А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Найти распределение случайной величины $'+ ц'. ЗЛ66 (продоллсение). В тех же условиях найти распределение случайной величины 7$-"+ ц'. 3.167. Пусть фь ..., 5„— независимые одинаково распределеняые случайные величины, имеющие нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Найти распределение случайной величины 1' ьт + ... + ь„. 3.168 (продолжение). В тех же условиях найти распределению случайной величины $г+ ...
+ $„(распоеделепне атой случайной величины нааывается хи — квадрат распределением с и степенями свободы) . ЗЛ69. Пусть Р(х) и ч(х) — нормальные функции распределения с математическими ожиданиями а и Ь и дисперсиями о, и о, соотг е ветственно. Подобрать распределение В так, чтобы выполнялось ра. венство Р» В = ч. Какие условия на параметры распределений Р н (? нужно наложить, чтобы такое распределение существовало? ЗЛ70. Пусть Р— равномерное распределение на отрезке (О, 11, (т — распределение, приписывающее точкам — н и -я+1/2 вероятности 1/2 каждой.
Найти распределение В, удовлетворяющее соотношению В» ~ — Р. ЗЛ71. Пусть ф„$о $„...— независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие равномерное на отрезке (О, 1„ распределение. Найти плотность распределения случайной величины » Ч-=П $ы ЗЛ72, Пусть фо $о $м ...— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих равномерное на отрезке (О, 1] распределение. Найти распределение случайной величины ~ (:Пи« »=о ЗЛ73. Пусть $ — случайная величина, имеющая равномерное на отрезке (О, 11 распределение.
Найти распределение случайной величины — — 1о6$, Х) О. 1 ЗЛ74. Случайная величина $ имеет показательное распределение с параметром 1. Найти распределение случайной величины е-'. ЗЛ75. Случайные величины $о ..., ~„независимы и имеют одинаковое показательное с параметром Х распределение. Доказатгч что случайные величины (1м...,1.) и $, + — '+ — / + ... + —" $, Ц $„ одинаково распределены. ЗЛ76. Пусть Р(х) — функция распределения, Р(0)=0 и Р(х)(1 при некотором х О. Доказать, что Е(х) являетсн показательной функцией распределения тогда и только тогда, когда Р(х+ у)- Г(у) = Р(х) (1 — Р(у) ) при всех х, у~О. ЗЛ77. Пусть 3, н $,— независимые случайные величины, имеющие одинаковое нормальное распределение с пулевым математичс- 60 ским ожиданием и единичной дисперсией.
Найти распределение случайной величины $,/Ь,. ЗЛ78. Пусть $ — случайная величина, имеющая распределение Ноши с плотностью ь ( 2 2)Ф со х(со Найти плотность распределения случайной величины 1/$. ЗЛ79. Случайная величина $ имеет равномерное на отрезке (О, 1] распределение. Найти плотность распределения случайной величины тт )и —. 1 — $' ЗЛ80.
Случайная величина $ имеет лозистическос распределение с плотностью е" — оо е х (со. Найти математическое ожидание и медиану с. ЗЛ81. Случайная величина $ имеет равномерное распределение на отрезке [О, 1]. Найти распределение случайной величины ( — ) а>0. й 5. Распределения сумм независимых случайных величин 3.182. Пусть 6 и т1 — независимые случайные величины, причем $ имеет показательное с параметром Х распределение, а т1 равномерно распределена на отрезке 10, Ь]. Найти плотности распределения случайных величин $+тт и 3 — тт соответственно.
ЗЛ83. Пусть $ и тт — независимые случайные величины, причем $ равномерно распределена на отрезке 10, 1], а тт принимает значения О, ~1, ~2, ... с вероятностями р„р „р„... соответственно; р, + р, + р, +... 1. Найти плотность распределения суммы $+ тт. 3.184. Найти плотность распределения суммы 6+тт независимых случайных величин $ и ть если $ имеет равномерное распределение на отрезке (а, Ь], а тт — равномерное распределение на отрезке 1с,д] (а<Ь, с<0, Ь вЂ” а~е( — с).
ЗЛ85. Пусть $ и т) — независимые случайные величины с одинаковой плотностью распределения Ь'(х) = — с ' ~. Найти плотность распределения суммы $+ т). 3.186. Найти вероятность того, что функция х' — 2ах+ Ь имеет комплексные корни, если коэффициенты а и Ь являются независи- 61 мыми одинаково распределенными случайными величинами, имеющими: а) равномерное распределение на отрезке (О, я1, б) показательное распределение с параметром я. ЗЛ87. Пусть $ и т( — независимые случайные величины такие, что сумма $+ ц имеет вырожденное распределение.
