А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 12
Текст из файла (страница 12)
51ожко ли в предыдущей задаче сказать, что больше: 2 о( ил" оьн если отказатьсЯ от пРедноложенин симметРичпостп распределений случайных величин Ь~ и 4? ЗЛ16. Доказать неравенство Коши — Буняковского — Шварца. 3.117 (неравенство Гельдера). Доказать, что если г> 1 н — + — =1, то 1 1 ! в Е!Цц! < (Е!$!')ьо(Е!ц!')"'. ЗЛ18. Доказать, что (Е!ф!')и' — 'неубывающая функция от 3.119. Доказать, что для любых случайных величин фн ..., $.
с конечными моментами порядка а > 1 справедливо неравенство Е)$,+...+ $„!" ( н" '(Е1$,!" +... + Е!$„!"). 3.120. Доказать, что для любых случайных величин $о ..., $„, имеющих конечные моменты порядка и ( 1, справедливо неравенство Е ) ь, +... + $ !" ( Е! $,! ' +... + Е! $„!". 3.121 (неравенсгво Минковского). Доказать, что при гР- 1 (Е!ф + т1!')" "= (Е!ф!") "' + (Е!т)Р)"'. ЗЛ22. Доназать, что 1оа Е(з(" — выпуклая функция от г (г> 0). ЗЛ23. Доказать, что 1одЕ)51" как функция от г (г>0). линейка тогда и только тогда, когда $ имеет вырожденное распределение.
3.124. Пусть з — случаиная величина. Положим (1„= Е!~~', Доказать, что если 0~1< т<и, то ра '(~Ж' В", '. ЗЛ25. Пусть $ — случайная величина. Доказать, что при 0 < г с - 1 для любого вещественного а — Е (з — тс !'( Е ) Цо~ (": 2Е ) $ — а )". 55 ЗЛ26. Пусть $ — случайная величина. Доказать, что при 1(г( ~ 2 для любого вещественного а ~ е ! Ь вЂ” е !' е! Ь~' !' ( 2" е ! Ь вЂ” а !'.
ЗЛ27. Пусть Ц и»! — независимые случайные величины, причем имеет симметричное распределение. Доказать, что для любого 1<о<2 ЕФ+ Ч!" -Е!~!" + Е!ц! ЗЛ28. Доказать, что если случайные величины $ь ..., $ независимы и имеют симметричные распределения, то для любого 1 ~ с» < 2 Е!~, +... + ~.!" ( Е!~,! +... + Е)$„! .
3.129. Доказать, что если случайнь»е величины $ н т! независимы и Ет! =О, Е!Ц!", Е!т!!" (, сс ~ 1, то Е!с+ т!!" > Е!$!". ЗЛЗО. Доказать, что если фо ..., $ — независимые случайные величины, Еф~ = О, Е!$~!" ( «, 1 < и ( 2, то Е!$, +... + $„!" =-2" (Е!~,!" +... + Е)~„!.). ЗЛ31. Случайная величина з имеет решетчатое распределенно с шагом Ь. Положим т„= Е)$ — Е$!' (и — целое положительное число). Доказать, что 2 т«-» » ~7 тю ЗЛ32.
Пусть с — положительная невырожденпая случайная величина с конечным математическим ожиданием. Доказать, что Е в4 $ ЗЛЗЗ. Пусть $ и ц — независимые случайные величины, принимающие положительные значения. Доказать, что для любого г~О Е(») )— з 3. Корреляция ЗЛЗ4. Найти коэффициент корреляции между числом выпадений «единнц» и чистом выпадений «шестерок» при н независимых бросаниях правильной игральной кости.
ЗЛ35. Пусть неотрицательные целочисленные случайные вели чины $о $м °, $, таковы, что «~, + $,+...+$. = н н для любых ье т„..., те т,~О, т,+...+т, и, и1 51т й~ Р(е„=т„...,~,=т,)=, ' р,, р, тд! ... т,! где р,>О, р,+...+р, 1. Найти коэффициент корреляции между ~,.и~,,1,/ 1,2,...,ю ЗЛ36. Доказать, что ноэффнциепт корреляции любых двух случайных величин, имеющих конечные ненулевые дисперсии, заключен между — 1 и +1; равен нулю, если величины независимы; равен — 1 илн +1 тогда и только тогда, когда случайные величины линейно связаны.
ЗЛЗ7. Построить пример, показывающии, что из равенства нулю коэффициента корреляции двух случайных величин не следует их независимость. ЗЛ38. Пусть $е ..., $ случайные величины с конечными ненулевыми дисперсиями. Доказать, что Й(з,+...+ $„)-Пью+...+//$„ тогда и только тогда, когда $, и эы, ..., попарно не коррелированы. ЗЛ39. Случайные величины $„..., $,. (и) т) независимы, одинаково распределены и имеют конечную дисперсию. Найти коэффнцвопт корреляции между случайными величинами гп = ф, +... ...+$.
