А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 19
Текст из файла (страница 19)
4.99. Доказать, что для характеристической функции )(г) люоой невырожденной случакной величины $ существуют положительные постоянные б и е, такие, что Ц(г)1«1 — еР при Ы«б. 4.100. Пусть )(1) — характеристическая функция. Доказать„ что если )(Г) 1+ ю(Ф)+ о(И) при 1 — О, где ю(Г) — и( — 1), то 1(г) 1. 4Л01. Пусть $ — ограниченная случайная величина, Ц!«с, имеющая симметричное распределение с характеристической функцией Яг) н дисперсией а*. Доказать, что — — а~Р 0(~($)(е при ! й~( —. 4Л02. Пусть $ — ограниченная случайная величина, ! $1 «с, с характеристической функцией )(1) и дисперсией о'. Доказать,что — ',РР ~)(Ю) ~(е " при ~К! 4ЛОЗ. Пусть $ — случайная величина с характеристической функцией )(г) и дисперсией о'. Доказать, что для любого с « 2о* найдется е ) О, такое, что ~)(г)((е при 1П«е.
4Л04. Пусть е — случайная величина с характеристической функцией ((~). Докавать, что если Е~$~'=, то для любого с)0 найдется е > О, такое, что ~ ) (1) ) ~ ~е при !11«е. 4.105. Пусть р (х) — симметричная одновершинная плотность распределения, ~(3) — соответствующая характеристическая функция. Доказать, что если р(0)«А « то !1(г)! 2А~!1! при любом вещественном г. 4Л06. Пусть выполнены условия предыдущей задачи. Доказать, что при !т! < иА, 4.107. Пусть Р(х) функция распределения, 1(1) — соответствующая характеристическая функция. Доказать, что для любого г>О Р ~ х'с(Р(х)а 8!1 — 1(1)! Г при !с!с= 1/г. 4Л08.
ПУсть зс и 9,— слУчайные величины с хаРактеРистическими фУнкЦиЯми ~с($) и 7,(1) и ДисПеРсиЯми о', и ост соответственно, причем существует е)0, таков, что Ц,(1) !)!7с(1) ! при О <!с!< е. Может ли быть: а)о, >о„б) ос(о„в) о, =о? 4.100. Доказать, что распределепие с диффереицируемой характеристической функцией г(с) имеет конечную дисперсию тогда и только тогда, когда существует е ) О, такое, что функция у' (с! — у' со) ограничена при 0 (!г!< е. 4Л10.
Пусть г (х) — функция распределения с характеристической функцией 1(1). Доказать, что если для некоторого положительного Л(2 и некоторой последовательности со гм ..., такой, что 1 0 при и-, выполнены неравенства !1(г ) ! е..е (е — полонсительная постоянная), то ) !х! с(Г(х) = оо для всех б ) Л. 4.111. Пусть Г(х) — функция распределения с характеристической функцией ~(1). Доказать, что Г(х) имеет конечную дисперсию тогда и только тогда, когда существуют с) 0 и последовательность сс, с„..., такие, что с„- 0 при и - и 93 4Л12. Пусть г'(х) — функция распределения с характеристической функцией 1(1).
Доказать, что если существует последовательность го гз... „ такая, что г — 0 при и — и 1в) г($,) ! и при н- », то Р(х) — вырожденная фуннцня распределения. 4Л13. Пусть 4 — неотрицательная случайная величина с плотностью распределения р(х) и характеристической функцией )(Г), Доказать, что если р(х) монотонно убывает при х)0, то ((~) нигде не обращается в нуль. 4.114. Пусть $ — неотрицательная случайная величина с плотностью распределения р(х) и характеристической функцией ((1).
Доказать, что если р(х) монотонно не возрастает при х~О, то при 1>0 0(1пт~(1) ~ ~ 4 4. Формулы обращения 4.115. Пусть Р(х) — функция распределения, ~(1) — соответствующая характеристическая функция. Доказать, что если 1(г) абсолютно иитегрнруема, то г'(х) абсолютно непрерывна н соответствующая плотность распределения выражается формулой р(х) = —, ~ е о*Л1) ~(Г 4Л16. Доказать, что плотность распределения р(х), отвечающая вещественной интегрируемой характеристической функции )(1) выражается формулой р (х) — соз тх~ (1) Ж.
1 Г 4Л17. Пусть р(х) — плотность распределения с характеристической функцией 1(т). Доказать, что если )(1) симметрична, положительна и нптегрируема, то р(х) имеет единственный максимум. В какой точке он достигается? 4Л18. Пусть выполнены условия предыдущей аадачи и, кроме того, существует вторая производная р (х). Доказать, что для любого х Ф 0 2 р(0) ) р(х~) р(0) — — р (0).
что распределение с характеристической 4Л19. Доказать, функцией е ~" (О < а ~ ~2) 4Л21 (равенстео Парсеваля). Пусть р(х) — плотность распределения с характеристической функцией т(1). Доказать, что если функция р'(х) интегрируема, то 4Л22. Пусть $ — целочисленная случайная величина с характеристической функцией 1(1). Доказать, что Р (З = й) = — ) е п~/(1) гИ, й = О, ~ 1, 4Л23. Пусть Г(х) — функция распределения с характеристической функцией ~(1). Доказать, что для любого х 1пп — ( ~(г)е ~"й = Г(х+ 0) — лч(х — 0). ,, „гт е -г 4.124. Пусть Г(х) — функция распределения с характеристической функцией ((1).
