? З1О 5.53. Указать, какие из семейств вероятностных распределений, приведенных в предыдущей задаче, являются плотными 5.54 (теорема Ю. В. Прохороеа). Доказать, что семейство распределений на прямой является относительно компактным тогда и тольке тогда, когда оно является плотным. 5.55. Докааать, что множество всех распределений, математическое ожидание которых равно а, а дисперсия о*, является относительно компактным. 5.56. Доказать, что семейство нормальных распределений является плотным тогда и только тогда, когда равномерно ограничены математические ожидания и дисперсии элементов етого семейства. 5.57.
Докааать, что счетное семейство вероятностных мер плотно тогда и только тогда, когда соответствующие функции распределения удовлетворяют соотношениям Иш Р„(х) = 1 и 1пп г"„(х) — 0 равномерно по п. 5.56. Доказать, что слабая сходимость распределений эквивалентна сходимости в метрике Леви (определение см. во введении к гл. 3) г„-»г' ». х. (Р„, г) — э О. 5.59. Пусть совместное распределение $„ и Ч, слабо сходится к совмеетному распределению $ и т1. Докааать, что распределение $„ + т), слабо сходится к распределению 5 + т1. 5.66. Доказать, что из сходимости по вероятности следует сходимость по распределению, 5.61. Привести пример, показывающий, что из сходимости по распределению не следует сходимость по вероятности.
и Р 5.62. Пусть|„- а, где а — постоянная. Доказать, что $ -» а. и и 5.63. Пусть $„-»$. Верно лп, что $„— $ — »07 и 5.64. Доказать, что если $„— »$ и и„— » О, то: о «1 $е+ та -+$ и б) $пЦл — '0 и Р 5.65. Доказать, что если е„- $, 1$„— ц„((~„(~„( и ~„- О, то и т)„-» $. и 5.66. Доказать, что если зе — ь, (ье та )к~1я~Че( н ье О» то и т) 5.67. Пусть $в $м ...— такая последовательность случайных величин, что Р(Иш $„оо) р Р(Иш $„= — оо1 д, Р(1пп $„0) г 1»»» 1»»-» / 1»»-» р+г+о 1.
111 Что можно сказать о последовательности функций распределения Г„(х) = Р ($„» х)? 5.68. Пусть функция ?*(х) имеет производную в точке х= О. В Р Доказать, что если $»>Ь,-+ т) и ть,- О, то 2.У(„„) — >(О)) ' У'(О)„. 5.69. Пусть функции ?'(х), /,(х)', У>(х), ... имеют непрерывные производные, причем?„(х)>-Г (х) равномерно по х. Доказать, что В Р если $зтр,-э>) и т>,>- О, то 1„У. (>).) — ~. (О)) ~' (О) >). 5.70. Пусть з, $„5н ...— последовательность случайных величин, определенных на вероятностном пространстве (Й,,Ф, Р), причем при каждом юый з (е>)- з(ю) при и- . Примером покажите, что Ей„не обязано сходиться к Е$ даже в том случае, когда все эти математические ожидания существуют.
5.71. Привести пример, показывающий, что из слоднмости яо вероятности не вытекает слодимость математических ожиданий. В 5.72. Пусть ьз $. Привести пример, когда Е$ существуют, а Е$ — нет, и наоборот. 5.73. Пусть последовательность случайных величин сходится в среднем квадратическом к случайной величине с, причем Е!$1„», п= т, 2, ...
Доказать, что Е!$!» н 1>п> ЕС„= Е$, 5.74. Пусть последовательность функций распределения Г,(х), Р,(х), ... слабо сходится к функции распределения Р(х). Обозначим а~ и о' дисперсии распределений Г„и Г соответственно (и = = 1, 2, ...). Доказать, что 1>щ !и( о„')а'. 5.75. Пусть Р(х), Р,(х), Р,(х), ...— последовательность функций распределения с математическими ожиданиями а, ао а„ и дисперсиями а, ом ою ... соответственно, Доказать, что если 3 3 Ä—. Г и о~->.о'> то а„-+а. 5.76. Пусть последовательность функпий распределения Р,(х), Р,(х), ...
