А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 29
Текст из файла (страница 29)
следУет ли из Равенства Еьь = Ет!, сУществованне Ь такой, что ЕД!ь) т!? 7,13. Пусть $ и и — независимые одинаково распределенные случайные величины с конечным математическим оягпдапнем. Доказать, что случайные величины Е($!$+ т!) и Е(т!!Ц+ т!) одинаково распределены. В каком случае онп будут пезавнсимыу 7Л4. Доказать, что в условиях предыдущей задачи ЕД!Ц+ т!) =Е(т!!$+ ц) п.
н. 7Л5. 11усть $ и т! — независимые одинаково распределснныв случайные величины с конечным математическим ожиданием. Доказать, что Е Д ! 5 + т!) = Е (Ч ! $ + Ч) = ' '~" и. н. 7Л6. Пусть Я„Я, ...— певозрастающая последовательность п-алгебр, $ — случайная величина.
Найти Е(Е(... ЕД!Я,) (Я,,)... !Я„), 7.17. Пусть Я„Я„...— неубывающая последовательность о-алгебр, $ — случайная величина. Найти Е(Е(...ЕД!Я,) !Я,)... !Я„), 7.18. Пусть $ н и — случайные величины с конечными матема тпческнмн ожиданиями. Доказать, что если с вероятностью 1 Е(~!8)=~) и Е(т!!$) ~, то в=т! п.н. 150 7.19. Пусть вь — случайная величина с математическим ожиданием а, Я, и Яв — независимые о-алгебры, 5, Е(в!Я,), =Е(с,!Яв). Найти распределение $ь 7.20.
Пусть $о ..., в — независимые одинаково распределенные случаиные величины с конечным лватематнческим ожиданием, т! = $, +... + Ц . Доказать, что Е(ь. !Ч., Ч.+," )=Ъ!и с вероятностью едшгица. 7.21 (неравенство Иенсена). Пусть вр(х) — выпуклая функция, $ — случайная величина, такая, что Е!~р($)! ( . Доказать, что Е(гр($) (Я) ~ ~р(Е($(Я) ).
7.22. Доказать, что 0Е(в!Я) -0з. 7.23. Пусть О <а < 1, О~ р ~ 1, а+ р» 1, с и т! — случайные величины с конечными математическими ожиданиями. Доказать, что Е(!в !а!г)!в/Я) ~ 1Е(!Ь ! !Я) ~~(Е()т)! !Я))в 7.2йв. Пусть $о $ь ...— последовательность независимых случайных величин„в! — случайная величина с конечной дисперсией, и = Ет). Доказать, что 1 Р— (Е(т1(с,) + ... + Е(ц! $„))- а при и- 7.25. Справедливо ли следующее утверждение: если ь — $ п.
п., то для любой случайной величины т! в Е („! Е„) -- Е („!;) 7 7.26. Пусть $ь сь ...— последовательность случайных величин, Я вЂ” о-алгебра. Доказать, что если для некоторого р ~ 1 Е!$ — з!в О при и ', то Е!Е(й„!Я)- Е(в!Я) ! - О. 7.27. Пусть Я„Я„...— последовательность о-алгебр, $ н случайные величины с венечными математическими ожиданиями.
Доказать, что если Е($!Я.)- г! п. п. прп п —, то Е(ьь|Я)= Е(т1!Я) п.п., где Я= П Я». г =-1 7.28. Пусть в и т! — случайные величины с копечпымп математическими ожиданиями. Доказать, что если существует последовательность случайных величин ь„Ьн ... такая, что Е($!~ )- ц п. к.
при л, то Ей =Ет!. 7.29. Пусть Я~ '= Яв ~ ° ..— неубываюп1ая последовательность а-алгебр, "; — случайная величина с конечным математическим ожиданием. Доказать, что для любого е ) О Р(. р !Е(ь!Я,)!) ) с=в!Е!. ~1ж ал / е 151 7.30. Пусть Я, <= Я, ~...— неубывающая последовательность а-алгебр, Я=о () Я. $ — случайная величина с конечным математическим ожиданием Доказать, что ЕД!Я„) Е(ЦЗЯ) п.
