А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 21
Текст из файла (страница 21)
и Ьо Ь.... — две последовательности вещественных чисел, го а„— Ь вЂ” О. Р Р 5.3. Пусть $ -» й и т)с-»т). Доказать, чтог Р Р а) а$„+ Ьт)„-»а$+ Ьт) (а, Ь вЂ” постоянные), б) (ь„(- Р в) й„т) — йт). 5.4. Пусть $„$„...— последовательность случайных величин, причем й„принимает значения е " и е' с вероятностями 1 — е '" Р и е '" (Ь* 0) соответствеппо. При каких значениях а и Ь й„- 07 5.5. Пусть $„йг, ... — последовательность случайных величин, таких, что Р(($„)~ с>0)> 5 >О, и=1, 2, ... Пусть а„а„...— Р последовательность вещественных чисел, такая, что а»Дв — О. Доказать, что а — О. Р 5.6. Пусть $з — а,-+О.
Доказать, что птс — а,-ьО (тп$ — медиана $.). 5.7. Доказать, что для того, чтобы последовательность случай ных величин $г, $г, ... сходилась по вероятности к некоторой случайной величине $, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовало такое йг, что при и, пз > У Р(($„— $ (> е) < е. 58. Пусть $ — '$, т)» — 'т) и Р(5=т))=1.
Докааать, что для любого е = 0 Р(($ — т)„(> е)-«0 прин- с. Р з 5.9. ПУсть ($с — $)з — » О. Доказать, что йс -»Ьв. 105 Р 5ЛО. Пусть $е а и пусть ((х) — борелевская функция, имеющая производную в точке х = а. Доказать, что Щ„) г(а)+~'(а) ($„— а)+($ — а)п, в где гр - О. 5Л1, Докааать, что если последовательность случайных величин фо 5м ... почти наверное сходится, то функция 5(ю), равная 1йп5„, если этот предел существует, и нулю в противном случае, является случайной величиной.
5Л2. Пусть 5 $ п. н. и т~ — т! п. н. Доказать, что: а) а$„+Ьд„- а$+ Ьт! п.н. (а, Ь вЂ” постоянные), б) !Ц„! - !$! п. н., в) Ц„г!„— $ц и. н. 5ЛЗ. Доказать, что $ — 5 п,п. тогда и только тогда, когда для любого з >0 Р () (!$~ — ~!«»е) -+ 0 при я5Л4. Доказать, что $. — $ п. н. тогда и только тогда, когда для любого с «О Р(!$. — $!» е бесконечное число раз)=0. 5Л5. Доказать, что для того, чтобы последовательность случайных величин с вероятностью 1 сходилась к некоторой случайной величине, необходиъю и достаточно, чтобы она была с вероятностью 1 фундаментальной.
5Л6. Доказать, что для того, чтобы 5„- з п. н., необходимо и достаточно, чтобы для любого з «О Р (зпр ! ьь — з ! » «с) -э 0 ь~п при и5Л7. Доказать, что для того, чтобы последовательность случайных величин 5„ф,, ... была с вероятностью 1 фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 Р(зпр!Ь»+ь — ь ! е)-+.0 а~о при а5Л8.
Пусть е ) О, $, $о $„... — последовательность случайных величин. Доказать, что если Х Р(!5.— 1!«з)~-, то 3 — $ п. н. НИ 519. Пусть фп фь ... — последовательность случайных величин. Доказать, что если для некоторой суммируемой последовательяостя положительных чисел е„е„... Х р (! $ + — $.1= е.) < «=г то последовательность $о фм ... с вероятностью 1 сходится к неко торой почти наверное конечной случайной величине. 5.20. Пусть $,. $ь ...— последовательность случайных величин. Предположим, что существует случайная величина $ и подпоследовательность целых положительных чисел яе пм ..., такие, что $п.н, и гпах ~ $~ — $„„, ~ -э- О эь ~~как при Ь вЂ” с . Доказать, что тогда ~„-«$ п.
н. 5.21. Доказать, что если $ — в п.н. при и- 0 и $ — я п.н. при гя-, то существуют две подпоследовательности 1тД и 1я„), такие, что ~,„„ь -~- $ п, н. при й-~ оо. 5.22. Доказать, что из сходимости с вероятностью 1 следует сходнмость по вероятности. 5.23. Показать, что из сходимости по вероятности не следует сходимость с вероятностью 1. 5.24. Пусть $о $ь ... — последовательность случайных величин. Доказать, что: 'Р Р а) если ь„- аФО, то б) если 4„-~-а~О, то — -~- — и.
н. 5.25. Доказать, что для того, чтобы для некоторого вероятностного пространства понятия сходимости с вероятностью 1 и сходим»- сти по вероятности совпадали, необходимо и достаточно, чтобы это пространство было атомическим. 5.26. Пусть У вЂ” пространство классов случайных величии, совпадающих с вероятностью 1. Для любых двух классов Е, НюУ положим где ь и ц — случайные величины из Е и Н соответственно. Доказать, что к — метрика на У и что сходимость по вероятности эквивалентна сходимости в метрике Ы. 5.27.
Доказать, что для сходимостн последовательности случайных величин в среднем порядка р > 1, необходимо и достаточно, чтобы эта последовательность была фундаментальной в среднем порядка р. 5.28. Доказать, что из сходимости в среднем какого-либо поллжительпого порядка оледует сходимость по вероятности. 5.29. Привести пример, показывающий, что из сходимости по вероятности не следует сходимость в среднеи порядка р ~ О. 5.30.