с дисперсиями о>, о„... слабо сходится к функции з з распределения Р(х) с дисперсией с*, причем последовательность а з п„с„... сходится к некоторому конечному пределу Ь. Обязано ли выполняться равенство Ь = о'? ыз 5 77. Пусть $и-о$. Доказать, что Е ) $ ( ~ 1пп 1п( Е ( $„(. 5.78. Последовательность случайных величин $о фв, ... равномерно ннтегрируема.
Доказать, что зпрЕ($,((оо. и 5.79. Пусть ~о фв, ...— последовательность случайных величин. Доказать, что если при некотором е ) О впР Е) ь (и-в ( то последовательность фо $„... равномерно иптегрируема. 5.80. Пусть $о ф„...— последовательность случайных величин п пусть существует случайная величина гь такая, что Е!ч! С и для любого а > О и всех п Р(1~„! -в а) ~ Р(! т~! > а) . Доказатьи что последовательность фо ф„... равномерно интегрируема.
5.81. Пусть $о $„...— равномерно интегрируемая последовав тельность случайных величин и пусть $и $. Доказать, что Ес„- Е$. 5.82. Пусть $, $о $„...— последовательность неотрицательных случайных величин с конечными математическими ожиданиями. Доказать, что если з -оь и Еи„- Е$, то последовательность фо В в $ь ... равномерно интегрируема. 5.83. Доказать, что последовательность случайных величаи $о $„ ...
равномерно иптегрируема тогда и только тогда, когда впр Е ! $„( ( оо п и для лгобого е ) О существует б, такое, что при всех п из неравеиства Р(Е)( б следует ) ($„)о(Р(е„ 5.84. Пусть $, зо с„.. — последовательность случайных величин и Е~~.(- Е~У при п — . Обязана ли иметь место сходимость Е!Ц„ + а! — Е!ф + а(7 В А. В. прохоров и вр. 5.85. Изменится ли ответ в предыдущей задаче, если дополни Р тельно известно, что $а +ву 5.86.
Пусть $о 4, ...— последовательность. случайных величин, у(х) — положительная измеримая функция, удовлетворяющая уело виго Доказать, что если впр Е (У ( ! Би ! )) < ос в то последовательность $о $„... равномерно интегрнруема. 5.87. Пусть а~Де ...— последовательность случайных величин, Доказать, что если последовательность ($,!', !$~!", ...
(г) 0) равномерне интегрируема, то для любого 0»г'»г равномерно интегрируема последовательность ! $, (, ! $, (, ... 5.88. Пусть $„ -+ ь и для некоторого г) 0 зпр Е ! $„!' < со. а Доказать, что 1!ш Е(З„!" Е!~!' для любого положительного г' » г. 5.89. Пусть $е вм ...— последовательность случайных величин, причем $„принимает значения и" и 0 с вероятностями 1/я и 1 — 1/я соответственно (п 1, 2,,). Исследовать сходимость последовательнестей (й„) (по вероятности) и (Е!с„!') в аависимости от выбора сз и г. 5.99.
Пусть $о с„ ... — последовательность неотрицательных слу- Р чайных величин, таких, что $~ +ь и Е$„Е3»». Докааать, что Е($„— $! - О. 5.91. Пусть $о $„ ... и 9„ ц„ ... — две последовательности слу- Р Р чаиных величин, такие, что Р($„~т!„~0)=1, $„$„т1„- т! и Е$„- Е$. Доказать, что Е(ц.— т!! — О. 5.92. Пусть с - $ в среднем порядка г)0: при и- . Доказать, что Е(3 !'- Е($!'. 5.93.
