А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

6.17. Пусть фь $„ ... — последовательность случайньж величин с равномерно ограннченнымн дисперсиями, причем соч(фа$,)~0 при 1Ф1. Доказать, что к этой последовательности применим ЗБЧ. 6.18. Пусть фо Еь ...— последовательность случайных величин с конечными дисперсиями и пусть коэфф~щиент корреляции величин $с и з; не превосходит д(][ — И), где д(й)~О.

Доказать, что если [д(0)+ ... + д(и — 1)] [о', + ... + оД о(я') при лто к последовательности $о ~ь ... применим ЗБЧ. $23 6Лй (теорема Бернштейна). Пусть $„$м ...— последовательность случайных величин с равномерно ограниченными дисперсиями, причем сот(ьь $~)-О равномерно при 1) — Й1- . Доказать, что к этой последовательности применим ЗБЧ.

6.20. Пусть $„ф„...— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, Еф» а, 0$» = о*, » = г, 2, ... Доказать, что последовательность случайных величин »1», ., где $,+ "+$ й',+...+И' сходится но вероятности, и найти предел. 6.21. Пусть $», ф„ ... — последовательность случайных величии, »1 ь»+...+ь„. Докааать, что если 16„1(сп, а От~„)»хп', то к последовательности $„$м ... ЗБЧ неприменим. 6.22.

Пусть $„$„...— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с конечной ненулевой дисперсией, Ч„Е»+...+ $„. Доказать, что ЗБЧ не выполняется для последовательности п„т(м ..., но выполняется для последовательности а,т~ь а»»(м ..., если а„- О пРи и 6.26. Последовательность независимых случайных величин $„... называется эквивалентной последовательности независимых слУчайных величин»1„т(н ..., если сходптсЯ РЯд Х р($.чад ) Доказать, что если при каэкдом и случайные величины Е„и Е„ имеют одинаковое математическое ожидание и ЗБЧ применим к одной из двух эквивалентных последовательностей, то он применим и к другой. 6.24. Пусть $„$ь ...— последовательность случайных величии„ для которой выполняется ЗБЧ.

Обязан ли выполняться ЗБЧ для последовательности 1;,1, 1ь,1, ...? 6.25. Пусть ф„$„...— последовательность случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями. Вытекает ли из сходи- Р й +...+З„Р мости ь„-» О сходимость» ' " - Оу 6.26. Пусть $„фи ...— последовательность случайных величин, таких, что е16» — еф»1 ~ с» з = — 1» 2» ° ° ° и пусть а„а»» ...— последовательность вещественных чисел, а. — О при я - ° .

Доказать, что для последовательности аДо аД„ выполняется ЗБЧ. 6.27. Верно ли следующее утверждение: если для последовательности случайных величин ф„$м ... выполняется ЗБЧ и а„аь ...— 124 гз (л) 0 — с (и) ср (и) ц.= Π— ср (п) с вероятностью с вероятностью Рл, 1 — 2Р„ с вероятностью Р, Чи~ 1 — 2д, с вероятностью с вероятностью с вероятностью Ч~, — ~«С( со, зв п 1, 2, Доказать, что если ЗБЧ выполняется для последовательности (ц„), то оп выполняется и для последовательности Ц„). 6.30.

Пусть $„$„... и по ц„...— две последовательности независимых в каждой последовательности случайных величин, причем < %(л) с вероятностью ьв 0 с вероятностью — т(л) с вероятностью ~р(п) с вероятностью тз = 0 с вероятностьто — ф (и) с вероятностью — (С(со п — 1 2,. ф (з) т' РО Рю 1 — 2р„ Рв.

1 — 2Р„ Доказать, что если ЗБЧ выполняется для последовательности (ц„), то он выполняется и для последовательности Ц„). 6.31. Пусть 5„$„... и ц„т~„...— две последовательности независимых в каждой последовательности случайных величин и пусть Р((ф,— ЕЦД ~1) ( Р((ц( — Ец,! > С) для лзобого т)0.

Верно ли, что если для последовательности цо по ... выполняется ЗБЧ, то он выполняется и для последовательности $о $м ° ° 2 равномерно ограниченная последовательность неотрицательных чисел, то для последовательности цо и„..., где ц =а З, также выполняется ЗБЧг 6,28. Пусть ~о $„...— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величии, ао ав ...— равномерно ограниченная последовательность неотрицательных чисел.

Можно Лн утверждать, что если ЗБЧ выполняется для $о ~„..., то он выполняется и для цо ц„..., где т(,=а4;у 6.29. Пусть $„Ь, ... и цо ц„...— две последовательности незавлсимых случайных величин, причем 6.32. Пусть $ь $н ...— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с конечными дисперсиями, С„См ...— неубывающая последовательность половшгельвых чисел. Доказать, что к последовательности СД„СД„... применим ЗБЧ тогда и только тогда, когда С„/Уп- О прн п- в 2.