н. 7.3(. Пусть Я, ~ Я, ~...— невозрастающая последовательность н-алгебр, Я= ПЯ, я=1 $ — случайная величина с конечным математическим ожиданием. Доказать, что ЕД~Я )- Е(с~Я) н. н. 7.32. Пусть Яп Я,, ...— последовательность .а-алгебр, Š— случайная величина с конечным математическим ожиданием. Доказать, что последовательность Е(с!Я,), Е(е!Я,), ... равномерно ннтегрнруема.
7,33. Доказать, что случайная величина $ и о-алгебра Я независимы тогда и только тогда, когда для любой борелевской функции г((х), такой, что Е~~р($)! (,.выполнено равенство Е (~р($) ~Я) = Е<р(с). 7.34. Пусть (Й,,Ф, Р) — вероятностное пространство, Я вЂ” с-алгебра, Я ~ Ж Доказать, что для любого события А Р (А) = ~ Р (А ! Я) Р (г(го).
а 7.35. Доказать, что любые две случайные величины, определенные на вероятностном пространстве (12,,Ф, Р), условно независимы относительно о-алгебры .Ф. 7.36. Доказать, что случайные величины $ и т~ неаавнсимы тогда и только тогда, когда онп условно независимы относительно тривиальной о-алгебры Я=(И, й), 7.37.
Доказать, что а-алгебры Я, и Яа условно независимы относительно а-алгебры Я тогда и только тогда, когда для любого В,ыЯ Р(В,~ЯЯ,) = Р(В,!Я). 7.38. Пусть случайные величины е и т) независимы. Могут ли опп быть условно зависпмымн относительно какой-нибудь о-алгебры Я? 7.39. Пусть Р(А~Я), Аылг,— регулярное семейство условныт серовтностей, $ — случайная величина с коночным математическим 152 ожиданием.
Доказать, что й (~ [ Я) - ~ $ (ю) Р (г[го [ Я) п. н. [1, ыен [О, 1Е3), ) [О, ез ен [1ЕЗ, 1[; б) т[ в[пню; в) 0= 1 — Зы, ез ен [О, 1ЕЗ), ю ен [1,'3, Ц. 7АО. Пусть Я вЂ” о-алгебра борелевских подхпюжеств П = (О, 1), Р— мера Лебега на Я, С~Я вЂ” множество, имеющее внешнюю перу Лебега 1 и внутреннюю меру Лебега О. Рассмотрим верояткостное пРостРанство (1), Ф, Рс), где,вг — а-алгебРа мнон еств вида Л = В,С+ В,С, В„В, ж Я, Рс(А) = —,Р(В,) + —,, Р (В,).
Доказать, 1 что семейство условных вероятностей Р,(А[Я) не является регулярным. 7.4!. Рассмотрим вероятностное пространство ([з, .Ф, Р), тле 11 — — [0,1[, Ф вЂ” а-алгебра борелевскпх подина~весте, Р— мера Лебега. Доказать, что семейство условных вероятностей Р(А[Я) является регулярным, если: а) Я= (~, Р); б) Я,Ф; в) Я вЂ” а-алгебра, порожденная мпои;еством )О, 1Е2). 7.42. Пусть па вероятностном пространстве (1з,,Ф, Р), где П = [О, 1$ .хФ вЂ” о-алгебра борелевских множеств, Р— мера Лебсга, задана случайная величина В(го) ег.
Найти условное распределение Ц относительно а-алгебры Я, порожденной случайной величиной т[, если Глава 8 БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понлтве безгранично делимого распределения возникает прв изучении случайных процессов с нсзависнл<ыми приращениями и при исследовании распределений, явля<ощихся прсдельныии для распределений сумм независимых случайных величин. Распределение вероятностей или соответству<ощая функция распределения Р(з) называ<отсл бггграиичио делимыми, если двя любого целого волок<игольного и существует функции распределения р (к], такая, что "<*< — —.<; ...
г,<<. Соответстеу<о<цая характеристическая функция называетгя безграничпо делимой. Таким образом, характеристическая функция 1(г) называется дггграиичко делимой, если для любого целого положительного я существует харантсрнстическая функция ( (Г), такал, что 1 (т) = У (г) ) ". Примерагл< безгранично делимых распрсделевий могут слуткить нормальное, нуассоновскос, показательно< распрсчелелия, распределение Боши (см.