Пусть $„$„...— последовательность случайных величин, такая, что для некоторого р > 0 Х ЕБ.!'(-. а — 1 Доказать, что $„- 0 п. н. Р 5.94. Пусть $л-+$ и П ~зпрЕ)~„)~Е)~(. Доказать, что последовательность фо фм ...— равномерно интегрируема и 1пп Е($„— $) =-О. Р 5.95. Пусть $„- $ и 11ш зпр Е! $и )' ( Е ) $ )з, Доказать, что 1пп Е!$„— $)'=О. 5.96.
Доказать, что если последовательность Щ~, (ф,!', ... рав« померно интегрируема кри некотором б >О, то последовательность распределений случайных величин ф„$п ... плотна, 5.97, Пусть $ь 5„... и т1о т1з, — две последовательности положительных случайных величин. Могут ли существовать положительные числа п и р, такие, что 5.98. Пусть $о $в ...— последовательность неотрицательных случайных величин с функциями распределения р,(х), Р,(х), ... и о конечными математическими ожиданиями. Будем говорить, что эта последовательность сходится к нулю ио Хинчину, если для любого х>0 — ~~ИР„(1)- О 1 ей„,) х х х при п - ао (будем обозначать $э-+ О/.
Доказать, что если з„- 0 Р то $„- 0 (п-~- со). 5.99, Следует ли из сходимости по вероятности сходимость по Хинчину (определение сходимости по Хинчину см. в предыдущей задаче)? 8* х Х х 5ЛОО. Пусть| -+О и Ч„-+О. Доказать, что $ + ть, О. 5Л01. Пусть $о $м ...— последовательность независимых слу Р чайных величин н пусть $ -+$. Доказать, что 2 имеет вырожденное распределение. 5.102. Доказать, что если $о ф„ ... — последовательность неаависимых одинаково распределенных невырожденных случайных величин, то РД„сходится) О.
Р 5.103. Пусть $„-+$, где $ имеет невырожденное распределение. Возможно ли иа последовательности 2» 2п ... выделить подпоследовательность $„о ~„„..., такую, что все $„, не зависят от 2? "Р' "' 5Л04. Пусть $~ — ' $ н при каждом и распределение $„содержит в качестве компоненты стандартное нормальное распределение. Доказать, что распределение $ также содержит в качестве компоненты стандартное нормальное распределение. 5ЛО5. Пусть $„2„... и 0„0„...— две последовательности случайных величин, такие, что для любого е > 0 Х р(й — Ч.)~е)( а=1 Доказать, что если т~, — а и. н., то $„- а п. н. 5ЛОО.
Пусть ~о $~, ...— последовательность случайных величин, чо тм ...— последовательность положительных целочисленных случайных величия, таких, что т„не зависит от $о 2ь ... при любом я. Р 1. Доказать, что если т„-+со и $„- з, то ~~„-+$. Р и и 2. Доказать, что если т„- со и з„- з, то $»„- $.
5Л07. Пусть для любого и = 1, 2, ... случайные векторы (2„... ..., $,) и (Чо ..., ц„) одинаково распределены. Доказать, что если последовательность $е 2м ... сходится по вероятности, то последовательность 0„0„... также сходится по вероятности, причем предельные случайные величины одинаково распределены. 5Л08. Пусть я(хо ..., х,) — непрерывная-вещественная функция Р й аргументов.
Доказать, что если $ — ь при и- с», т=1, 2„... ...,Й,то Р з йж~ ° ° ° а $ль) з ($м ~ ° ° ~ ьА) пря п5ЛО9. Пусть $, $о $м ...— последовательность случайных векторов, принимающих значения в В, Доказать, что $~-+5 тогда и Э только тогда, когда для любого вектора 1ж гг" ($, 1) — (з, Й ((, ) — скалярное произведение). пз и Р 5.110. Доказать, что если ь: ь и ть — а, то распределение случайного вектора (з„, з) ) слабо сходится к распределению случайного вектора ($, а). 5.111. Доказать, что последовательность вероятностных распределений на плоскости плотна тогда и только тогда, когда плотны обе последовательности ее маргинальных распределений. 5112.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