Привести пример, покааыьающий, что из сходимости в среднем любого положительного порядка не следует сходимость с вероятностью 1. 5.31. Привести пример последовательности случайных величин, сходящейся с вероятностью 1 и такой, что никакая ее подпоследовательность не сходится в среднем порядка р ) О. 5.32. Доказать, что если $„ - 5 и.
н. и для некоторого р ) О Е ~ $„— т~! ' — О, то Р (5 = т~) = 1. 5.33. Пусть ЄЄ...— последовательность вероятностных распределений, причем Р„сосредоточено в то ше х„(п = 1, 2, ...). Доказать, что слабая сходимость Р~ — Р означает, что существует предел 1пп х„= х и распределение Р сосредоточено в точке х. 1~ Докааать обратное.
5.34. Пусть Р, ЄЄ...— последовательность целочисленных распределений. Доказать, что Р„-+ Р тогда и только тогда, когда Р„(Й)- Р(й) для каждого целого як 5.35. Пусть Р— мера Лебега па единичном интервале, а Р„при- 1 писывает массы — некоторым точкам, выбранным по одной в ины — 1 ж тервалах ~ —, — ), 1= 1, ..., и. Докааать, что Р„- Р. 5.36. Пусть Г(х), Г,(х), Р,(х), ...— последовательность функций распределения. Доказать, что если Г„(х) Г(х) для всех х из и' некоторого всюду плотного множества на прямой, то Г„- г'.
5.37. Привести пример последовательности вероятностных распределений Р, ЄЄ... и ограниченной функции ((х), таких, что Р„- Р, по не выполняется соотношение ~ ~(я) др,-~- ) ~(х)дР, 5.38. Привести пример последовательности вероятностных распределений Р, ЄЄ... и непрерывной функции ((х), таких, что Є— ~ Р, по не выполняется соотношение О ) 1 Я г) Р„~ ( (х) Ж 5.39. Доказать, что Рв + Р тогда и только тогда, когда каждая подпоследовательность (Ры) последовательности (Р,) содержит подпоследовательность (Р„.), такую, что Р ° — Р, юов и 5.40. Доказать, что если Г„-«Г и если г(х) непрерывна в каждой точке замкнутого множества А, то зпр)В„(х) — Г(х) ! — «-О.
зг 5А1. Доказать, что Г~ 'В тогда и только тогда, когда 11ш зпр В„(х) ( Г(х) 11ш зпр Г„(х — О) ) Г (х — О). л 5.42. Пусть Р, Р„ Р, ... — последовательность вероятностных распределении. Доказать, что следующие три условия эквивалентны: а) Р„ †« Р, б) для любого замкнутого множества В 1пп зпр Р„! В) ~ Р (В), в) для любого открытого множества С !пп 1п1 Р„(С) ) Р(С), 5АЗ.
Доказать, что для того, чтобы Є— «Р, необходимо и достаточно, чтобы для любого Р-кепрерывного множества А выполнялось соотношение 11ш Р„(А) Р (А) (Р-непрерывным называется борелевское множество, граница которого удовлетворяет условию Р(дА)=0, т. е. имеет вероятность О). 5.44. Пусть Р, Р„Рь ...— последовательность вероятностнъгк распределений и пусть для любок ограниченной равномерно непрерывной функции )(х) 1ип ~ ~(х)АР„~ 1(х)АР. и Доказать, что Р, — ' Р. 5.45.
Пусть Р, Р„ Р„ ... — последовательность вероятностных распределений и пусть для любой ограниченной функции ~(х), об ладающей непрерывными производными любого порядка, «« О 11ш ) /(х) пр ) 1(х)ИР, и « Доказать, что Є— «Р, 109 5.46. Пусть ?, $о $„...— последовательность случайных вели- и чин. Докааать, что $ - $ тогда и только тогда, когда Е (Г ($„) ) — Е (Г(с) ) для каждой непрерывной функции распределения Р(х) .
5.47. Пусть случайная величина ц не зависит от случайных величин $, 5о $н ... и имеет функцию распределения Г(х), Доказать, что Е(Р(з„))- Е(Г($)) тогда и только тогда, когда Р(д < ч„) Р(ц < з). 5.48, Пусть последовательность функций распределения г",(х), Р,(х), ... слабо сходится к некоторой функции распределения, имеющей по крайней мере две точки роста. Доказать, что последовательность (Р„(а х + Ь )) слабо сходится к распределению, сосредоточенному в нуле тогда и только тогда, когда а„ - > и Ь„ = о(а„), н- 5.49.
Пусть Г(х), К,(х), Г~(х), ...— последовательность функций распределения, такая, что при некоторых а„, Ь„) 0 И' гв(Ь„х+ а„) — Р'(х). Доказать, что если последовательности вещественных чисел ан ссн ° .. и ()о ()г, ° .. таковы, что р. 1?ш — = 1, 11ш — = (1, и Ьа я ~ Ьч то имеет место сходимость г'„(рвх + и„) -+ Г (х). 5.50. Пусть Р, ЄЄ...— последовательность абсолютно непрерывных вероятностных распределений, р(х), р,(х), р,(х), ...-соответствующие плотности. Доказать, что если р„(х)- р(х), и- с, равномерно на любом конечном отрезке, то Р„-'Р, Верно лп обратное? ю и' 5.51. Пусть Е»- Й,Р - Р и Е„=р„чО„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
