А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Верно ли обратное? Будет ли справедливо утверждение задачи в том случае, когда злементы матрицы имеют различные математические ожидания? й 9. Разные задачи 3.315. Пусть ~о..., $ — независимые одинаково распределенные случайные величины, Р(З;=))=1/У, 1=1, 2, ..., Ф, Найти вероятность Р(Е = ° .
° й ). 3.316. Пусть 2о ..., 2„— независимые одинаково распределенные случайные величины, принимающие значения 1, 2, . „М, Ч = $~ +... + В . Доказать, что Р(ц делится на в))1Я'" '. 3.317. Пусть а, Ь и с — независимые случайные величипы, а и Ь имеют равномерное распределение на отрезке 1 — 1, 11, а с принимает 7$ аначения — 1, О, 1 с вероятностями 1/4, 1/2, 1/4 соответственно. Найти вероятность того, что (случайная) функция /(х) не убывает при х ~ О, если: а) /(х) —, + ае1п х; б) /(х) = ехр(ах — Ьх'); в) /(х)=созсх; г) /(х) (аЬ+ с)х. 3.318.
Пусть 4 — случайная величина с медианой лгь. Доказать, что для любого вещественного а та$ = ат$. 3.319. Пусть 4, и Сз — случайные велнчикы с функциями распределения Р,(х) и г',(х) соответственно. Доказать, что если Р~(х)< ~/т,(х) для всех х, то Е шах (х, $,) ) Е шах (х, 5,). 3.320. Пусть ~о ..., $ — независимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и конечными третьими моментами. Доказать, что Е(д + ) зь )з ц~+ 1 ц~~ 3.321. Пусть Е, и $,— независимые случайные величины, $~+ $„Х, и ), — медианы распределений $, и $е у, и у~ — соответственно нижняя и верхняя кеартили распределения случайной величины $, то есть у, — число, удовлетворяющее условию р.)- 4- (4-.У.)~ а у.
— число, удовлетворяющее условию Р Я < уз) =-, < Р 6< уз). Доказать, что 3.322. Пусть ~о ..., е„— независимые одинаково распределенные случайные величины с конечпой дисперсией о'. Положим $,+ .. +$„ л Найти математическое ожидание случайной величины ч 3.323. Пусть $ — случайная величина с конечной дисперсией. Доказать, что Р~ — 3,2 (= (3,2) > 0,9.
)/й4 3.324. Пусть 4 — случайная величина и а-Е$, О~Ь-(Е($ — а)'")ом Доказать, что Р ~ — 2 ( — ~ 2) ) О, 999. 3.325. Пусть $ — случайная величина с математическим ожиданием а и дисперсией о'. Доказать, что вероятность того, что 3 отклонится от а болыпе чем на Зо, не превосходит 1/9. 3.326. Пусть $ и ц — случайные величинвт с конечными моментами второго порядка. Доказать, что Е(т7 — а$ — Ь)' > Е(т7 — а е — Ь,)' (1 — р') Оц для любых вещественных а и Ь, где ае '~', Ь, = Ет7 — а,Е$, р = сот($, т)) и а, =О, если ОЙ =О.
3.327. Доказать, что последовательность моментов любой непрерывной функции распределения Ь (х) полоткнтельно определена, то есть для любого целого положительного ти и любых вещественных хс х~,...,х~ ст; ьх;хз) О, Ьз=е где 3.328. Пусть $о $ь ...— последовательность независимых одина- ново распределенных случайных величин, каждая из которых имеет равномерное распределение на отрезке (О, 1), и пусть ч — случайная величина, РавнаЯ томУ й, пРн котоРом впеРвые сУмма т7т= $, +... ...
+ ~„ превосходит единицу. Найти Еч. 3.329. Пусть з — случайная величина, имеющая симметричное распределение и принимающая не менее трех аначений. Доказать, что на том же вероятностном пространстве найдутся независимые невыро>кденные случайные величины ц и Ь такие, что $ = ц 3.336. Пусть з и Ч вЂ” случайные величины. Доказать, что если для любой непрерывной ограниченной функции ((х) Е7'(ь) = Е7(т~), то Е и ц одинаково распределены, 3.331. Имеется п шаров, среди которых й белых и и — й черных. Наудачу выбирается ч шаров, где ч — случайная величина, принимающая значения от 1 до и с равными вероятностями.
Найти математическое ожидание числа белых шаров среди отобранных. 3.332. Пусть фо Ц, ...— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, таких, что Р(~~ Ь)=0 77 прн 1~ 1. Положим ~в=1, если $, ~ -„и ~„= 0 в остальных слу чаях, О 1=1, 2, ... Пусть ;=1~к, у=1 1= 1,2, — матрица, элгмептамн которой являются независимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями о'. Найти математическое ожидание и дисперсию определителя матрицы А. 3.336 (теорема Бирнбаума).