Сходимость рядов из независимых случайных величин 6.33. Пусть $ь $», ... — последовательность независимых случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями н равно- мерно ограниченпымп дисперсиями. Доказать, что ряд ~ ь»/п почти наверное сходится. 6.34. Пусть 3о ~„ ... — последовательность независимых нормально распределенных случайных величин с пулевыми математическими ожиданиями.

Доказать, что ряд ~ $ почти наверное сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд ~ О6„. 6.35. Доказать, что если ряд нз независимых случайных величин сходится по тп наверное к постоянной, то каждый член ряда есть почти наверное постоянная. 6.36. Пусть 3ь ф„...— последовательность независимых случайных величин, т1„= $, +... + $„.

Может ли ряд ~ 6» сходиться почти наверное, а последовательность медиан тц„пе сходиться? 6.37. Пусть вь $н ...— последовательность независимых случайных величин. Доказать, что ряд ~~~» Д вЂ” спмметрпзацпя З„) %\ и) г и) сходится почти наверное тогда и только тогда, когда существует последовательность вещественных чисел аь аь ..., такая, что почти наверноо сходится ряд ~ Я„ — а,). 6.38. Пусть $ь $,, ..., ць ц,, ...— независимые в совокупности случайные величины. Доказать, что если почти наверное сходится ряд ~л~~(ь» + Ъ ), то для некоторых последовательностей вещественных чисел аь ан н Ьо Ьм ... почти наверное сходятся ряды Х(5.

— а ) н Х(ц — Ь ). 6.39. Пусть $ь $„...— последовательность независимых случайных величин. Доказать, что ряд Х ь сходится почти наверное »=-г тогда и только тогда, когда оп сходится по вероятности. 6.40. Доказать, что ряд из независимых случайных величин сходится почти наверное тогда и только тогда, когда он сходится по распределению. 6.41. Пусть $ь $„ ... — последовательность независимых случайных величин, У,(1), У,(1), ...— соответствующие характеристические функции. Доказать, что ряд ~$» почти наверное сходится тогда 126 и только тогда, когда Пвт Ц ~а (!) ~ (!), и А=! где 1(т) — непрерывная в пуле функпия.

6.42. Пусть ь„в„...— последовательность независимых случай- ных величии с характеристическими функциями 1, (8), 1, (8), соответствепко. Доказать, что если бесконечное произведение Ц1„(!) сходится к отличпому от нуля пределу иа некотором мно- 1 =! жестве пололгительной лебеговой л!еры, то ряд ~'„$„почти паверпое сходится, и обратно. 6.43. Пусть $„ в„ ... — последовательность независимых случай- ных величии с характеристическими функциями 1<(!), 1 (!), соответствепяо. Доказать, что бесконечное произведение Ц ~1 (!)) т=! строго положительпо па множестве положительной лебеговой меры тогда и только тогда, когда существует последоватедьность веще- ственных чисел а„а„...

такая, что ряд ~ (ь„— а„) почти навер- иое сходится. 6.44. Пусть фо ф„ ... — последовательность независимых одина- ково распределенных случайных величин, Р(в, = -1) = Р($, 1) = 1/2, Доказать, что ряд ~с,,ьл!, где с„с,, ...— последовательвость вещественных чисел, сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд ~ с„. 6.45. Пусть ф„$т, ° ° .— последовательпость пезависимых одинаково распределеппых случайных величии с равномерным !га отрезке ) — 1, +Ц распределением. Доказать, что ряд ~с ь, сходится почти наверное тогда и только тогда, когда сходится ряд ~с„.

6.46. Пусть $„3„...— последовательность независимых одинаково распределенных ограппченпых случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями. Доказать, что ряд ~с,,з„, где с„ с„...— последовательность вещественных чисел, почти наверное сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд ~с,',. 6.47. Пусть $„$!, ...— последовательпость независимых одинаково распределенных случайных величии с конечными дисперсиями и пулевыми математическими он'идаппями.

Доказать, что ряд ~з с„.„„где с„с„...— последовательность веществепяых чисел, «=-! почти паверпое сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд ~с'„( оо. 6.48. Пусть $о $!, ...— последовательность везавясвмых случайпых величин, каждая пз которых имеет распределение Пуассона. !зт Доказать, что ряд ~ $„почти наверное сходится тогда и только «=1 тогда, когда сходится ряд с~ Ез я=1 6.49. Пусть фо ~„ ... — последовательность независимых неотрицательных случайных величии, таких, что Р(~~ ~ с) = О. Доказать, что ряд ~з 5„ почти наверное сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд ~ Е$,. 6.50.

Характеристики

Список файлов книги