А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Найти нреооразованпе Лапласа — Стплгьеса п(з) функции раслределепни длительности перпода занятости. 10.108. Рассматривается та ке система обслугкпванин, что и в предыдущей задаче. Найти производящую функцию Р(з) числа требований в системе в стационарном режиме. 10.109. Рассматривается та же система обслуживания, что и в предыдущей задаче. Найти функцшо распределения Р(х) интервалов времени между выходящими из системы требованиями и сгационарном ремгиме. 10Л10. Найти преооразованпе Лапласа вероятности свооодного состояния системы М~СП1!О в момент 1 при условии, что в момент г = О система была свооодка. !ОЛ11, Найти п(г) — преобразование Лапласа — Стплтьеса функции распределения длительности периода занятости в системе М ~ С1 ! 1 ~ 1.
й 5. Винеровсни11 процесс Найти корреляционную функцию винеровского про- 10Л2$. цесса и2,. 10Л 22. плотность повии, что $3» Пусть и, — винеровскнй процесс. Найти совместную распределения величин и. и ю. О < и( и < 1 при усп22 = О. 1вз 10.$$2. Рассматривается та же система обслуживания, что и в предыдущей задаче. Найти производящую функцию )(з) числа требований, обслуженных за период занятости. 10.1$3. Рассмотрим систему оослуживания М(6Н .
Пусть Х— интенсивность входящего потока, В(х) — функция распределения времени обслуживания на любом приборе, и, — число требований в системе в момент Г. Найти совместное распределение (п1, я2 ) 1' 2 !2~~2 10.114. Рассиатрпвается та же система обслуживания, что и в предыдущей задаче. Пусть $22 — число требований, обслуженных до момента 1. Найти совместное распределение (р2, р2 ), Г1(12. ! 2 10115. Рассматривается та н1е система оослужнвания, что и в предыдущей задаче.
Найти говьгестпое распределение (п„р,). 10 $10. Рассмотрим систему оослуживапия М~6Н1~ . Предполо2кпм дополнительно, что длительность обслуживания требования, поступающего в свободную систему, имеет функцию распределении В,(Г), отличную от функции распределения длительности обслуживания В(г) требований, поступающих в занятую систему. Найти преобразование Лапласа — Стилтьеса длительности периода заннтости п(г).
10.117. Рассматривается та иге система обслуживания, что и в предыдущей задаче. Найти производящую функцию $(з) числа треГюввний, обслужепных за период занятости. !ОЛ18. Рассмотрим систему обслуживания М(62'!1~ . Предположим, что обслуживающий прибор ненадежен в занятом состоянии. Длительность раооты прибора до поломки имеет показательное распределение 1 — е ", х ~ О.
Сразу после поломки прибора начинается его восстановление, которое длится случайное время с функцией распределения 6(х). Требование, во время обслуживания ко1орого прибор вышел из строя, теряется. Пусть Х вЂ” интенсивность входящего потока, В(х) — функция распределения времени обслуживания.
Найти преобразование Лапласа — Стплтьеса длительности периода занятости. 10.1$9. Рассматривается та иге система обслуживания, что и в предыдущей аадаче. Найти преобразование Лапласа — Стилтьеса функции распределения времени ожидания в стационарном режиме. 10.120. Рассматривается та же система обслуживнния, что и в предыдущей задаче.
Найти производящую функцию Р(г) числа требований в системе в стационарном режиме. 1 0Л23. Пусть ис, — винеровский процесс. Найти ковариацию величин и>, и юь г ( с ( 1, при условии, что ю, = О. 10Л24. Пусть (ос — винеровскии процесс. Найти корреляцион- нук> функцию процесса ю« = вс — ги „рассиатриваемого на отрезке .<а) О ~ С ~ ! (условнь)й винеровский процесс). 10.125. Пусть <о(<"), О ~ С ~ 1,— условный винеровский процесс, оп- ределенный в предыдущей задаче, Доказать, что процесс и( =(1+ + 1) и>(/<сан, 1) О, — винеровский. (о> 10.126.
Пусть и, — вннеровский процесс. Доказать, что следую- щие процессы также винеровские: и) ! О, С=О, ") и>(')= ~спУ</д 1)О, а) и><1 ~1(о>/( ! ) О; с = сопя!) О. 10Л27. Пусть ю( и ю( — независимые впнеровские процессы, (1) (а) Доказать, что процесс =(и>< + и>с ), 1~)О, также винеровский. 1 / (1) (С)\ о/й 10.128. Пусть ьт„1) О,— виперовский процесс. Положим нс', с ( 7', ю'(ю = 2<от — 1< и Доказать, что и>, — винеровский процесс.
<о) 10Л29. Пусть $„, $„З„... — независимые случайные величины, имеющие одинаковое нормальное распределение с пулевым математическим ожиданием и единичной диеперсией. Доказать, что Са-1 с - ° /и с ъд мви ~ - =В,+ 1/ — /т, — „Вю 1 (О,)т), у- о 1/ л л7Ф .го л ' а=.1 ), Са-1 — винеровский процесс. 10.130. Доказать, что внперовский процесс не дифференцируем но вероятности.