н ч2=~.+,+."+$,.... ЗЛ40. Случайные величины $ и т1 независимы н имеют одинаковое распределение с математическим ожиданием а и дисперсией о . Найти коэффициент корреляции случайных величин $, = а$+ рт~ н е.=аб — Зч. ЗЛ41. Пусть совместное распределение случайных величин с п т~ нормально, причем Ез = Ец = О, а коэффициент корреляции $ н равен о. Найти коэффициент корреляции случайных величин 2' н ц'. ЗЛ42.
Пусть $е ..., $„— случайные величины, причем коэффициент корреляции любых двух вз пнх равен р. Доказать, что р ~ — 1/(и — 1). ЗЛ43. Случайные величины $ и ц независимы, Р(с = 1)=Р(ев= — 1)=-1/2, Р(ц =1)=Р(т~= — 1)=1/4, Р (6 = О) = 1/2. Будут ли случайные величины зц и ц независимыми? ЗЛ44 (иродолхеение). Будут ли в условиях предыдущей задачи случайные величины Зц и и некоррелированными? 3.145. Пусть 2 — случайная величина с конечной дисперсией. Доказать, что коэффициент корреляции случайных величин $ и ч16п з неотрнцателен.
ЗЛ46. Пусть $ — случайнан величина с симметричным распределением и конечной дисперсией. Найти коэффициент корреляции случайных величин З и ~$~. ЗЛ47. Пусть фо ..., $„— случайные величины, ое — ковариация мезкду ф~ и $; (1, 7 1...„и). доказать, что ковариационная лт матрица пеотрицательпо определена. 3.148. Пусть $ — случайная величина. Р($) 0)=а, Р(с~ 0) р, ЕК а, Е!$! = Ь. Найти сот($, з(Зппп). 3.14г9. Пусть случайпые величины $г и $г независимы, одинаково распределены и имеют конечные дисперсии. Доказать, что случайные величипы т(г = $г+ сг и т)г = $, — $г некоррелированы.
Можно ли утверждать, что они независимы? ЗЛ50. Пусть $ и ц — случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями, едипичяыми дисперсиями и коэффициентом корреляции р. Доказать, что Е птах($', т)Ч ( 1+ У( — р*. ЗЛ51. Пусть $, т) и ь — попарно иекоррелированные случайные величины. Можно ли утверждать, что некоррелироваипыми будут случайные величины: а) $ и т) + ~; б) а и т)~? ЗЛ52. Пусть с, т) и ь — независимые случайные величины с копечпыми положительными дисперсиями. Могут ли быть независимыми случайные величины $+ Ь и т)+ ~? ЗЛ53. Пусть $е ..., $ — независимые одинаково распределенные счучайкые величины с копечпым третьим моментом, причем Е($» — Е$~)с= О.
Найти коэффициент корреляции случайных величин и П т=-г $ 4. Некоторые важные распределения ЗЛ54. Доказать, что если каждая из независимых случайных величин $г и Сг имеет геометрическое распределение, то случайная величина т) =щ(п($г, $г) также имеет геометрическое распределение.
Найти параметр етого распределения, если параметры распределений З, и $г равны соответственно р, и рь 3.155. Случайная величина $ принимает целые неотрицательные значения. Доказать, что следующие утверждения равносильны: а) $ имеет геометрическое распределение; 6) Р(з = >с+?с~5 >?с) = Р(в = п), й, п О, 1, 2, ... ЗЛ56. Случайные величины в, и зг независимы и имеют одпо и то же геометрическое распределепие.
Доказать, что Р Дг =-?с ) $г + ~, = п) = —,, !с = О, 1,, „п, гг+ т' 3.157. Случайная величина в имеет геометрическое распределение с параметром р. Найти распределение случайной величины ц = — (1 — ( — 1)"). й й 2 3.158. Сумма двух независимых целочисленных неотрицательных случайных величин имеет бипомпальпое распределение. Доказать, что каждое слагаемое имеет бипомпальное распределение.
ЗЛ59. Пусть со фь ...— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, каждая из которых принимает значение 1 с вероятностью р н значение О с вероятностью 1 — р, а т — неотрицательная целочисленная случайная величина, не зависящая от $о ~м ... Доказать, что случайные величины 5, + ... ... + $„ и т — Я, + ... + $,) независимы тогда и только тогда, когда т имеет пуассоновское распределение. ЗЛ60. Случайные величины с, и $, имеют пуассоповское распределение с параметрами )„и Х, соответственно, причем Х~ ~).ь Доказать, что для любого г > О РД, <1)~>РЯ <1), ЗЛ61.
Случайные величины $~ и с, независимы и имеют распределения Пуассона с параметрами Х, и Х~ соответственно. Найти Рй,=й~$,+Ь=п), й=О> 1, „., и. 3.162. Случайные величины $, и $, нормально распределены с параметрамп (О, и,") и (О, оз) соответственно. Доказать, что если о,") о.,', то Р(а!~ ( 1) ( Р(421 ~ 1) дчя любого г > О. ЗЛ63. Пусть Ц и з. .— независимые случайные величины, имеющие одинаковое нормальное распределение.
Доказать, что случайные величины $, + $, и $, — с, независимы. 3.164. Случайная величина ь имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а и дисперсией а'. Найти распределение случайной величины з(яп $. ЗЛ65. Пусть 5 и г( — независимые случайные величины, имеюгцие одинаковое нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