Пусть 8, ть ~ — случайные величнпы, причем Ь пе зависит от $ и т) и имеет симметричное одноверпгппное распределение. Доказать, что если Р(4! ~ Г) ~ Р((т)1 ~ П для любого г ) О, то Р(!ф+ь) (г)~Р(~О+в|~с). 3.337. Пусть фо ..., ф и т)о ..., т) — две совокупности независимых в каждой совокупяости случайных величин, имеющих симметричные одновершинные распределения. Доказать, что если Р(!$,~ ~1)~ Р(~г)„~ ~ Х) 78 Доказать, что т)о т~„...— независимые случайпыс величины.
Найти распределение г),. 3.333. Пусть с и ц — случайные величины, определенные на одном вероятностном пространстве. Расстоянием Ки-Фана между ф н ц называется точная нижняя грань таких положительных в, что Р(~ъ Ч~ ~ в)~ в. Йа вероятностном пространстве (П,,нг, Р), представляющем собой отрезок (О, Ц с а-алгоброй борелевсьпх подмножеств в качестве М и мерой Лебога в качостве Р заданы две случайные величины Ь и ц. Найти между ними расстояние Ки-Фана, если: а) $ = $(ю) =- 2 2 1 при 0(а<1~'2, (О при 0<о(1,2, Ч= О(ы) =~ 0 при 1,'2(ов-.1, (1 при 1~'2 вм-.1, б) $ = $ (в) = ы, й = т) (ы) = а)2.
3.334. Пусть фо $ь ...— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величии с конечным математическим ожиданием, а случайная величина т не зависит от ~ьь $ь ... и принимает целые положительные значения. Положим т1 = $, +... ... + $„. Доказать, что ЕтР = Е~, Ет. 3.335. Пусть для любого т ~ О и всех й = 1, 2,, и, то о( х«,(ч )~«( в (~,) 3.333. Пусть $е ..., л, — пезависнмыс случайные величины, ц =3, +...+ $„, Г„(х) — фУнкциЯ РаспРеделениЯ 9, Р(хь ..., х„)= = Р(ц, ( х„..., т(„~ х.). Доказать, что « Р(х„...,х„)~ )Д Р«(х») для любых х„..., х„. 3.339.
Доказать, что пи при каком целом положительном я~ 2 яп на каком вероятностном пространстве не существует трех поло;кптельпых целочисленных случайных величин $, тб ~ы каждая пз которых приписывает всем числам 1, 2, ... положительные вероятности, таких.
что $ и») независимы и 3.340. Правомер о лн следующее рассуждение: «От дома до работы 1 км, хожу я в среднем со скоростью 5 к»«/час, следовательно, в среднем на дорогу у меня будет уходить 12 мин» "г Глава 4 АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВГРОЯТНОСТЕЙ Характеристические функции, так>не как и производящие функции и про образования Лапласа, составляют основное аналитическое орудие изучения вероятностных распределений, в первую очередь, распределений, возникающих при суммировании случайных величин. Проиееедкизей фулкцией случайной величины $, принимающей целые неотрицательные аначеннл, называется фуннцня комплексной переменной Р(е) = Ееб =- ~~ е"Р(4 = й), ) е)(1. е=-о Если й и з) — независимые случайные величины с производящими функциями Р(е) и ()(е) соответственно (говоря о производящих функциях, ыы всегда подразумеваем, что соответствующие случайные величины принимают целые неотрицательные аначения), то производящая функция суммы з+ О равна Р(е)Я(е).
Характеристической функцией произвольной случайной величины $ называется функция вещественной переменной )(с) = Ее'сз (если Р(х) — функция распределения $, то ) (с) ) епхср (х)) Характеристическая функция любой случайной величины обладает следующпыи свойствамн: 1) )(О) =- 1, ))(С) ) ( 1 при всох С; 2) С'(с) равномерно непрерывна на всей числовой осп; 3) если а н Ь вЂ” постоянные, то характеристическая функция случайной величины а$+ Ь равна с(ас) ееы (((с) — характеристическая функция $); 4) если Ь и т) — независимые случайные величины с характернстнчсскпыи функцинми с'(с) и й(с), то характеристическая функция сузнаы С+ ц равна у(с)й(с).
Справедлива следующая Теорека Познера — Ханаана. Для того чтобы непрерывная функкня )(С), заданная на вещественной оси п удовлетворяющан условщо )(О) = 1, была характеристической функцией некоторой случайной величины, необходимо н достаточно, чтобы она была положительно определенной, т. е. прп каждом целом к . 0 длп любых комплексных чисел сь ..., ее и любых всщостзенных чисел со с (с, — с„) ске„~ О. в,т=з Лсобая функция распределения однозначно определяется с~оей характеристической функцией, при отсы ныеет ыесто следующан форыула обраще1пссс: если р(х) — функция распределении и г(!) — соответствующая характеристи- ческая функция, та т -Нх — Нх е ' — е 'з — ! -т где х, и х! — произвольные точки непрерывности р(х).
Справедлива такл<е Теорема непрерывности. Последовательность функций расиределевия (р (х)), и 1, 2, ... слабо сходптсп к некоторой функции распределения р(х) тогда и тонька тогда, когда соответствующая последовательность хараитернстических функций (1„(!)) сходится к непрерывной в нуле функции Н!). При этом г(!) есть характеристическая функция предельного расиределения р(х) и сходимость )„(!) к )(!) равномерна на каждом конечном отрезке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