Доказать, что каждая из случайных величин $ и ц имеет вырожденное распределение. Можно ли зто утверждать, если ~ и Ч зависимы? ЗЛ88. Пусть з и ц — независимые случайные величины, причем случайные величины $+ц н $ одинаково распределены. Найти распределение случайной величины ц. ЗЛ89. Сколько нужно произвести бросаний правильной игральной ности, чтобы с вероятностью 1/2 сумма выпавших очков превысила 780? ЗЛ90, Доказать, что в классе распределений операция свертки коммутативна и ассоциативна. ЗЛ91. Доказать, что свертка двух дискретных распределений дискретпа. ЗЛ92. Доказать, что свертка непрерывной функции распределения с любой функцией распределения непрерывна.
ЗЛ93. Доказать, что свертка абсолютно непрерывного распределения с любым распределением абсолютно непрерывна. ЗЛ94. Доказать, что свертка п раз дифференцируемой функции распределения с любой функцией распределения и раз дифферспцируема. 3.195. Доказать, что свертка двух симметричных распределений симметрична. ЗЛ96.
Показать, что свертка двух одповершинных распределений не обязана быть одновершинным распределением. ЗЛ97. Доказать, что свертка двух спмметричных одновершинных распределений одновершинна, ЗЛ98. Пусть $ и Ч вЂ” независимые случайные величины, из которых по крайней мере одна имеет непрерывное распределение. Доказать, что Р(с = т()=0. ЗЛ99. Пусть $о с,, 3, — независимые случайные величины с симметричными распределениями и пусть для некоторого М)0 Р(а+Ь+5.~ =-М)=1. Доказать, что Р(!ЬЛ+ ~Ю.~+!Ь~ ~М)-1.
3.200. Для каждой случайной величины с положим а (з) = (п1 (х: х ~ О, Р ( ~ в! ( х) = 1). Пусть $„..., $ — независимые случайные величины с симметричными распределениями. Доказать, что: а) з($, +...+ з„) = г($,)+... + г(с.), б) зй,+...+9.)=з((5,(+...+!ь.!), 3.201. В обозначениях предыдущей задачи доказаттч что равенства а) и б) справедливы, если $п ..., $ — независимые одинаково распределенные случайные величины (не обязательно симметричные). 3.202.
Пусть 2 — случайная величина с равномерным на отрезке (О, 1) распределением, а случайная величина ц не зависит от $ и принимает значения 1, 2, 3, ... с вероятпостямн ро рм рз, ... соответственно, причем р,+рз+...=1, р~~р+о 1=1, 2, ° ° ° Доказать, что случайная величина ф+ ц имеет одновершинное распределение. 3.203. Пусть $ — неотрицательная случайная величина. Положим о о $ прп $)х, 0 прн $(х, х~~О.
Доказать, что если $ и ц — неотрицательные случайные величины с конечными математическими онзндапиямп, то ее,. „)" (2(е~(') .;. ец(')), 3.204. Пусть 3о..., $. — независимые одинаково распределенные случайные величины, т~ = ~, +... + $,. Доказать, что если для некоторого с ) 0 Р(0 < ц < с) = 1, то Р (О < $~ < с/и) = 1. 3.205. Пусть $„ йь ... — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, причем Р(~~ = О) < 1.
Полонзнм т)„= с, +... + ь,. Доказать, что для любого с~О существует и = п(с) такое, что Р (1ц„! ) с) ) О. 3.206. Пусть ф„фь ...— последовательность независимых одинаково распределенных положительных случайных величин, т1 = $, +... + $... Доказать, что для любого с ) 0 найдется а = и(с) ) ) 0 такое, что Р(ц„< с)< е "". 3.207. Пусть ь и ц — пезавнсимые одинаково распределенные случайные величины, Р($ > О) = Р(ц ) О) > 1/2.
Верно ли, что Р (ь + ц ) О) ~ 1/27 3.208. Пусть в — целочкслоппая неотрицательная случайная величина, Р(ь 0)) 0 и пусть 3 =5, +йп где $, и $, — неаависимые одинаково распределенные случайные величины. Доказать, что й могут принимать только целые значения. 3.209.
Пусть ф н ц — независимые случайные величины с решетчатым распределением с шагами а и С. Доказать, что сумма ф+т1 имеет решетчатое распределение тогда и только тогда, когда а/Ь— рациональное число. 3.210. Пусть г (х), г,(х), г,(х) — функции распределения, причем г'-г',вгм и пусть Гт', и, т — число точек разрыва функций г" (х), Р,(х) и г;(х) соответственно. Доказать, что и+ и — 1 ~тт'( и Пт. 3.211. Пусть $ и ц — независимые случайные величины с плотностями распределения р(х) и д(х) соответственно.
Доказать, что плотность распределения суммы 5+ тт равна О г(х) ( р(х — Ю)д(Ю)Ж- ( р(Е)а(х — 1)тй. 3.212. Пусть $ и ц — независимые случайные величины, причем ф имеет плотность распределения, нигде не обращающуюся в нуль. Доказать, что плотность распределения суммы $+ ц также нигде пе обращается в пуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