10ЛЗ!. Пусть ю, — винеровский процесс. Доказать, что Е ((ЮС вЂ” Н>а)та+1) = О, Е ((и с — и,)'а) = (2п — 1) )! (1 — с)". 1ОЛ32. Доказать, что виперовский процесс является марковским. Найти его переходную функци)о. 1ОЛЗЗ. Найти конечномерные распределения винеровско(о процесса. 10.134. Доказать, что почти все траектории вннеровского процесса нигде не диффере<щнруеиы. 10.135. Пусть (с, — винеровскнй процесс.
Найти условную плотность величины <но 11 ~ 1(с„при условии, что =А, н, -Ь'. 10.136. Пусть ш, — винеровский процесс. Доказать, что при з ) 0 Р(гвах и, >з) 2Р(кЧ)г). 1о~зс~ Найти плотность распределения случайной величины тах-и>,.
ос~~~ 10.137. Пусть т(з), з) О,— случайный момент времени, в который винеровскпй процесс и~, впервые достигает аначения з. Найти плотность распределения т(з). Показать, что математическое ожидание т(з) бесконечно. 10Л38. Пусть т(з) — случайная величина, определенная в предыдущей задаче. Доказать, что композиция распределений случайных величин т(з,) и т(г,) совпадает с распределением случайной величины т(г, + з,). 10.139. Показать, что распределение случайной величины т(з), определенной в задаче 10.137, совпадает с распределением случайной величины з'т (1) . 10.140. 11айтп характеристическую функцию случайной величины т(1), определенной в задаче 10.137. 10Л41.
Найти вероятность того, что винеровский процесс ю~ пе обращается в нуль в интервале (г„с,), 0 ( Ф„( Фь 10Л42. Пусть ю, — виперовскнй процесс. Найти вероятность события (- го ах в. ~ з, юс ( я). о~~~с 10Л43, Пусть иь — вннеровскнй процесс. Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины вюх й, прн условии, что иб О. юз~з1 10Л44. Найти вероятность того, что винеровскнй процесс ю, достигнет наклонной границы, залаваемойг в координатах (т, ю) уравнением и = а(т+ 1), 1~ 0, а ) О. 10Л45. Пусть Р(а, Ь) означает вероятность того, что винеровгкпй процесс и, достигнет наклонной границы, задаваемой в моордпоатах (1, и~) уравнением в =ат+ Ь, 1~0, а, Ь) О. Доказать, что: а) Р(а, Ь) = Р(Ь, а); б) Р(а, Ь, + Ь,) = Р(а, Ь,) Р(а, Ь,).
1ОЛ46. Пусть Р(а, Ь) — величина, определенная в предыдущей задаче. Доказать, что Р(я, Ь) е ", где 7 — некоторая неотрицательная постоянная. 10.147. Определить значение постоянной 7 в предыдущей задаче. 5 6. Процессы с независимыми приращениями 10Л48. Доказать, что всякий процесс с независимыми приращениями является марковским. 10.149. Пусть |~ и $,, 1~0,— независимые случайные процес- (и но сы, каждый из которых является процессом с независимыми прн- 197 ращениями. Доказать, <то их сумма +'„, г)О, также является процессом с независимыми приращениями.
10Л50. Пусть Ь< — случайный процесс с независимыми нрирап<ениями, Г ж <т'. Доказать, что если для некоторых Г< п Г< и некоторой постоянной а то лля любой пары и, и ин такой, что г< < и, < и, » га сущестнует постоянная Ь, такая, что 10Л51, Доказать, что функция распределения приращения л<обого однородного случайного процесса с независимыми приращениями безгранично делима.
10Л52. Пусть <р(г, г) — характеристическая функция однородного стохастически непрерывного процессн с нева <иснмыми приращениями 2<. Доказать, по <р(г, г) непрерывна как функция ц 10Л53. Пусть в< — процесс с независимыми приращениями, <р(1, г) — его характеристическая функция. Доказать, что если <р(Г, г) непрерывна по Г в точке Г., то $< стохастически ценрерывеп и точке <„. 10.154.
Пусть "-„..., ",„— независимые случайные величины, г, < г, «... 1„— точки из интервала !а, ь). положим и< Х $<,. <«« Доказать, что с< — процесс с независимыми приращениями. !ОЛ55. Пусть $< — процесс с независимыми приращениями, <((Г, г) — его характерисы<ческая функция, Доказатгь по при кажном г !<р(ц г) ! не возрастает как функция Г. 10.156. Пусть 2< — однородный случайный процесс с независимыми приращениями, с„= О, <р(г, г) — его характерисп<ческая функция.
Доказать, что:щя любых Г и г <((1+ г, г)= <е(г,г)<р(г,г). 1ОЛ57. Пусть ьь< — процесс с независимыми приращениями. Доказать, что если Ьь< имеет аосолютко непрерывное распределение о при некотором Ьн то -, имеет абсолютно непрерывное распределение при любом г Ь г,. 10Л58.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