задачи 88 4, 8. 5) . Безгра«ичко делимыс характеристические функции распределений допускают следующее каноническое представление. Кпиагшчегкое предстпглеииг Лгпи — Хиичииа. Функция 1(т) явллстгл безгранично делил<ой характеристической функцией тогда и только тогда, когда опа прсдставима в виде ) —" Пи <1-<-и 3 1(г) = ехр <ту+ ) ~е<<и — 1 — т) — '. дС(и), (1) — .) ((л" —, ') 1-, 'и и где С(и) — неубыза<ощзя ограничснпал функция, Т вЂ” вещественное число. Прн гз и = 0 подынтеграаьная функция полагаетсл равной й Иногда предпочтительнее пользоватьсл друюги прсдставленлсм.
Кпиоиическое прсдставлепие ~!еги Функпля 1(Г) является безгранично делимой характеристической функцией тогда и только тогда, когда оиа представима в виде -о тз 1 <'п„гги П<-г..г(„ 2 1 -'г и, Пп '((""-" — )"' ) 1+.'~ те 154 где т и о — вещественные постоянные, Ы(и) и 1г'(и) — неубывающие функции, И(и) л О, Л (и) ( О, 1(гп Ы (н) = 1(пг Дг (н) = О.
В случае, когда существует дисперсия, имеет место более удобное представление Колмогорова. Кенонинесное нрелетаеленне Колмогорова, Фуггкцггя ((Г) является характеристической функцией беграпично делимого распределения с конечной диспорсией тогда и только тогда, когда оиа представииа в виде (3) где 1 — веществеппал постоякпая, а К(и) — неубывающая огравичеикал функции, танен, что К( — со] = О. Каждое из представлеппй (1), (2) и (3) едипствеипо. Важньгм подклассом безгранично дещыиж распределений является класс усгоггчивыт распределений. распределеипе вероятиостсй пли соответствующая функция распределеипя 1г(г) иазываются усгобниеыли, если для любых положительпых Ьг п Ьг и жобых всществюипеж с, и с, существуют положптельиое число Ь и действителыюе число с, танис, что Р Ь ер Ь =Р Ь В термииах характеристических функций зто определепие может быть сформулировано следующим образом.
характеристическая функция 1(г) называется успгнннеой, если для жобых положительпых Ьг и Ьг существуют положительное число Ь и действительное число Ф такие, что 1(Ьгс).((ьг1) = /(Ы)е'т'. Характеристические функции устойчивых распрелелепий допускают следугощее вредставлеипег 1(г) устойчива тогда и только тогда, когда оиа предста- вима в виде 1(1) = ехр (11() — г() Г )" (1+ гб С(с,а))~, (г( где О ( сг ( 2, 5 — всществепиое число, гГ =- О, (0( ( 1, прп г = О полагаем — =.
О, )1) 13 —. а прп С(с, а) = 2 — 1п(1) прп а чь 1, 8.'г. Пусть случайная величина $ имеет безгранпчпо делимое распределение. Доказать, что при любых вещественных а и Ь рас- пределеиис случайпой величины а$+ Ь таи кв безграппчио делимо. 155 В спмчетричпом случае зто представление может быть существенно уггровгсгю: для того, чтобы симиетрпчвая характеристическая функция 1()) была устойчивой, иеобходпмо и достаточно, чтобы оиа имела вид г (г) =- е е)г), г(~О, О (а(2. 8.2. Доказать, что слабый предел последовательности безгранично делимых распределений безгранично делим. 8.3. Пусть $ и >) — независимые случайные величины с безгранично делимым распределением.
Доказать, что случайная величина 5+ г) имеет также безграничное распределение. 8.4. Пусть >(Г) — безгранично делимая характеристическая функция. Доказать, что характеристическая функция (((г)( также безгранично делима. 8.5. Доказать, что безгранично делимая характеристическая функция нигде ке обращается в нуль. 8.6.
Доказать, что поназательное распределение б>езгранично делимо и найти его «корень >г-й степени». 8.7. Пусть >(г) — безгранично делимая характеристическая функция. Доказать, что для любого а)О функция ()'(()) также является безгранично делимой характеристической функцией. 8.8. Пусть )'(() — характеристичесная функция, такая, что для некоторой последовательности целых положительных чисел в„п„..., удовлетворяющей условию и> — " при й —, функции (((>)) ~, й=1, 2, ..., явлнются характеристическими. Доказать, что >(() безгранично делима. 8.9. Доказать, что равномерное на отрезке распределенно пе может быть безгранично делимым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