Доказать, что г'(х) непрерывна тогда и только тогда, когда т Я и(1)Г =О. -т 4.125. Пусть з — дискретная случайная величина, принимающая значения х„х„... с вероятностями р,, рм ..., 1(1) — соответству1ощая характеристическая функция. Доказать, что т гт л (~ )~ 4а~р' -г 1=1 95 имеет ограниченную плотность. 4Л20, Пусть характеристическая функция ~(1) такова, что 1(1)=0 при 11~~ с (е>О). Доказать, что соответствующее распределение имеет ограниченную плотность р(х), причем зпр р (х) ( е!я. х 4Л26. Пусть 1(~) — характеристическая функция, такая, что 11ш 1пИ(е1(г) ~в а) О.
Доказать, что функция является характеристической функцией. 4Л27. Доказать, что для любого вещественного а, такого, что О-~а<1, существует характеристическая функция 1(Й, удовлетворяющая соотношению 1ип 1(Ф) — а. с- 4.128. Пусть а — отрицательное число, (а!<1. Существует ли характеристическая функция 1(1), такая, что 1йп 1(1) — а7 4Л29. Пусть $о $„... — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих целые значения, ц„$,+...+ $„.
Доказать, что если $, не постоянна с вероятностью 1, то при п- «. 4ЛЗО. Пусть Р(х) и с.(х) — функции распределения, 1(1) и д(г) — соответствующие характеристические функции. Доказать, что 4Л31. Пусть 1(1) и й(Г) — абсолютно интегрируемые характеристические функции, р(в) и д(х) — соответствующие плотности распределения. Доказать, что зпр(р(4 — р(в)!< — ) И(1) — йР)!А1. $ 4.132. Пусть Р(х) и 6(х) — функции распределения с симметричными плотностями распределения р(х) и д(ж) и неотрицательными характеристическими функциями 1($) и й(1), причем ввр р (х) «~ А, лир й (х) ~ В, Доказать, что для любого полонгительного Т ~ ~ 10) — х(с) ~,1 + 2(я+и) х л -т 4.133. Пусть з и ц — целочисленные случайные величины с характеристическими функциями 1(г) и д(1) соответственно.
Дока» зать, что еор) Р(з = л) — Р(Л= и)(е и ~ !1(1) б(г)(~1Г' Г й 3 5. Преобразование Лапласа 4134. Пусть $ — неотрицательная случайная величина, ~р(и)— соответствующее преобразование Лапласа. Найти преобразование Лапласа случайной величины аЕ+ Ь (а, Ь ~ О). 4135. Найти преобразование Лапласа равйомерного на отрезке (О, 1) распределения. '4 136. Пусть ~р~(и), ~о,(и), ... — преобразования Лапласа некоторых вероятностных распределений, ао а„ ...
— неотрицательные числа, такие, что ~~~~ а~ 1. 1=1 Доказать, что функция ~р (и) = ~ ахрра (и) является преобразованием Лапласа некоторого вероятностного распределения. 4 137. Пусть ~р(и) — преобразование Лапласа некоторогс вероятностного распределения. Доказать,что функция — 1 2 — <р (и) такл~е является преобразованием Лапласа. 4.138. Найти преобразование Лапласа распределения, характеристическая функция которого равна ась (, ) е 4.139. Доказать, что преобразование Лапласа любого невырожденного распределения есть монотонно убывающая функция. 7 х. в.
проховов и лз. 4.140. Докааать, что преобравование Лапласа любого распреде лення есть выпуклая функция. 4.141. Функция ф(и), определенная на положительной полуоси, называется вполне монотонной, если она имеет производные всех порядков, причем все четные проивводные неотрицательны, а нечетные — неположительны: ( — 1)"фоо(и)~0, и)0. Д оказать, что преобразование Лапласа любого распределения есть вполне монотонная функция. 4Л42. Показать, что каждая из указанных ниже функций не может быть преобрааозанием Лапласа вероятностного распределения: 1, 0<1~1, И вЂ” 1, 0(1(1, а)У(1)- 0',-1. ' б)~(1)-~ 0 ', в) У(1) се ', г) У(1) е '+ — '; д) ~(1) = е '.
4.143. Пусть $о $з, ... — последовательность независимых одинаково распределенных неотрицательных случайных величин, т— положительная целочисленная случайная величина, не аависящая от $„$ь ... Обозначим ф(и) преобразование Лапласа $о а р(г)— производяшую функцию т. Найти-преобразование Лапласа случайной величины ~+...+$,. 5 6. Разные задачи 4144. Пусть $о ..., $„— независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие распределение Коши с плотностью а(1+ з ) Найти плотность распределения случайной величины $, + ... + $„ Яй а 4Л45. Пусть ф(1) — характеристическая функция. Доказать, что функция 1(1) = — ) ф(и)ии з является характеристической функцией абсолютно пепрерывного распределения.
4.146. Существует ли вероятностное распределение, сосредоточенное на конечном отрезке и такое, что его характернстичесьая функция отлична от нуля всюду на вещественной прямой. 4Л47. Пусть функции (,(х), (,(х), ~~(х) удовлетворяют соотношению )'у(х) = ~ (,(х — и) )*у(и)ди. С» Найти ), (х), если: 1 2 )У()= ( , У()= ( я(1+ у ) я(4-(-е ) б) 1 (ж) = е ", („(ж) = е " 4Л40. Докааать, что интегральное уравнениа относительно непзвестной функции х(() х (1) М уз (у — 1)з+1 ме имеет решений в классе неотрицательных функций. 4Л49, Доказать, что интегральное уравнение ОО 2 (1 — соз (у — 1)) 1 ~ — шу 0~ х(()й1= — " в '""шах О, (1 — )и)), ~1 — )" ~~Ни ,) относительно неизвестной функции х(1) имеет бесконечно много решений в классе неотрицательных функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
